Leslie种群年龄结构的差分方程模型

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数学实验_重庆大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

数学实验_重庆大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.无向图中边的端点地位是平等的、边是无序点对。

而有向图中边的端点的地位不平等，边是有序点对，不可以交换。

参考答案:正确2.人口数量与下列因素都有关，人口基数、出生率、死亡率、年龄结构、性别比例、医疗水平、工农业生产水平、环境、生育政策等等。

参考答案:正确3.一元5次代数方程在复数范围内有多少个根？参考答案:54.任何贪心算法都能求出最优解。

参考答案:错误5.二维插值函数z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)中，method的缺省值是（）参考答案:linear6.在当前文件夹和搜索路径中都有文件ex1.m，在命令行窗口输入ex1时，则执行的文件是当前文件夹中的ex1.m参考答案:正确7.下列关于Dijkstra算法的哪些说法正确参考答案:Dijkstra算法是求加权图G中从某固定起点到其余各点最短路径的有效算法；_Dijkstra算法的时间复杂度为O(n2)，其中n为顶点数；_Dijkstra算法可用于求解无向图、有向图和混合图的最短路径问题；8.如果x=1: 2 : 10,则x(1)和x(5)分别是( )参考答案:1，99.人口是按指数规律无限增长的。

参考答案:错误10.在包汤圆问题的整个建模过程，包括了如下几个步骤（1）找出问题涉及的主要因素（变量），重新梳理问题使之更明确（2）作出简化、合理的假设（3）用数学的语言来描述问题（4）用几何的知识解决问题（5）模型应用参考答案:正确11.下面程序所解的微分方程组，对应的方程和初始条件为：（1）函数M文件weif.m：function xdot=weif(t, x)xdot=[3*x(1)+x(3);2*x(1)+6;-3*x(2)^2+2*x(3)];（2）脚本M文件main.m：x0=[1,2,3] ;[t,x]=ode23(‘weif’,[0,1],x0),plot(t,x’),figure(2),plot3(x( :,1),x( :,2),x( :,3)参考答案:___12.某公司投资2000万元建成一条生产线。

差分方程—种群模型

F1 F2 F3 …. Fs
0 0 0 …. 0 0 0
N0
N1
N2 N3 …. Ns
(s+1) x 1
N1
N2 N3 …. Ns
(s+1) x 1
=
0 0 …. 0
S1 0 0 0
0 ….
S2 0 …. 0 0
Ss-1 0
(s+1) x (s+1)
Leslie Matrix
N0
F0
S0
F1 F2 F3 …. Fs
1

因而
An=
1 s 2 s 1
2 s 2 1 s1 0
n
1 s 2 n s 2 1 0
2 s 2
s1
1
xn y n
1 s 2 s 1

根据以上假设,建立模型如下
x n 1 t1 x n t 2 y n y n 1 s1 x n s 2 y n
n=0,1,

或写成矩阵形式
x n 1 t1 y s n 1 1 t 2 x n s 2 y n

其中x0,y0分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。
xn , yn

的解法
假如A可以对角化,先将A对角化,如不能对角化,则将其化成约当标准型。对于本例,可作如下处理,令 A I 0 得到特征方程
2 (t1 s2 ) t1s2 t 2 s1 0
判别式 (t1 s2 ) 2 4t 2 s1 特征方程(8.26)有两个相异的实根,因此A可以对角化。对应的特征向量分别为

差分方程模型.doc

项目五差分方程模型一、实训课程名称数学建模实训二、实训项目名称差分方程模型三、实训目的和要求掌握差分方程关于离散变量的取值与变化规律。

通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程并求解。

四、实训内容和原理内容：1、设某种动物种群最高年龄为30，按10岁为一段将此种群分为3组。

设初始时三组中的动物为T )1000,1000,1000(，相应的Leslie 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=021********L 试求10，20，30年后各年龄组的动物数，并求该种群的稳定年龄分布，指出该种群的发展趋势。

2、计算差分方程a （n+1)＝0.85*a （n)＋11，a （1）＝2.33的前10项原理：利用leslie 矩阵的唯一的正特征值及对应的特征向量分别表示种群的发展趋势及种群的稳定分布，对上述模型做适当推广。

