错位全排公式

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全错位排列公式

全错位排列公式

全错位排列先看下面例子:例1. 5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有,有几种解法,其中一种解法是用排除法:先考虑5个全排列,有55A 种不同的排法,然后除去甲排在第一(有44A 种)与乙排第二(也有44A 种),但两种又有重复部分,因此多减,必须加上多减部分,这样得到共有:543543278A A A -+=种。

现在考虑:例2.5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,丙不站第三位,共有多少种不同的站法。

仿上分析可得:543254323364A A A A -+-=种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3.5个人站成一排,其中A 不站第一位,B 不站第二位,C 不站第三位,D 不站第四位,E 不站第五位,共有多少种不同的站法。

解析:上面例1,例2实际上可以看成n 个不同元素中有()m m n ≤不排在相应位置。

公式一:n 个不同元素排成一排,有m 个元素()m n ≤不排在相应位置的排列种数共有:()1122121mn n n m n m n m n m n m n m A C A C A C A -------+++-种 这个公式在n m =时亦成立,从而这个问题可能用上面的公式得出:514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种(注意0000!1n C A ===)(1993年高考)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析:由上面公式得: 4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种,∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式:n 个不同元素排成一排,第一个元素不在第一位,第二个元素不在第二位,……,第n 个元素不在第n 位的排列数为: ()1122121nn n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A -------+++- 这实际上是公式一的特殊情况。

全错位排列

全错位排列

全错位排列先看下面例子:例1 5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有,有几种解法,其中一解法是用排除法:先考虑5个有的全排列,有A55种不同的排法,然后除去甲排第一(有A44种)与乙排第二(也有A44种),但两种又有重复部分,因此多减,必须加上多减部分,这样得到共有:A55-2A44+A33=78种。

现在考虑:例2 5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,丙不站第三位,共有多少种不同的站法。

仿上分析可得:A55-3A44+3A33-A22=64种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3 5个人站成一排,其中A 不站第一位,B 不站第二位,C 不站第三位,D 不站第四位,E 不站第五位,共有多少种不同的站法。

解析:上面例1,例2实际上可以看成n 个不同元素中有m (m≤n )不排在相应位置。

公式一:n 个不同元素排成一排,有m 个元素(m≤n )不排在相应位置的排列种数共有:从而这个问题可能用上面的公式得出:()A C A C A C A m n m n m m m n n m n n m nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这个公式在n =m 时亦成立A55-C(5,1)?A44+C(5,2)?A33-C(5,3)?A22+C(5,4)?A11-C(5,5)?A00=44种(注意A00=0!=1)再看1993年高考题:同室四人各写一张贺年卡,先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析:由上面公式得:A44-C(4,1)?A33+C(4,2)?A22-C(4,3)?A11+C(4,4)?A00=9种,∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式:n 个不同元素排成一排,第一个元素不在第一位,第二个元素不在第二位,……,第n 个元素不在第n 位的排列数为:()A C A C A C A n n n n n n n n n n n n n nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这实际上是公式一的特殊情况。

全错排列组合公式

全错排列组合公式

全错排列组合公式
错排列组合是组合中比较特殊的一种形式,他指的是在一组数据中,相比较其他的组合,某些元素必须排列在一起,而且不允许有重复。

错排列组合的数量不像普通的组合那么容易求出来,需要用到全错排
列组合公式。

全错排列组合公式如下:
D(n)= n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+....+(-1)n/n!]
其中D(n)表示n个元素的错排列组合的数量,n!表示n的阶乘,(-1)n表示-1的n次方。

在上述公式中,有一个重要的概念——错排,它是指n个元素的错排
是指n个元素中,有m个不能处于第m个位置上,而其他n-m个元素
则可以随意排列。

错排数量的计算,需要整除和阶乘,所以错误排列
考虑的是组合数学。

下面是我为大家整理的全错排列组合公式的列表,希望对你有所帮助:
1. D(1)= 0
2. D(2)= 1
3. D(3)= 2
4. D(4)= 9
5. D(5)= 44
6. D(6)= 265
7. D(7)= 1854
8. D(8)= 14833
9. D(9)= 133496
10. D(10)= 1334961
我们可以发现,全错排列组合公式的计算量随着元素数量的增加而增加,因此,在实际应用中,需要根据具体情况灵活使用。

总之,全错排列组合公式是组合数学中的重要内容,可以用于计算错排数量,也可以用于统计样本空间的大小。

相信通过阅读本文,大家已经对全错排列组合公式有了更加深入的了解,希望有助于您的学习和应用。

2.2 排列与组合的概念与计算公式

2.2 排列与组合的概念与计算公式

排列与组合的概念与计算公式1.排列 (在乎顺序)全排列:n 个人全部来排队,队长为n 。

第一个位置可以选n 个,第二位置可以选n-1个,以此类推得: P(n,n)=n(n-1)(n-2)……3*2*1= n! (规定0!=1).部分排列:n 个人选m 个来排队(m<=n)。

