高中数学直线参数方程
数学的参数方程公式有哪些
数学的参数⽅程公式有哪些 直线参数⽅程是⾼中数学在解析⼏何这⼀模块中⾮常重要的知识点,也是整个⾼中数学的⼀⼤难题,接下来店铺为你整理了数学参数⽅程公式，⼀起来看看吧。
数学参数⽅程公式 数学参数⽅程概念 ⼀般在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标x,y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每⼀个允许的取值，由⽅程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做曲线的参数⽅程，联系变数x, y的变数t叫做参变数，简称参数。
圆的参数⽅程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆⼼坐标 r为圆半径θ为参数 椭圆的参数⽅程 x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴长 b为短半轴长θ为参数 双曲线的参数⽅程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长θ为参数 抛物线的参数⽅程 x=2pt^2 y=2pt p表⽰焦点到准线的距离 t为参数 直线的参数⽅程 x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表⽰直线经过(x',y'),且倾斜⾓为a,t为参数. 数学学习技巧 ⼀、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能⼒的培养主要在课堂上进⾏，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习⽅法。
上课时要紧跟⽼师的思路，积极展开思维预测下⾯的步骤，⽐较⾃⼰的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
⾸先要在做各种习题之前将⽼师所讲的知识点回忆⼀遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆⽽不采⽤“不清楚⽴即翻书”之举。
认真独⽴完成作业，勤于思考，对于有些题⽬，由于⾃⼰的思路不清，⼀时难以解出，应让⾃⼰冷静下来认真分析题⽬，尽量⾃⼰解决。
在每个阶段的学习中要进⾏整理和归纳总结，把知识的点、线、⾯结合起来交织成知识⽹络，纳⼊⾃⼰的知识体系。
高中数学-参数方程
x = a cos θ y = b sin θ
(θ 为参数)上各
点连线的中点轨迹方程。
解：设定点与椭圆上的点连线的中点为M ( x, y ) 2a + a cos θ x= 2 则{ (θ为参数) b sin θ y= 2 ( x − a) 2 y 2 上述的方程消去参数，得 + 2 =1 2 a b 4 4
解：参数方程{ x+ y−2 =0 曲线{ x = 2 cos α y = 2 sin α
2
x = 1+ t y = 1− t
(t为参数)的普通方程为
(α为参数)的普通方程为x + y = 4
2 2
解方程组{
x+ y−2 =0 x +y =4
2
得焦点坐标为(2,0)和(0,2)
椭圆参数方程
求定点(2a, 0)和椭圆{
直线参数方程
1 x =1+ 2 t 一条直 线的参 数方 程是 ）， (t为参数 y = −5 + 3 t 2 另一条 直线 的方程 是x-y-2 3 = 0,则 两直线 的交点 与点（ -5） 1， 间的距 离是
4 3
x = t sin20 + 3 直 线 (t为参数）的倾斜角是 o y = −t cos20
x = r + r cos θ
P( x, y )是曲线{
x = 2 + cos α y = sin α
2 2
(α 为参数)上任
）
（ 意一点, 则( x − 5) + ( y + 4) 的最大值为 A
A、 36 、 C、 26 、
B、 6 、 D、 25 、
x = 1+ t (t为参数) 若已知直线的参数方程为{ y = 1− t x = 2 cos α 求它与曲线{ (α 为参数)的交点。 y = 2sin α
高中数学-第5课时 直线的参数方程
法一：直角坐标系法
解
：
由
x y
y x2
1
0
得：x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
AB 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 5 10
由(*)解 得 ：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记 直 线 与 抛 物 线 的 交坐点标A( 1
2 2
10
由参数t的几何意义得：
| AB || t1 t2 | 10 ,| MA| | MB || t1 t2 | 2
P(1
2 2
t
p
,2
2 2
t p ),t p
t1 t2 2
2 P( 1 , 3)
2
22
点A对应的参数为t A,点B对应的参数为tB, 中点P对应的参数为tP
xy
x0 y0
选修4-4 极坐标与参数方程 §2.1 直线的参数方程
高二文科数学组
问题提出
如图2-1，一架救援飞机在离灾区地面
500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。
为使投放救援物资准确
落于灾区指定的地面（不
记空气阻力），飞行员应
如何确定投放时机呢？
图2 1
y
V=100m/s 500
M(x,y)
O
x
（t为飞机投出后的时间）
若t 0,则M 0M方向向下
若t
0, 则点M与M
重合
0
e M0 (x0, y0 )
0
x
1.直线标准参数方程
x=x0 t cos
高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00(t 为参数)(2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数)②在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t｜.直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00（t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则(1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cosα,y 0+t 1sinα)(x 0+t 2cosα,y 0+t 2sinα)；(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t，则t=221t t +中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t｜=｜221t t +｜(4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222=+b y a x (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O 引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x y tg y x θρ三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数）则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（）A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解：ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sinθ=2y(x＞0)即y=21x 2(x＞0).∴应选B.例5在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（31，32） C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2将x=21代入，得y=21∴应选C.例6下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是()A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty tx 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t ty tgt x 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sinθ=22y x y +代入ρ=4sinθ，得x 2+y 2=4y，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA 为直径，｜OA｜=4,l 和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有cosθ=ρ2=OPOB ，得ρcosθ=2，∴应选B.