五、主要仪器及耗材计算机与Windows 2000/XP 系统；Turbo C/Win-TC/VB 等软件。

六、操作方法与实训步骤步骤：1、（1）10年后各年龄组的动物数：500(1)(0)(1000,1000,1000)(3000,,500)3T T x L x L =⨯=⨯= 20年后各年龄组的动物数：250(2)(1)(500,500,)3T x L x =⨯= 30年后各年龄组的动物数：250(3)(2)(1500,,250)3T x L x =⨯= （2）很容易求出L 矩阵的大于零的特征值为λ=2，其对应的特征向量为T d =所以种群的稳定年龄分布：::x y z =x 表示0-10岁年龄组的动物数，y 表示10-20岁年龄组的动物数，z 表示20-30岁年龄组的动物数。

由于1λ<，所以该种群动物数会逐渐减少。

设医疗保健水平已达到相当高水准，可以假设i P 已几乎无法在增大。

在此假设下，讨论Leslie 模型给出的结果。

试根据Leslie 模型设计一个理想的人口增长模式。

考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）.doc

考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。

不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。

基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。

由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。

将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。

将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。

记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，b为i组每一i妇女在一个时段中生育女孩的平均数，为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人pi数所占的比例(即死亡率d=1-)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。

实际上可以这pii样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。

、ipi如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b、事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。

pii根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系:N(0,j，1),bN(0,j)，bN(0,j)，？，bN(m,j),01m,N(1,j，1),pN(0,j),0 ,？？,,N(m,j，1),pN(m,1,j)m,1,b,p,0显然，。

jiN(0,j)N(0,j，1)，，，，,,,,？？N,N,简记， jj，1,,,,,,,,N(m,j)N(m,j，1)，，，，并引入矩阵bb？bb，，01m,1m,,p0？000,,,,A,0p？00 1,,,,,,00？p0m,1，，则方程组(4.28)可简写成N,ANj，1j矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量TN=(N(0,0)， N( 1,0)，… ，N(m,0))一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即0可用(4.29)式迭代求得1j， N,AN,？,AN10j，j人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。

莱斯利Leslie种群模型

t A t 1 , t 1,2,, k 由此，有 1 A 0 ,
2 A1 A2 0 , 3 A 2 A 0 ,
3
()

t A t 1 At 0 .
4
§4.5 应用（一） ———————————————————— 由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发 — 展水平.下面作进一步地讨论：
水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为 xt 3xt 1 yt 1 yt 2 xt 1 2 yt 1
(t 1,2,, k )
3
§4.5 应用（一） ———————————————————— 令 — xt t y t 则上述关系的矩阵形式为
1
§4.5 应用（一） ———————————————————— 设x0 , y0分别为改地区目前的环水 — 境污染水平与经济发展
平, x1 , y1分别为改地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平, 且有如下关系： x1 3 x0 y 0 y1 2 x0 2 y 0
0不是特征值，不能类似分析 . 但是 0可以由 1，2唯一线性表出为
0 31 22
由（*）及特征值与特征向量的性质
8
§4.5 应用（一） ———————————————————— t t t At 0 At (31 2— ) 3 A 2 A 2 2 1
10
§4.5 应用（一） ———————————————————— 4.5.2莱斯利（— Leslie）种群模型
莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系.
设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位：年），将区间[0,L]作n等分得n个年龄组