第一个位置可以选n 个,第二位置可以选n-1个,以此类推,第m 个(最后一个)可以选(n-m+1)个,得:P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n! / (n-m)! (规定0!=1).2.组合( 不在乎顺序)n 个人m(m<=n)个出来,不排队,不在乎顺序C(n,m)。

如果在乎排列那么就是P(n,m),如果不在乎那么就要除掉重复,那么重复了多少?同样选出的来的m 个人,他们还要“全排”得到P(n,m),所以得: C(n,m) * m! = P(n,m)C(n,m)= P(n,m) / m!=n! / ( (n-m)! * m! )组合数的性质1:)(,n m C C m n n m n ≤=-组合数的性质2:)(,111n m C C C m n m n m n ≤+=--- 如果编程实现,以上两个公式有没有帮助?练习:311P 、811P 、311C 、811C 、9991001C3.其他排列与组合(1)圆排列:n 个人全部来围成一圈为Q(n,n),其中已经排好的一圈,从不同位置断开,又变成不同的队列。

所以:Q(n,n)*n=P(n,n) >>> Q(n)=P(n,n)/n=(n-1)!由此可知,部分圆排Q(n,r)=P(n,r)/r=n!/(r*(n-r)!).(2)重复排列 (有限):k 种不一样的球,每种球的个数分别是a1,a2,...ak,设n=a1+a2+…+ak ,这n 个球的全排列数,为 n!/(a1!*a2!*...*ak!).(3)重复组合 (无限):n 种不一样的球,每种球的个数是无限的,从中选k 个出来,不用排列,是组合,为C(n+k-1,k).证明:假设选出来的数(排好序)1<=b1<=b2<=b3…….<=bk<=n这题的难点就是=号,现在去掉=号,所以有:1<= b1 < b2+1 < b3+2 < b4+3 …….< bk+k-1 <=n+k-1 中间还是k 个数!不过已经不是b 系列,而是c 系列 假设c[i]:=b[i]+i-1,所以1<= c1 < c2 < c3 < c4 …….< ck <=n+k-1所以问题就开始转换为无重复组合问题,即在n+k-1个元素中选中k个的组合数C(n+k-1,k)。