例104ρsin 22θ=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x +ρcosθ=x，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是()A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3x 2，y=±x 3,它表示两相交直线.∴应选B.四、能力训练(一)选择题1.极坐标方程ρcosθ=34表示()A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=6π和sinθ=21；②θ=6π和tgθ=33，③ρ2-9=0和ρ=3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为()A.1 B.2 C.3 D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N 两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2π D.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是()A．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab≠0)化为普通方程是()A.)(12222a xb y a x ≠=+ B.)(12222a x b y a x -≠=+C.)(12222a x by a x ≠=- D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为()A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1,3π),r=1D.(1,-3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为()A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±x D.y+1=)2(2-±x 11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4((t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为()A.3π B.32π C.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M，N 间的距离为()A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是()A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是()A．θθρsin cos 23-=B．θθρcos cos 23-=C．θθρsin 2cos 3-=D．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为.18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为.(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数)上一点P，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p＞0，t 为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A，B，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G，H 两点.(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF 2│·│F 2H│成立的直线BD 是否存在?并说明理由.(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.24.A，B 为椭圆2222by a x +=1，(a＞b＞0)上的两点，且OA⊥OB，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l∶812yx +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R，又点Q 在OP 上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x≤21);18.抛物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
高中数学极坐标与参数方程知识点
高中数学极坐标与参数方程知识点知识点参数方程的定义：如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，且对于每个允许值的t，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．常见曲线的参数方程：1.过定点（x，y），倾角为α的直线：x = x + tcosαy = y + tsinα其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．2.中心在（x，y），半径等于r的圆：x = x + rcosθy = y + rsinθθ为参数）3.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：x = acosθ 或x = bcosθθ为参数）（或）y = bsinθ 或y = asinθ4.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：x = asecθ 或x = btanθθ为参数）（或）y = btanθ 或y = asecθ5.顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：x = 2pt^2t为参数，p＞0）y = 2pt直线的参数方程和参数的几何意义：过定点P（x，y），倾斜角为α的直线的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量。
根据t的几何意义，可以得出结论：设AB是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t_A和t_B，则AB = t_B - t_A = (t_B - t_A)^2 - 4t_A*t_B。
极坐标系是在平面内取一个定点O作为极点，引一条射线Ox作为极轴，再选一个长度单位和角度的正方向。
对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox 到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
9
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是x
1
tcos
， 3
(t为参数)即为
x
1(1t为t，参数) 2
y
3
tsin
， 3
答案:
x
1
1(tt，为参y 数3) 2
3 t. 2
y 3
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
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1
【自主预习】
1.直线的参数方程
已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为
(
点M(x,y) )，
为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参2 数方程分
别为
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2
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) __xy__yx_00__ttsc_ion_s_，_ (t为参数) 其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=_Muu_u0u_Mur_. .