leslie模型matlab程序

leslie模型matlab程序Leslie 模型是一种用于描述种群动态变化的数学模型，特别被广泛应用于生态学和人口学领域。

本文将介绍如何使用 MATLAB 编程实现 Leslie 模型，并提供一个完整的 MATLAB 程序。

Leslie 模型是由生物学家 Patrick Leslie 在 1945 年提出的，它利用年龄结构矩阵来描述一个种群中不同年龄段的个体数量。

该模型假设种群的年龄结构在各个时间段内保持不变，并且个体之间的交互仅通过生育和死亡来实现。

在 Leslie 模型中，种群的每个年龄段都有一个特定的存活率和生育率。

假设一个种群的年龄段从 0 到 k，种群的存活率可以用一个长度为 k+1 的向量 s 表示，其中 s(i) 表示年龄段 i 的存活率。

种群的生育率可以用一个长度为 k 的向量 b 表示，其中 b(i) 表示年龄段 i 的生育率。

为了计算种群在下一个时间段的年龄结构，我们需要将当前时间段的年龄结构向量乘以一个称为 Leslie 矩阵的矩阵 A。

Leslie 矩阵的第一行是生育率向量 b，其余行是存活率向量 s，只是向上移动了一格。

因此，Leslie 矩阵的维度为(k+1)×k。

现在我们将以 MATLAB 编程实现 Leslie 模型。

首先，我们需要确定种群的年龄段数目和初始年龄结构向量。

这里假设种群的年龄段从 0 到 9，初始年龄结构向量为一个10×1 的列向量，每个元素都为 100。

```matlabk = 9; % 年龄段数目x0 = zeros(k+1, 1); % 初始年龄结构向量x0(1) = 100; % 年龄 0 的个体数量为 100```接下来，我们需要定义存活率向量和生育率向量。

对于这里的示例，我们假设存活率向量是一个长度为 10 的向量，并且每个年龄段的存活率都为 0.8。

生育率向量是一个长度为 9 的向量，并且每个年龄段的生育率都为 2。

差分方程模型习题+答案#(精选.)

1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%，他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。

(2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得：01k k k a A A a b r-=-若0n A =，01nn A ra b a =-(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，24002401A ra b a =-利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)';y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b; end(2)用MA TLAB 计算：A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240思考与深入：(2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完(3) A0 = 1.5409e+005结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。

2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。

建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。

【数学建模】人口增长Leslie模型

【数学建模】⼈⼝增长Leslie模型问题分析· ⽤数学建模预测⼈⼝增长的⽅法：差分⽅程、微分⽅程、回归分析、时间序列等.· 结合所给数据以差分⽅程组的Leslie模型为基础.· 考虑不同地区、不同性别⼈⼝参数的差别及农村⼈⼝向城市迁移等因素.· 按照地区和性别建⽴以时间和年龄为基本变量的中国⼈⼝增长模型.· 利⽤历史数据估计⽣育率、死亡率及⼈⼝迁移等参数，代⼊模型求解并作预测.模型假设·中国⼈⼝是封闭系统, 将数据中的市、镇合并为城市, 与农村(乡)作为两个地区; 只考虑农村向城市⼈⼝的单向迁移, 不考虑与境外的相互移民.· 对中短期⼈⼝预测, ⽣育率、死亡率及⼈⼝迁移等参数⽤历史数据估计; 长期预测考虑总和⽣育率的控制、城镇化指数的变化趋势等因素.· ⼥性每胎⽣育⼀个⼦⼥.模型建⽴按地区和性别划分、以年龄为离散变量、随时段演变的⼈⼝发展模型，为4n阶差分⽅程组.参数估计存活率的估计死亡率与年龄关系⼤, 与地区、性别和时间的关系⼩.中国⼏⼗年来死亡率降低较快, 未来趋势仍持续下降.中短期预测：将过去若⼲年不同地区、性别和各年龄⼈⼝的死亡率简单地取平均值.长期预测：⽤统计⽅法对历史数据加以处理，并参考发达国家⼈⼝死亡率的演变过程给出估计值.⽣育率的估计中短期预测：将过去若⼲年不同地区、性别和各年龄⼈⼝的⽣育率简单地取平均值.长期预测：设定⼏个不同⽔平的总和⽣育率.⼈⼝迁移的估计模型求解选定初始年份⽤⼈⼝发展模型递推计算MATLAB实现clc;%初始化，设置各种参数和初始⼈数矩阵x = [206.46422.50478.72229.9253.44]';%x0⼥性各阶段⼈数%x0 = x .*0.4988x0 = [102.9822210.7430238.7855114.684126.6559]';%H为状态转移矩阵，其实是存活矩阵H = zeros(5,5);H(2)=0.88; H(8)=0.97; H(14)=0.86; H(20)=0.22;%B是⽣育矩阵，即各个年龄段妇⼥的⽣育率B = [020.300];for n =1:1:5%y是x之下⼀年的⼈⼝数⽬，尚不包括迁移⼈数和1岁的⼈数y = H*x;%y(1)是下⼀年1岁的⼈⼝数⽬，即今年刚出⽣的⼈y(1)= B*x0;%g是迁移⼈数，也得按照年龄⽐例来存储数据g = [301201202010]';%迁移⼈数加到y上y = y + g;%求与y对应的年份的各个年龄段妇⼥⼈数%包括x0中存活下来的，迁移的⼀部分，第⼀时间段为刚出⽣的⼥性⼈数 y0 = zeros(5,1);y0(1)= y(1)/2;%或y(1)乘以⼥婴占总男⼥婴的⽐例for i=1:1:4y0(i+1)= x0(i)*H(i+1+5*(i-1));endg0 = g ./2;y0 = y0 + g0;%g0为迁移过来的各个年龄段的⼥性⼈数disp(2008+n*20)zong = y'nv = y0'x = y;x0 = y0;end%⾃此，则完成了⼀轮的计算%要预测更多，只需要循环计算以上步骤即可。