全错位排列数公式的推导与化简

全错位排列数公式的推导与化简

全错位排列数公式的推导与化简一、提出问题装错信封问题:一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,若他把这n封信都装错了信封,那么装错信封的装法共有多少种?这是被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”.把n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的排列方法称为错位排列法.将编号分别为1,2,3,…,n的n个不同元素a1,a2,a3,…,an,安排在这n个位置作全排列,若某个排列中每个元素都错位,则把这个全排列称为这n个不同元素的一个全错位排列.n个不同元素所有的全错位排列的个数称为全错位排列数,记为Dn,易得D1=0,D2=1,D3=2.二、递推关系式对于n=4,D4推导如下:按分步乘法计数原理考虑,第一步,先安排好第一个位置,有C13=3种排法.1234a3a1第二步,当安排好第一个位置后,假设安排的是a3,此时应考虑a1的位置,包括两种情况.若a1安排在第三个位置,则a2和a4排法是D2=1;若a1不安排在第三个位置,而a2不排在第二个位置,a4不排在第4个位置,对应的排法是D3=2.因此,当第一个位置安排的是a3时,对应的排法共有D2+D3=3,而第一个位置安排的各种情况地位相当,所以D4=C13(D2+D3)=9.对于Dn,推导如下:按分步乘法计数原理考虑,第一步,先安排好第一个位置,有C1n-1=n-1种排法.12…m…nama1第二步,当安排好第一个位置后,假设安排的是am,此时应考虑a1所放的位置,包括两种情况.若a1安排在第m个位置,则对应的排法是Dn-2;若a1不安排在第m个位置,由于a2不排在第二个位置,…,an不排在第n个位置,对应的排法是Dn-1.因此,当第一个位置安排的是an时,对应的排法共有Dn-1+Dn-2.而第一个位置安排的各种情况地位相当,所以Dn=C1n-1(Dn-1+Dn-2). (1)整理Dn-nDn-1=-[Dn-1-(n-1)Dn-2].这表明,{Dn-nDn-1}是以D2-2D1=1为首项,公比为-1的等比数列,于是Dn-nDn-1=(-1)n-2,故Dn=nDn-1+(-1)n,其中n≥2,n ∈N+. (2)对于(1)式还有一种方法:设满足题意的放法有Dn种,当加入第n+1个元素和编号时,对于Dn的每一种放法,都可以把第i(i=1,2,3,…,n)个元素与第n+1个元素互换,把第i个元素放入第n+1个位置,有nDn种放法;也可先把第n+1个元素放入第i个位置,还余下n个位置,而把第i 个元素不放入第n+1个位置,其它元素也不放在对应的位置,则此时有nDn-1种放法,所以Dn+1=nDn+nDn-1,n≥2.三、全错位排列数公式利用递推关系式Dn-nDn-1=(-1)n,各项同除以n!,得Dnn!-Dn-1(n-1)!=(-1)nn!,构造数列bn=Dnn!,并利用数列恒等式bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)有Dnn!=01!+(-1)22!+(-1)33!+…+(-1)nn!,所以Dn=n![12!-13!+…+(-1)n1n!].下面根据Dn=nDn-1+(-1)n利用分步迭代法推导Dn.D2=2D1+(-1)2,D3=3D2+(-1)3=3×2D1+3(-1)2+(-1)3.由于D1=0,则D4=4D3+(-1)4=4×3(-1)2+4(-1)3+(-1)4,D5=5D4+(-1)5=5×4×3(-1)2+5×4(-1)3+5(-1)4+(-1)5=5!2!(-1)2+5!3!(-1)3+5!4!(-1)4+5!5!(-1)5,…,所以Dn=n![12!-13!+…+(-1)n1n!].还有一种方法:利用递推关系式Dn=C1n-1(Dn-1+Dn-2),设Dk=k!pk,k=1、2、3、…、n,则p1=0,p2=12.当n≥3时,由Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)得n!pn=(n-1)(n-1)!pn-1+(n-1)(n-2)!pn-2,即n(n-1)!pn=(n-1)(n-1)!pn-1+(n-1)!pn-2,可知npn=(n-1)pn-1+pn-2,即npn=npn-1-pn-1+pn-2,则pn-pn-1=-pn-1-pn-2n,pn-1-pn-2=-pn-2-pn-3n-1,……,因此有pn-pn-1=(-1n)(-1n-1)(-1n-2)…(p2-p1)=(-1)n1n!,pn-1-pn-2=(-)n-11(n-1)!,…,p2-p1=(-1)212!.各式两边相加得pn=12!-13!+…+(-1)n1n!.所以Dn=n!pn=n![1-11!+12!-13!+…+(-1)n1n!].四、化简公式由于e-1=1-11!+12!-13!+…+(-1)n1n!+…,e=2.71828.即e-1=pn+(-1)n+11(n+1)!+(-1)n+21(n+2)!+…余项为Rn=(-1)n+11(n+1)!+(-1)n+21(n+2)!+…=(-1)n+11(n+1)!(1-1n+2)+…那么该余项取值范围如何呢?由泰勒中值定理可知,在含有x0的某个开区间(a,b)内,函数f(x)可表示为(x-x0)的一个n次多项式pn(x)与一个余项Rn(x)之和,此和是关于(x-x0)的幂级数即泰勒级数,其中pn(x)=f(x0)+f ′(x0)(x-x0)+f ″(x0)2!(x-x0)2+…+f (n)(x0)n!(x-x0)n,余项为Rn(x)=f (n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1.ξ在x与x0之间.若将函数f(x)=ex展开成x的幂级数即麦克劳林级数,由于x0=0,f (n+1)(x)=ex,则ex=1+x+x22!+x33!+…+xnn!+….对于任何有限的x、ξ(ξ在0与x之间),余项为Rn (x)=eξ(n+1)!xn+1.而函数f(x)=ex展开成x的幂级数中含有xn+1的项为f (n+1)(ξ)(n+1)!xn+1=ex(n+1)!xn+1,可见二者形式相似.由于x=-1,因此e-1的幂级数的余项为Rn(-1)=(-1)n+1eξ(n+1)!,且ξ∈(-1,0).因此Dn=n!e-1-(-1)n+1eξn+1.设λ=|n!Rn|=|(-1)n+1eξn+1|=eξn+1,由于eξ∈(1e,1),当n=1时,λ。

全错位排列公式

全错位排列公式

全错位排列公式什么是错位全排列问题?其实很简单,在生活中可能都会遇到:“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli,1700-1782)提出来的,大意如下:一个人写了 n 封不同的信及相应的n 个不同的信封,他把这 n 封信都装错了信封,问都装错信封的装法有多少种?为了解决这个看似简单的问题,我们从数学的角度出发,尝试几个常用的方法。

记装错 n 封信的种类为 D_n ,并且有 n 封信a_1,a_2,...,a_n(1)枚举法(Enumeration method)计算种数当 n 的值较小时,可以利用枚举法:n=1 时,不可能装错信,则 D_1=0 ;n=2 时,显然装错信时,只可能为两者调换位置,则D_2=1 ;n=3 时,有 (a_2,a_3,a_1) , (a_3,a_1,a_2) 两种装法,则D_3=2 ;n=4 时,装法如下:(a_2,a_1,a_4,a_3) , (a_2,a_3,a_4,a_1) ,(a_2,a_4,a_1,a_3) ,(a_3,a_1,a_4,a_2) ,(a_3,a_4,a_1,a_2) , (a_3,a_4,a_2,a_1) ,(a_4,a_1,a_2,a_3) , (a_4,a_3,a_2,a_1) ,(a_4,a_3,a_1,a_2) ,则 D_4=9 。

当 n 的值越来越大时,枚举会变得异常复杂。

可以考虑用排列数(Permutation)和组合数(Combination),来得到错位全排列的计算公式。

(2)排列组合计算种数显然, n 封信的组合方式共有 A_n^n=n! 种装法,接下来我们要做的就是扣掉其中重复的种类,保证计数“不重不漏”。

假设第一封信装对,即为剩下的 n-1 个元素的一个全排列(All permutation),则有 A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! 种装法;并且当第二封信装对时,也有 A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! ,以此类推,每一封信装对时,都有 (n-1)! 种装法。