3
倾斜角
，
2
2
2. 3
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29
(2) x
1
1 t, 不2 是直线参数方程的标准形式,
令t′=y -t2,得 到23 t标准形式的参数方程为
x
1
1 2
t,
(t′为参数)
y 2
3 t. 2
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30
3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°. (1)写出直线l的参数方程. (2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
高中数学探究课1方向向量与直线的参数方程新人教A版选择性必修第一册
sin α)，这时直线l的参数方程为൝
(t为参数)．
= 0 + sin
【典例】
(1)已知直线l的斜率k＝－1，经过点M0(2，－1)，点M在
直线l上，以0 的模t为参数，求直线l的参数方程．
[解]
∵直线的斜率为－1，∴直线的倾斜角α＝135°，
第二章 直线和圆的方程
探究课1
方向向量与直线的参数方程
直线的参数方程
如图所示，设直线l经过点P0(x0，y0)，v＝
(m，n)是它的一个方向向量，则直线l
= 0 + ，
的参数方程为൝
(t为参数)．
= 0 +
特别地，当直线l的倾斜角为α，则直线l的一个方向向量为v＝(cos α，
2
率为(
A．1
)
B．－1
√
π
C．
2
π
D．－
2
B
[由直线的参数方程൝
= 0 + ，
= 0 +
(t为参数)，
表示过点(x0，y0)，方向向量为(m，n)的直线，
所以直线l的方向向量为
π
2
π
−
2
π
π
− ，
2
2
故k＝ ＝－1，故选B．]
，
2
= −1 −
1．已知直线l的参数方程为൞
斜率为(
A．1
B
=2+
2
，
2
2
2
(t为参数)，则直线l的
)
B．－1
√
C．
2
2
D．－
2
2
直线的参数方程怎么写
直线的参数方程怎么写直线是几何学中最基础的图形之一，它由无数个点组成，且这些点都在同一条直线上。
直线的方程是用来表示直线上的所有点的数学表达式。
在解析几何中，我们通常使用直线的一般方程、斜截式、点斜式和参数方程来描述和研究直线的性质。
本文将着重介绍直线的参数方程的基本概念和应用。
一、直线的一般定义直线是由无数个点组成的无穷集合，它是经过两个不同点的最短路径。
直线还有一些重要的性质，如无宽度、无曲率和无限延伸等。
二、直线的一般方程直线的一般方程通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数常数，且A和B不同时为0。
一般方程是直线的一种常用形式，它可以描述直线上的所有点。
然而，一般方程不够直观，不能直接得到直线的斜率和截距等重要信息。
三、直线的斜截式直线的斜截式是直线的另一种常见表达形式，它是以直线与y轴的交点和直线的斜率来表示的。
斜截式的一般形式是y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
斜截式可以更直观地反映直线的性质，如斜率和截距等。
四、直线的点斜式直线的点斜式是一种更加灵活和简洁的表达方式，它是以直线上的一个已知点和直线的斜率来表示的。
点斜式的一般形式是y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
点斜式可以直接得到直线的方程，且适用于非垂直于坐标轴的直线。
五、直线的参数方程直线的参数方程是一种用参数表示直线上的点的表达形式。
参数方程的一般形式是x = x₁ + at，y= y₁ + bt，其中(x₁, y₁)是直线上的一个已知点，a和b是参数，t是参数的取值范围。
参数方程实际上是将直线上的每一个点转化成了一个参数化的形式，可以方便地进行计算和描述。
直线的参数方程可以通过以下步骤来确定：1. 选择任意两个不同的点来确定直线的斜率。
2. 使用斜率和一个已知点来确定直线的点斜式方程。
3. 将点斜式方程转化成参数方程形式。
高中数学中的参数方程知识点总结
高中数学中的参数方程知识点总结参数方程是代表一个曲线或者一个点在平面坐标系中运动的方式。
与一般的笛卡尔坐标系不同，参数方程使用参数来表示曲线上的各点，使得曲线的运动更加灵活。
在高中数学中，学习参数方程是为了更好地理解和应用曲线方程。
本文将对高中数学中的参数方程知识点进行总结。
一、参数方程的基本定义和概念1. 参数的含义：在参数方程中，通常用一个或多个参数来表示曲线上的点。
参数的取值范围可以是实数集合，也可以是有限区间。
2. 参数方程的形式：参数方程一般以参数t作为自变量，用x和y的函数来表示曲线上的点的坐标。
例如，对于曲线C上的点P(x, y)，参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)。
3. 参数方程的解释：参数t表示曲线上的位置，通过改变参数t的取值，可以获得曲线上的不同点的坐标。
因此，参数方程可以看作是曲线上的一个点在不同位置的运动轨迹。
4. 参数方程和笛卡尔方程的转换：有时候，将曲线的笛卡尔方程转换为参数方程可以简化问题的求解，同时也可以更好地描述曲线的运动规律。
二、常见曲线的参数方程1. 直线的参数方程：对于一条直线L，可以通过选择合适的参数t，将直线上的点的坐标x和y表示为参数方程。
例如，直线的参数方程可以表示为x=a+bt，y=c+dt，其中a、b、c、d为常数。
2. 圆的参数方程：圆的参数方程可以通过选择圆上一点的极坐标表示。
例如，圆的参数方程可以表示为x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中r为半径，t为参数。
3. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过选择椭圆上一点的极坐标表示。
例如，椭圆的参数方程可以表示为x=acos(t)，y=bsin(t)，其中a、b分别为长半轴和短半轴的长度。
4. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可以通过选择抛物线上一点的极坐标表示。
例如，抛物线的参数方程可以表示为x=t，y=at^2，其中a为常数。
5. 双曲线的参数方程：双曲线的参数方程可以通过选择双曲线上一点的极坐标表示。
高中数学-知识讲解 第5讲 直线的参数方程
直线的参数方程【学习目标】1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。
【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式：经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。
2. 参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。
当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =；要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x .要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。
若a 2+b 2=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 要点四、直线参数方程的应用1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法： 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则（1）P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4) 若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型： （1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。
北师大版高中数学必修二第五课时 直线的参数方程教案(精品教学设计)
第五课时 直线的参数方程一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x（θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x（θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课：1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是030，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3），那么又如何描述直线L位置呢？2（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM u u u u r数量来表示。
带符号.（2）、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为121121(1){x X y y x y λλλλλλ++++==≠-为参数，。
其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。
这里参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP uuu v的数量比QMMP。
当oλ>时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时，点M 与Q 重合。
直线的参数方程
������
������
设方程的两实根分别为 t1、t2,则
∴直线截椭圆的弦长是|t1-t2|= (������������ + ������������ ) -������������������ ������������ = .