Leslie人口模型及例题详解

L e s l i e人口模型及例题详解The saying "the more diligent, the more luckier you are" really should be my charm in2006.Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型,借用差分方程模型,仅考虑女性人口的发展变化;如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组,则人口的年龄结构无法刻划,因此必须建立一个更精确的模型;20世纪40年代提出的Leslie 人口模型,就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型;模型假设(1) 将时间离散化,假设男女人口的性别比为1:1,因此本模型仅考虑女性人口的发展变化;假设女性最大年龄为S 岁,将其等间隔划分成m 个年龄段,不妨假设S 为m 的整数倍,每隔m S /年观察一次,不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;2 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数,记第i 年龄组女性生育率为i b 注：所谓女性生育率指生女率,女性死亡率为i d ,记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;3 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;4 生育率仅与年龄段有关,存活率也仅与年龄段有关;建立模型与求解根据以上假设,可得到方程 )1(1+t n =∑=mi i i t n b 1)()()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为其中,L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b 1 记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = 2假设n 0和矩阵L 已经由统计资料给出,则为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势,我们先给出如下两个条件：i s i > 0,i =1,2,…,m -1;ii b i 0≥,i =1,2,…,m ,且b i 不全为零;易见,对于人口模型,这两个条件是很容易满足的;在条件i 、ii 下,下面的结果是成立的：定理1t1+tL 矩阵有唯一的单重的正的特征根0λλ=,且对应的一个特征向量为*n =1,s 1/0λ,s 1s 2/20λ,…,s 1s 2 …s m -1/10-m λT3 定理2若1λ是矩阵L 的任意一个特征根,则必有01λλ≤;定理3若L 第一行中至少有两个顺次的0,1>+i i b b ,则i 若1λ是矩阵L 的任意一个特征根,则必有01λλ<;ii t t t n 0/)(lim λ+∞>-=*cn , 4 其中c 是与n 0有关的常数;定理1至定理3的证明这里省去;由定理3的结论知道,当t 充分大时,有*)(0n c t n t λ≈ 5 定理4记121i i i b s s s β-=,q λ=1β/λ+2β/λ2+…+m β/m λ,则λ是L 的非零特征根的充分必要条件为q λ=1 6所以当时间充分大时,女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态,即年龄结构趋于稳定形态,而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长;由5式可得到如下结论：i 当λ>1时,人口数最终是递增的；ii 当λ<1时,人口数最终是递减的；iii 当λ=1时,人口数是稳定的;根据6式,如果λ=1,则有b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1记R = b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1 7R 称为净增长率,它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数;当R >1时,人口递增；当R <1时,人口递减;Leslie 模型有着广泛应用,这里我们给出一个应用的例子,供大家参考;公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象,管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境,将大象的总数控制在11000头左右;每年,公园的管理人员都要统计当年大象的总数;过去20年里,公园每年都要处理一些大象,以便保持大象总数维持在11000头左右,通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现;统计表明,每年约处理600-800头大象;近年来,公众强烈反对捕杀大象行为,而且即使是迁移少量的大象也是不允许的;但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功;一只成年母象打了避孕针后,两年内不再怀孕;公园有一些关于大象的资料,供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1,采取控制后,也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1,生双胎的比例为%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,你可能被要求观察30-60年；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议,提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程最多3页回答公共关心的问题;6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0假设与分析1大象性别比接近1：1,初生象的性别比也是大约1：1,采取控制后,也希望维持这个比例；2过去两年迁出的大象是随机抽样,其结构反映了象群总体的年龄结构；3 