高中数学排列组合:全错位排列问题详解

高中数学排列组合:全错位排列问题详解

利用此递推关系可以分别算出 T4=9,T5=44,所以题三的答案为 44+5×9+10×2=109.
3.关于全错位排列数的一个通项公式:Tn= n![ 1 1 (1) n 1 ] (n≥2).
2! 3!
n!
(1).探索
规定 An0 =1(n∈N*),试计算以下各式的值: (1) A42 A41 A40 ; (2) A53 A52 A51 A50 ; (3) A64 A63 A62 A61 A60 .
2! 3!
k! 2! 3!
(k 1)!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +k· (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
=k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +(k+1)· (1)k 1 (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
k!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +(k+1)· (1)k 1 (1)k k 1 ]
全错位排列问题
每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题,我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位 排列问题.
1.错位排列问题
例 1. 4 名同学各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿出一张别人写的贺卡,则
四张贺卡的不同分配方式共有
Hale Waihona Puke 种.例 2. 将编号为 1,2,3,4 的四个小球分别放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,
(k 1)!
k!
(k 1)!
∴n=k+1 时(*)式也成立.
由以上过程可知 n 个元素全错位排列的排列数为:
Tn=
aj 不排 i 位

完全错位排列公式

完全错位排列公式

完全错位排列公式
完全错位排列是一种有趣的排列方式,它可以让字母、数字等元素
按照一定的规则排列组合,形成新的组合方式。

完全错位排列的公式
如下:
n! * (1/2! - 1/3! + 1/4! - … + (-1)^n-1 / n!)
其中,n为元素的总数。

完全错位排列的应用很广泛,可以用于密码学、数学、计算机科学等
领域。

在生活中,我们也可以利用完全错位排列来创建有趣的游戏和
谜题。

比如,我们可以创建一个谜题,让玩家猜测某个单词的完全错
位排列。

除了完全错位排列,还有很多其他的排列方式,比如全排列、部分排列、循环排列等等。

每种排列方式都有自己的特点和应用场景,我们
可以根据具体需求选择合适的排列方式。

在中文写作中,我们也可以利用排列方式来增强文章的表现力和趣味性。

比如,我们可以使用倒叙、押韵、交叉等等手法,将文字组合成
不同的形式,创造出独特的效果。

这些手法需要灵活运用,并结合具
体语境来使用,才能发挥最佳的效果。

总之,完全错位排列是一种有趣的排列方式,不仅可以用于理论研究,
也可以用于实际应用。

在中文写作中,我们也可以借鉴其思想,创造出更有趣和富有表现力的文章。

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

各种排列组合奇怪的数的公式和推导(伪)前言啊复习初赛看到排列组合那块,找个推导都难!真是的!一、排列(在乎顺序)全排列:P(n,n)=n!n个人都排队。

第一个位置可以选n个,第二位置可以选n-1个,以此类推得: P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!部分排列:P(n,m)=n!-(n-m)!n个人,选m个出来排队,第一个位置可以选n个,…,最后一个可以选n-m+1个,以此类推得:P(n,m)=n*(n-1)*.*(n-m+1)=n!-(n-m)!。

二、组合(不在乎顺序)n个人,选m个人出来。

因为不在乎顺序,所以按排列算的话,每个组合被选到之后还要排列,是被算了m!遍的。

即C(n,m)*m!=P(n,m)故而得:C(n,m)=n!-(m!*(n-m)!)有两条性质:1、C(n,m)=C(n,n-m)。

就是说从n个里面选m个跟从n个里面选n-m 个出来不选它是一样的。

2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。

递推式.从n个里面选m个出来的方案=从n-1个里面选m个的方案(即不选第n 个) + 从n-1个里面选m-1个的方案(即选第n个)三、圆排列圆排:Q(n,n)=(n-1)!n个人坐成一圈有多少种坐法。

想想坐成一圈后,分别以每个位置为头断开,可以排成一个序列,就是将n个人全排列中的一种。

这样可以得到n个序列,但是在圆排中是视为同一种坐法的。

所以:Q(n,n)*n=P(n,n),即Q(n,n)=P(n,n)-n=n!-n=(n-1)!部分圆排:Q(n,m)=P(n,m)-m=n!-(m*(n-m)!)推导类似四、重复排列(有限个):n!-(a1!*a2!*…*ak!)k种不一样的球,每种球的个数分别是a1,a2.ak,设n=a1+a2+…+ak,求这n个球的全排列数。