������
������
������
[问题]上述解法中存在什么错误吗?
为参数)化为普通方程,得 x+y-1=0.将抛物线 C 的参 ������ = ������ 2 数方程 ������ = ������������ ������ (s 为参数)化为普通方程,得 y=2x . ������ + ������- ������ = ������ 2 联立方程 消去 y, 得 2x +x-1=0,解得 ������ ������ = ������������ x1=-1,x2= .直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 (-1,2),( , ).
入椭圆方程可得:
������ ������
2
(������-������) ������
������
+(1+t) =1,
������������ + ������������ = ������������ ������������ =
������ ������ ������ ������
2
即 t + t+ =0.
������ = ������������ + ������������, (t 为参数) ������ = ������������ + ������������ ,这里的
问题4
如何用直线 l 的参数方程求弦长和求弦的中点 坐标? 一般是先设出直线 l 的参数方程为 ������ = ������������ + ������������������������������, (t 为参数),代入圆锥曲线的方程, ������ = ������������ + ������������������������������
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直线参数方程
1、直线参数方程的标准式
(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是
⎩
⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)
P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，
则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣
(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3
则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t
t +,∣P 0P 3∣=2
21t t +
(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0
2、直线参数方程的一般式
过点P 0(00,y x )，斜率为a
b
k =的直线的参数方程是
⎩
⎨⎧+=+=bt y y at
x x 00 （t 为参数）
一、直线的参数方程
问题1：（直线由点和方向确定）
求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l
设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，
P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数，
又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α
即⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程
∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点
P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t|
x
①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③当t<0时，点P 在点P 0的下方；
特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线
⎧+=0t
x x ④当
t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤当t ＝0时，点P 与点P 0重合；
⑥当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一
对应关系？
我们把直线l 看作是实数轴，
以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.
问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？
P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义， P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |
P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0
一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝2
21t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，
∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）
性质一：A 、B 两点之间的距离为||||21t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|21t t
性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为
2
2
1t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 021=+t t ，反之亦然。
在解题时若能运用参数t 的上述性质，则可起到事半功倍的效果。
应用一：求距离
例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6
π，且与圆72
2=+y x 相交于A 、B 两点。
（1）求弦长AB.
x
x
（2）求A P 0和B P 0的长。
解：因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为
6
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+-=6sin 06cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t
y t x 2123
4，（t 为参数），代入圆方程，得 7)2
1
()234(22=++
-t t ，整理得09342=+-t t （1）设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，所以3421=+t t ，921=t t ， 所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=
t t t t
（2）解方程09342
=+-t t 得，3,3321==t t ， 所以A P 033||1==t ，B P 0.3||2=
=t
应用二：求点的坐标
例2、直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为6
π
，求出直线l 上与点)4,2(0P 相距为4的点的坐标。
解：因为直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为
6
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=6sin 46cos 2ππt y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 21423
2，（t 为参数）， （1） 设直线l 上与已知点)4,2(0P 相距为4的点为M 点，且M 点对应的参数为t ，则
||0M P 4||==t ，所以4±=t ，将t 的值代入（1）式，
当t ＝4时，M 点的坐标为)6,322(+； 当t ＝－4时，M 点的坐标为)2,322(-，
综上，所求M 点的坐标为)6,322(+或)2,322(-.
点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易。
应用三：解决有关弦的中点问题
例3、过点)0,1(0P ，倾斜角为4
π
的直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 点的坐标。
解：直线l 过点)0,1(0P ，倾斜角为
4
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=t y t x 22221，
（t 为参数），因为直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 x y 22=中，得：)2
2
1(2)22(
2t t +=，整理得022212=--t t ，
06)2(2
1
4)2(2>=-⨯⨯--=∆，设这个二次方程的两个根为21,t t ，
由韦达定理得2221=+t t ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得
22
2
1=+=
t t t M ，易知中点M 所对应的参数为2=M t ，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1）
点评：对于上述直线l 的参数方程，A 、B 两点对应的参数为21,t t ，则它们的中点所对应的参数为
.2
2
1t t +。