避孕是随机的,母象是否避孕是不可识别的,假设各个年龄的母象是等比例避孕的,比例系数为k,仅通过调节k 来控制公园大象数量；4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁,当前状态下,成年象的成活率为s,生育母象率为r ,老年象的成活率是线性逐渐递减的,因此其成活率可表示为设初生象活到1岁的存活率为0s ;5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀孕,一旦打了避孕针,母象就被避孕或中止怀孕,平均每年有γ比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为η,每年的避孕方案时瞬时完成的;6 假设大象的年龄结构是稳定的;数据处理与分析12-60岁大象的存活率与年龄结构母象生育率为r =1/+1+/2=头/年12岁的母象生育母象的生育率为r /6;由题设知道存活率)99.0,95.0(∈s ;以下是第一年迁移出0至70岁大象数据x1=103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ;以下是第二年迁移的0-70岁大象数据x2=98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0;x=x1+x2;x0=x/normx,1;以下是第一年迁移的0-59岁母象数据y1=50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2;以下是第二年迁移的0-59岁母象数据y2=57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0;考虑到有些数据较小及抽样的随机性,我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据;t1=x12:11;t2=x22:11;tt=t1+t2;tt1=tt1:9;tt2=tt2:10;tn=tt2./tt1;meantnans =t1=x112:21;t2=x212:21; tt=t1+t2; tt1=tt1:9;tt2=tt2:10;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:31;t2=x212:31; tt=t1+t2; tt1=tt1:19;tt2=tt2:20;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:41;t2=x212:41; tt=t1+t2; tt1=tt1:29;tt2=tt2:30;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:51;t2=x212:51; tt=t1+t2; tt1=tt1:39;tt2=tt2:40;tn=tt2./tt1; meantnans =t1=x112:60;t2=x212:60; tt=t1+t2;tt1=tt1:48;tt2=tt2:49;tn=tt2./tt1; meantnans =n1=zeros1,71;n11=1;n12=;for i=3:61n1i=n1i-1;endn1;for i=62:71n1i=n1611-i-61/10;endn1;N1=n112:50;xx=x12:50;xx=100xx/normxx,1;N1=100N1/normN1,1;t=1:39;plott,N1,t,xx;axis10,40,0,5;title'图1'通过以上分析大致可以得到,1-60岁大象的存活率约为;0-70岁年龄结构向量见图2; y0=100x0/normx0,1;a=0:70;bara,y0,'stacked';title'图2'下面我们取0120.75,0.98s s s ===;m1=zeros1,71;m11=1;m12=;for i=3:61m1i=m1i-1;endm1;for i=62:71m1i=m1611-i-61/10;endm1;m1=100m1/normm1,1;bara,m1,'stacked';title'图3 稳定的年龄结构'plota,m1,'r-',a,y0,'b-.';title'图4 年龄结构当前状态与稳定状态比较'polyfity0,m1,1ans =从所给的数据来看,象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态;根据以上数据,大体可以得到l=zeros71,71; l1,13=6;l2,1=;for i=14:61l1,i=;endl;for j=3:61lj,j-1=;end; l;for k=62:71lk,k-1=eigl;矩阵的唯一正特征值为;对于不同的存活率,得到的唯一正特征值为：下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率γ;此时,女性生育率为0.1448(1)γ-;记由6式得解得1-1/^111/6+ans =即每年应该有%的母象处于避孕状态;为了保证有%的母象处于避孕状态,下面分析每年应该打避孕针母象的比例η;在假设3和假设5的前提下,如果每年打避孕针母象比例为η;母象可以分成3类：即当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针,比例为2(1)ηη-；连续两年被打避孕针2η；连续两年没有被打避孕针;只有最后一类母象具有生育能力;因此,只需要η满足方程1-sqrtans =ans =5500ans =+003解得 