把每种球重复的除掉就好了。

假如第一种球有a1个,那么看成都是不一样的话就有a1!种排列方法,然而它们都是一样的,就是说重复了a1!次。

全错位排列——精选推荐

全错位排列——精选推荐

全错位排列以前接触过这样的题⽬,但是现在稍微系统点⾸先看⼀下百度百科对全错位排列的解释:基本简介全错位排列:即被著名数学家(Leonhard Euler,1707-1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家(Johann Bernoulli,1667-1748)的⼉⼦(DanidBernoulli,1700-1782)提出来的,⼤意如下:⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,他把这n封信都装错了信封,问都装错信封的装法有多少种?公式证明n个相异的元素排成⼀排a1,a2,...,an。

则ai(i=1,2,...,n)不在第i位的排列数为:公式证明:设1,2,...,n的全排列t1,t2,...,tn的集合为I,⽽使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n),则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!,|Ai∩Aj|=(n-2)!,...,|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

由:Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)(可以举例试试,很好懂)应⽤:(1)简单排列1个元素没有全错位排列,2个元素的全错位排列有1种,3个元素的全错位排列有2种,4个元素的全错位排列有9种,5个元素的全错位排列有44种。

递推公式数学家欧拉按⼀般情况给出了⼀个递推公式:⽤A、B、C……表⽰写着n位友⼈名字的信封,a、b、c……表⽰n份相应的写好的信纸。

把错装的总数为记作f(n)。

假设把a错装进B⾥了,包含着这个错误的⼀切错装法分两类:(1)b装⼊A⾥,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b⽆关,应有f(n-2)种错装法。

全错位排列dn的公式

全错位排列dn的公式

全错位排列dn的公式全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:全错位排列是排列组合中的一种特殊情况,它是指将一组元素进行重新排列,使得每个元素都位于原始位置以外。

全错位排列也称为dn排列,其中n表示元素的个数。

在全错位排列中,没有任何元素位于原始位置上,这使得全错位排列在排列组合中具有独特的特性。

在数学中,全错位排列的计算方法可以用一个公式来表示,这个公式可以帮助我们计算任意元素个数的全错位排列数量。

下面我们就来详细介绍全错位排列的公式及其推导过程。

假设有n个元素需要进行全错位排列,首先我们可以计算出n个元素的所有排列数量,这个数量可以用n!来表示,表示的是n的阶乘。

然后我们来计算n个元素的全错位排列数量。

假设第一个元素A有n-1种错误排列方法(把n-1个数安均在一起得到n个数的错位排列数),那么就有n-1种排法。

假设元素A固定在第一个位置,那么剩下的元素就剩下n-1个元素。

这n-1个元素就要错位排列(错位排列其实就是将元素A与其他元素进行交换得到不同的排列)。

由于有n种情况可以选择元素A在第一个位置,所以总共就有n*(n-1)种情况。

现在我们来考虑其他的元素B,如何计算B在排列中的错位情况呢?实际上第一个元素A和其他元素B、C……之间的错位情况是相互独立的。

即当A的错位情况确定时,B的错位情况是无法受到A的影响的。

B在错位情况上有(n-1)*(n-2)种可能。

同样的道理,对于C,C有(n-2)*(n-3)种可能,以此类推,最后一个元素有1*0种可能。

根据乘法原理,n个元素的全错位排列总数为:(n-1)! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^(n-1)/n!)这个公式表示了n个元素的全错位排列数量,其中n!表示n的阶乘,(n-1)!表示n-1的阶乘,以此类推。

而其中的每一项都是错位排列的一部分,通过不断累加可以得到n个元素的全错位排列数量。

通过这个公式,我们可以计算出任意元素个数的全错位排列数量,这对于解决一些排列组合问题具有重要的意义。

组合数学-全错位排序公式

组合数学-全错位排序公式

组合数学-全错位排序公式不容易系列之⼀Problem Description⼤家常常感慨,要做好⼀件事情真的不容易,确实,失败⽐成功容易多了!做好“⼀件”事情尚且不易,若想永远成功⽽总从不失败,那更是难上加难了,就像花钱总是⽐挣钱容易的道理⼀样。

话虽这样说,我还是要告诉⼤家,要想失败到⼀定程度也是不容易的。

⽐如,我⾼中的时候,就有⼀个神奇的⼥⽣,在英语考试的时候,竟然把40个单项选择题全部做错了!⼤家都学过概率论,应该知道出现这种情况的概率,所以⾄今我都觉得这是⼀件神奇的事情。

如果套⽤⼀句经典的评语,我们可以这样总结:⼀个⼈做错⼀道选择题并不难,难的是全部做错,⼀个不对。

不幸的是,这种⼩概率事件⼜发⽣了,⽽且就在我们⾝边:事情是这样的——HDU有个⽹名叫做8006的男性同学,结交⽹友⽆数,最近该同学玩起了浪漫,同时给n个⽹友每⼈写了⼀封信,这都没什么,要命的是,他竟然把所有的信都装错了信封!注意了,是全部装错哟!现在的问题是:请⼤家帮可怜的8006同学计算⼀下,⼀共有多少种可能的错误⽅式呢?Input输⼊数据包含多个多个测试实例,每个测试实例占⽤⼀⾏,每⾏包含⼀个正整数n(1<n<=20),n表⽰8006的⽹友的⼈数。