0.387η=,即每年大约需要给2127头母象打避孕针;在方案实施过程中,实际上根本不需要打这么多针,因为许多小象还是可以识别的;可以采取随机抽样的打针方式,对于抽到的小象只计数不打针,直至计满2127头母象,就算完成当年任务;采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的,下面给出了打与不打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比较;m1=zeros1,71;m11=1;m12=;for i=3:61m1i=m1i-1;end; m1;for i=62:71m1i=m1611-i-61/10;end; m1;n1=zeros1,71;n11=1;n12=;for i=3:61n1i=n1i-1;end; n1;for i=62:71n1i=n1611-i-61/10;end;n1;subplot1,2,1a=0:70;plota,m1,'r-',a,n1,'b--';title'图5年龄结构比较';axis0,70,0,1;M1=5500m1/normm1,1;N1=5500n1/normn1,1;a=0:70;subplot1,2,2plota,M1,'r-',a,N1,'b--'title'图5各年龄段大象数比较图'axis-0,70,0,300通过以上两个图的比较,可以发现采取避孕措施,将使幼象、小象数减少,中老年象数增加;由于采取避孕措施,使得初生小象数减少,因此会不可避免地引起象群年龄结构的改变,下面分析,15年、30年、60年后的象群年龄结构;L=zeros71,71;L1,13=6;L2,1=;for i=14:61L1,i=;end; L;for j=3:61Lj,j-1=; end; L;for k=62:71Lk,k-1= end; L;eigL;n15=L^15x0';n30=L^15n15;n60=L^30n30;n15=100n15/normn15,1;n30=100n30/normn30,1;n60=100n60/normn60,1;M15=5500n15/normn15,1;M30=5500n30/normn30,1;M60=5500n60/normn60,1;bara,55y0title'图6a 避孕前种群量分布';axis0,70,0,250bara,M15title'图6b 避孕15年后种群量分布';axis0,70,0,250bara,M30title'图6c避孕30年后种群量分布';axis0,70,0,250M60=5500n60/normn60,1;bara,M60title'图6d 避孕前种群量分布';axis0,70,0,250n70=L^70x0';n70=100n70/norm n70,1;k1=100m1/normm1,1;图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较plot a,k 1,'r-',a,n70,'b-.';title'图7 避孕前后稳定的年龄结构';axis0,70,0,5数据不确定性对结果的影响分别取0120.7,0.8,0.95,0.99s s s ===1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =每年需避孕的母象比例为%—% ;对于每年可以迁移50-300头大象及0120.75,0.98s s s ===,下面分析避孕方案的变化及最经济的方案;设增长率为p ,对于 0120.75,0.98s s s ===令当 1.01p =,每年的避孕率为%,每年迁出110头；当 1.02p =,每年的避孕率为%,每年迁出220头；当 1.025p =,每年的避孕率为%,迁出275头;1-1/^111/6+ans =1-sqrtans =p=;1-p ^12./^111/6+./p-./p.^49/./pans =1-sqrtans =p=;1-p.^12./^111/6+./p-./p^49/pans =1-sqrtans =p=;1-p.^12./^111/6+./p-./p^49/pans =1-sqrtans =进一步分析可以知道,对于 0120.75,0.98s s s ===,如果增长率为(1 1.0322,11000(p-1))p p ≤≤即每年移,令每年需要避孕的母象为5500'γ,每年需要迁移的大象数为11000(1)p -;从相关的文献中我们大致可以得到,设平均每迁移一头大象的成本约避孕一头大象费用的λ倍,由此得到增长率为p 时的总费用函数为记易见,1,0.3868, 1.01,0.346, 1.02,0.396p y p y p y ======clear ;p=1::;q =1-p.^12./^111/6+./p-./p.^49././pq =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17a =1-sqrt1-qa =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17y=a+15p-1y =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17。

Leslie模型

在一定时期内它们基本上是一些常数事实上人们只能通过控制b决定本定理的条件通常能够得到满足故在j充分大时有nn即各年龄组的人口比例总会趋于稳定且nj11的充要条件为r1但并非每一个均能活到足够的年龄并生下r个女孩每一妇女可生子女数可定为某一略大于2的数称为临界生育率
关于建立人口增长模型,我们考虑了两条主要思路: 一.以微分方程为主要手段: 二.以高等代数为主要手段:
p/ r + p/ t=- µ (r,t)p(r,t)
p(r,0)=p0(r) p(0,t)=f(t)
在社会比较安定的情况下,死亡率大致与时间无关. μ (r,t)=μ (r) p(r,t)= p0(r-t)e f(t-r)e

r
r t
( s ) ds
0≤t≤r t>r

r
( s ) ds
n0 .
A属于1的特征向量N=
.
nk
解线性方程组 AN= 1N
1k/(P0P1…P k-1)
N=
1k-1(P1…P k-1)
1/P k-1 1
当且仅当1=1时，N j N，人口总量将趋于稳定且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于一个定值。
在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组人的存活率。在一定时期内，它们基本上是一些常数，事实上人们只能通过控制b j的值来保证1=1。