Output对于每⾏输⼊请输出可能的错误⽅式的数量,每个实例的输出占⽤⼀⾏。

Sample Input2 3Sample Output1 2AuthorlcyMean:略analyse:就是错排公式的简单运⽤。

下⾯来了解⼀下错排公式。

所谓错排就是全错位排序公式,即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”,他求解这样的问题:⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,他把这n封信都装错了信封,问都装错信封的装法有多少种?递推公式:f(n)=(n-1) * {f(n-1)+f(n-2)}Time complexity:O(n)Source code:// Memory Time// 1347K 0MS// by : Snarl_jsb// 2014-09-15-21.27#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<vector>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<string>#include<climits>#include<cmath>#define N 1000010#define LL long longusing namespace std;long long a[N];void cuopai(long long n) //// Formula : f(n)=(n-1)*{f(n-1)+f(n-2)} ;{a[1]=0,a[2]=1;for(long long i=3;i<=n;i++){a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);}}int main(){// freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);// freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout); cuopai(30);int n;while(cin>>n){cout<<a[n]<<endl;}return 0;}。

全错位排列递推公式

全错位排列递推公式

全错位排列的递推公式可以表示为:an = a(n,n) - [c(n,0)a0 + c(n,1)a1 + ... + c(n,n-1)a(n-1)]。

其中,a(n,n) 表示n 个元素的全排列数,c(n,i) 表示n 个元素里选i 个的组合数,ai(i=0,1,...,n) 表示恰好有i 个元素错位的排列数。

这个公式可以理解为n 个元素的全排列数可以看作是先从n 个元素里选出i 个,其他元素位置不变,但是这i 个元素全错位排列,当i 从0 取到n 以后,刚好就是n 个元素的全排列数。

另外,也可以通过递推公式D ( N ) = ( N − 1 ) ∗[ D ( N − 2 ) + D ( N − 1 ) ] 来计算全错位排列数。

这个公式表示的是,对于任何一个排列,都可以通过计算其前面N-1 个元素的全错位排列数和前面N-2 个元素的错位排列数的和来得到。

以上信息仅供参考,如果还有疑问,建议访问官网查询或咨询专业人士。

高中数学排列组合:全错位排列问题详解

高中数学排列组合:全错位排列问题详解

Tn=
An2 n
An3 n
(1)n
An0
(n≥2)
(*)
为了更容易看清其本质,我们对这个式子进行变形,得到:
Tn=
An2 n
An3 n
(1)n
An0
= n! n! (1)n n! = n![ 1 1 (1)n 1 ]
2! 3!
n! 2! 3!
n!
(3).证明(数学归纳法)
n=2,3 时(*)式显然成立;
(1).一般地,设 n 个编号为 1、2、3、… 、i、…、j、…、n 的不同元素 a1、a2、a3、…、 ai、…、aj、…、an,排在一排,且每个元素均不排在与其编号相同的位置,这样的全错位 排列数为 Tn ,则 T2=1,T3=2,Tn= (n-1) ( Tn-1+Tn-2) ,(n≥3).
(2).递推关系的确立
利用此递推关系可以分别算出 T4=9,T5=44,所以题三的答案为 44+5×9+10×2=109.
3.关于全错位排列数的一个通项公式:Tn= n![ 1 1 (1) n 1 ] (n≥2).
2! 3!
n!
(1).探索
规定 An0 =1(n∈N*),试计算以下各式的值: (1) A42 A41 A40 ; (2) A53 A52 A51 A50 ; (3) A64 A63 A62 A61 A60 .
解:用 7 个相同的小球代表数 7, 用 5 个标有 x1 、 x2 、…、 x5 的 5 个不同的盒子表示
未知数 x1 、 x2 、…、 x5 ,要得到方程 x1 + x2 +…+ x5 =7 的正整数解的个数,可分以下两步
完成。第一步:从 7 个相同的小球中任取 5 个放入 5 个不同的盒子中,仅有 1 种放法;第二

关于全错位问题的结论

关于全错位问题的结论

关于“全错位问题”的一个重要结论一般地,我们把“1”不放在第一位,“2”不放在第二位,“3”不放在第三位……。

“n ”不放在第n 位,称为“全错位问题”。

在全错位问题中,如果一共有n 个元素,我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。

则可得一个重要结论:f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如:n=1时,显然f(1)=0 n=2时 共1种情况而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时 或共2种情况而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式n=4时,举例:用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位数,1不在个位,2不在十位,3不在百位,4不在千位,共有多少种排法?列举如下:共9种排法而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式同理可验证:F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立……下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2)1.当n=2时,f(3)=1,f(3)=3f(2)-1=2,等式成立,当n=3时,f(3)=2,f(4)=4f(3)+1=9,等式成立;2.假设n≤k (k≧3)等式成立,即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k,则当n=k+1时,设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。

在k个元素全错位排序的基础上,k+1个元素全错位排序后,它们全错位排序的方法分为两类,(1)a k+1与a i(i=1、2、……k)互调位置,其余元素全错位排列,方法数为kf(k-1);(2)a k+1在a i的位置上,但a i(i=1、2、……k)不在a k+1的位置上,相当于a k+1将的每一个全错位排列的元素置换一遍,由假设知a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数为f(k),得该类全错位排序的方法数为k f(k).故f(k+1)=k f(k)+kf(k-1),由假设f(k)=kf(k-1)+(-1)k,∴f(k+1)=k f(k)+kf(k-1)=k f(k)+f(k)-(-1)k=(k+1)f(k)+(-1)k+1.即当n=k+1时,等式也成立.所以,n个元素全错位排列的方法数的递推关系为f(n)=nf(n-1)+(-1)n (n≧2).下面举例说明*式的应用例1.同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡不同的分配方式有______种?[解]此题属于4个元素的全错位问题由f(n)=nf(n-1)+(-1)3得f(4)=9故分配方式有9种例2.设编号为1、2、3、4、5的五个球及编号为1、2、3、4、5的五个盒子,一盒内放一球,恰有两个球的编号与盒子编号相同,则投放总数有多少?[解]“恰有两个球的编号与盒子编号相同”,等价于“恰有三个球的编号与盒子编号不同”。

全错排列

全错排列

全错位排列与部分错位排列说起全错位排列问题,很多人都不陌生。

例如2011年浙江公务员考试的这道题:四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。

现在要求每个人去品尝一道菜,但不能尝自己做的那道菜。

问共有几种不同的尝法?A.6种 B.9种 C.12种 D.15种若将n个元素重新排列,使每个元素都不在自己的位置上,可能的方法数记做T n,则有这样几个公式来求解T n:(1)T n=(n-1)(T n-1+T n-)(2)2T n=n·T n-1+(-1)n(3)公式看起来比较复杂难记,你可以选择直接记住下面几个数值T1=0,T2=1,T3=2,T4=9,T5=44,T6=265接下来我要说的是部分错位排列问题,何为部分错位排列问题?举个例子:5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,共有多少种不同的站法?这样的问题该怎么考虑呢?我们可以用容斥原理的思想来做。

例1:5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,共有多少种不同的站法?解析:5个人全排列,有A(5,5)种站法,然后减去甲排第一(有A(4,4)种)与乙排第二(也有A(4,4)种)的排法,但两种又有重复部分——甲排第一且乙排第二(有A(3,3)种),因此必须加上多减的部分。

故共有A(5,5)-C(2,1)•A(4,4)+C(2,2)•A(3,3)=78种。

例2:甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,丙不站第三位,共有多少种不同的站法?解析:5个人全排列,有A(5,5)种站法,然后减去甲站第一位(有A(4,4)种)、乙站第二位(有A(4,4)种)和丙站第三位(有A(4,4)种)的站法;以上三种情况又有重复部分——甲站第一位且乙站第二位(有A(3,3)种)、乙站第二位且丙站第三位(有A(3,3)种)和甲站第一位且丙站第三位(有A(3,3)种)的站法,需要加上多减的部分;以上三种情况又有重复的部分——甲站第一位、乙站第二位且丙站第三位(有A(2,2)种)的站法,需要减去多加的部分。

错排公式——精选推荐

错排公式——精选推荐

错排公式
n个有序的元素应有n!种不同的排列。

如果⼀个排列式的所有的元素都不在原来的位置,则称这个排列为错排。

任给⼀个n,求出1,2,……,n的错排个数Dn共有多少个。

递归关系:d[n]=(n-1)(d[n-1]+d[n-2]);
解释:
先知道什么是错排了吧。

第⼀步:
“错排”1号元素(将1号元素排在第2⾄第n个位置之⼀),有n-1种⽅法。

第⼆步:
“错排”其余n-1个元素,按如下顺序进⾏。

1*.如果第⼀步是把1号放在第k个位置,
我们在“错排”第k号元素的安放会有:
可以放到1号,留下的n-2个元素的错排就可以认为是D[n-2]
(我觉得这⼀步其实很好理解,因为他的条件和补全1号和k号是⼀样的,
⽤规范的语⾔就是:留下的n-2个元素在与它们的编号集相等的位置集上的错排)
2*如果k号元素不放在第⼀个位置:
这时可以把第⼀个位置看成第k个位置(也就是说本来可以放到k位置的元素,可以放到第⼀个位置),于是形成(包括k号元素在内的)n-1个元素形成错排,会有D[n-1]种⽅法。

根据加法原理:第⼆步有D[n-2]+D[n-1]种;
最后:n个元素的错排总数D[n]=(n-1)(D[n-2]+D[n-1]);。

错位重排公式原理

错位重排公式原理

错位重排公式原理
错位重排公式,也称错排问题,是一类组合数学问题。

该问题的一个经典应用是计算在一个赛马比赛中,每匹马跑完比赛后它们的排名恰好与起初的排名顺序不同的概率。

假设有n个元素,它们的全排列共有n!种。

现在要求每个元素都不在原来的位置上,即错位重排。

设错位重排的种数为
D(n)。

对于第一个元素,有n-1种选择不在它原来的位置上。

假设第一个元素被放在了第i个位置上,有两种情况:
- 元素i被放在第一个位置上,剩下的n-2个元素的错位重排问题变成D(n-2)。

- 元素i没有被放在第一个位置上,此时剩下的问题变成D(n-1)。

因此,D(n) = (n-1) * (D(n-2) + D(n-1))。

初始条件为D(1) = 0, D(2) = 1。

利用该公式可以递归地计算任意n的错位重排种数。

错位排列公式的D是什么

错位排列公式的D是什么

错位排列公式的D是什么
错位排列公式的D是递推,递推算法是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法。

递推是序列计算中的一种常用算法。

通常是通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值。

递推是按照一定的规律来计算序列中的每个项,通常是通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值。

其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复,该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。

Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|
设1,2,...,n的全排列b1,b2,...,bn的集合为A,而使bi=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n),则Dn=|A|-|A1∪A2∪...∪An|。

所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|。

注意到|Ai|=(n-1)!,|Ai∩Aj|=(n-2)!,...,|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

背景:
错位排列问题就是指一种比较难理解的复杂数学模型,是伯努利和欧拉在错装信封时发现的,因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。

表述为:编号是1、2、…、n的n封信,装入编号为1、2、…、n的n个信封,要求每封信和信封的编号不同,问有多少种装法?对这类问题有个固定的递推公式,记n封信的错位重排数为Dn。

则D1=0,D2=1,Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1)此处n-2、n-1为下标。

n>2。

只需记住Dn的前几项:D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44。

只需要记住结论,进行计算就可以。

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错位全排公式
错位全排公式
什么是错位全排公式?
错位全排公式是一种数学组合方法,也称为”错位排列”,用于计算某个集合的错位排列数量。

通常在排列问题中,我们考虑的是将n 个元素进行全排列的数量,而在错位全排中,我们要求每个元素都不在原来的位置上。

公式表达
错位全排公式可以通过以下公式来表示:
D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2})
其中,D_n 表示n个元素的错位排列数量,D_{n-1} 表示n-1个元素的错位排列数量,D_{n-2} 表示n-2个元素的错位排列数量。

如何计算错位全排?
要计算错位全排,我们可以按照以下步骤进行操作:
1.首先,我们需要确定有多少个元素需要进行错位排列。

2.接着,我们需要计算出少于这个数量的元素的错位排列数量,即
D_{n-1} 和 D_{n-2}。

3.最后,我们可以根据上述公式计算出错位全排的数量。

一个例子
假设我们要计算3个元素的错位全排,即 n=3。

首先,我们需要计算 n-1 = 2 个元素的错位排列数量。

根据公式,我们可以猜测 D_2 = 1。

接着,我们需要计算 n-2 = 1 个元素的错位排列数量。

同样地,根据公式,我们可以猜测 D_1 = 0。

现在,我们可以使用公式 D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2}) 来计算三个元素的错位排列数量:
D_3 = (3-1) * (D_2 + D_1) = (3-1) * (1 + 0) = 2 * 1 = 2
因此,当元素数量为3时,错位全排的数量为2。

总结
错位全排公式是一种用于计算某个集合的错位排列数量的数学方法。

通过公式 D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2}),我们可以轻松
计算出任意数量元素的错位全排。

使用错位全排可以解决一些排列问题,特别是当我们需要确保每
个元素都不在原来的位置上时。

此外,错位全排也可以用于一些密码
学的应用中。

希望本文能够帮助读者理解错位全排公式的原理和应用。

通过灵
活运用这一方法,我们可以更好地解决各种排列问题。

错位全排的应用场景
错位全排公式在实际应用中有着广泛的应用场景,以下是其中一些常见的应用场景:
1. 密码学
在密码学中,错位全排可以用于生成一种密钥密码算法中的初始置换矩阵。

通过错位全排,可以确保密钥的每个元素都不在原来的位置上,从而增强密码的随机性和安全性。

2. 投票系统
在某些投票系统中,为了防止恶意投票和造假,可以使用错位全排来生成每个选民的投票顺序。

通过错位全排,可以确保每个选民的投票顺序都是随机的,从而增加投票结果的公正性和可靠性。

3. 票据编号
在一些机构和组织中,为了防止票据编号的重复和欺诈行为,可以使用错位全排来生成票据的编号。

通过错位全排,可以确保每个票据的编号都唯一且随机,从而提高票据管理的准确性和可追溯性。

4. 排座位
在某些活动或场合中,为了增加互动和交流的机会,可以使用错位全排来安排参与者的座位。

通过错位全排,可以确保每个参与者的座位都与原先的座位不同,从而创造出更多的交流和认识新朋友的机会。

总结
错位全排公式是一种重要的数学方法,通过使用该公式,我们可以计算出错位全排的数量,并在实际应用中解决各种问题。

无论是在密码学中增强安全性,还是在投票系统中确保公平性,错位全排都具有重要的应用。

此外,错位全排还适用于票据编号和座位安排等领域,为相关工作提供效率和准确性。

希望本文的介绍能够让读者更好地理解错位全排的原理和应用场景,以及如何灵活运用错位全排来解决实际问题。

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