目前我国人口中中年青人的比例很大，加上计划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人口的严重老龄化，待这一代人越出m组后，又会使人口迅速青年化而走向另一个极端。
为减少这种年龄结构上的振荡，人们又引入了一个控制变量h(i,j),使bi(j)=h(i,j)
且 h(i,j)=1 h(i,j)称为女性的生育模式，用来调整育龄妇女在不同年龄组内生育率的高低。为简便可通过控制结婚年龄和两胎之间的年龄差来接近h(i,j)的理想值。于是Leslie模型可以如下形式上的改变： N j+1=[A(j)+B(j)]N j

Leslie种群年龄结构的差分方程模型

Leslie种群年龄结构的差分方程模型摘要本文对带年龄结构的单个生物种群的增长状况的问题建立了差分方程模型进行分析，用MATLAB做出其图像讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目在不同条件下的演变趋势。

针对问题一，用k时段2周后幼虫数量、2到4周虫的数量、4到6周虫数量之间的关系建立了差分方程模型一，利用MATLAB计算得出结果。

针对问题二，用MATLAB做出差分方程模型一在0-50时段的各种周龄的昆虫数目的演变趋势，分析年份足够长时的情况。

得出的结论：各周龄的昆虫比例没有一个稳定值，整个昆虫的数量在无限增长。

针对问题三，把差分方程模型一中的成活率改成原来的一半得到了差分方程模型二，用MATLAB做出图像进行分析。

得出结论：这种除虫剂的效果不明显。

关键词：Leslie矩阵，差分方程，MATLAB，除虫剂一、问题重述已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。

孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。

假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。

（1）假设开始时，0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；（2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？（3）假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？二、问题分析本问题是要解决带年龄结构的单个生物种群的增长状况的问题，我们考虑用Leslie 矩阵模型进行分析。

问题一建立0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目之间的关系的模型，从而计算出结果；问题二用问题一的模型画出图像来分析各种周龄的昆虫数目的演变趋势；问题三只要把问题一的模型的成活率改成原来的一半建立新的模型，画出图像来分析昆虫数量的变化趋势，从而分析除虫剂的效果。

基于leslie模型的中国人口预测模型

基于 Leslie 矩阵的中国人口预测模型
问题提出：
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。20 世纪 40 年代提出的 Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型建立：
基本假设：1.假设各年龄段的男女比例保持不变（以 05 年男女性别比例为例： 106.30:100,）所以可以由女性人口数量来计算总人口 SP。将女性分为 8 k 时期内的女性人口数量；
b(i)：第 i 组女性的生育率；
d(i) ; 第 i 组女性的死亡率；
根据以上假设可以得出 k + 1 时段各组人数与 k 时段各组人数之间的转换关系:
X(k+1)=L*x(k) ,(a 为女婴所占的百分比)。
a * b(0) a * b(1) ... a * b(7)
= 其中矩阵 L [
1 d (0)
]
1 d (6) 0 给出 x(k,i),A 就可求出 x(k+1,) MATLAB 程序为：
i
0
1
2
3
4
5
6
7
年龄组 0
1~15 16~30 31~45 46~60 61~75 76~90 90~
注：0 组表示婴儿。
2.考虑到我国近三十年国家整体处于稳定状态没有大的灾难，战争等突发事件，所以假设
各年龄组死亡率 d(i) ,（i=0,1,…7）,不随时间变化。
3.各年龄组女性的生育率 b(i),（i=0,1,…7）在较短的时期变化不大。

leslie模型

7.4
按年龄分组的种群增长
• 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 • 以雌性个体数量为对象 • 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，
假设与建模
• 种群按年龄大小等分为个年龄组，记i=1,2,… , n 种群按年龄大小等分为n个年龄组个年龄组， • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等， • 第i 年龄组雌性个体在时段内的繁殖率为bi 年龄组1雌性个体在时段内的繁殖率雌性个体在1时段内的繁殖率为 • 第i 年龄组在时段内的死亡率为 i, 存活率为si=1- di 年龄组在1时段内的死亡率为存活率为时段内的死亡率为d
假设与建模
b1 s 1 L= 0 b2 0
xi(k)~时段第i 年龄组的种群数量时段k第时段设至少1个设至少 x1 ( k + 1) = ∑ bi xi ( k ) (设至少个bi>0)
i =1 n
x i +1 ( k + 1) = s i x i ( k ), i = 1, 2 , ⋯ , n − 1
⋯ bn −1 0 ⋱ s2 ⋱ s n −1 0 bn 0 ⋮ 0
x ( k ) = [ x1 ( k ), x2 ( k ),⋯ xn ( k )]
~按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量
T
x ( k + 1) = Lx ( k )
x ( k ) = L x (0)
• 若L矩阵存在 i, bi+1>0, 则 λ k < λ 1 , k = 2 ,3, ⋯ , n 矩阵存在b 矩阵存在 x(k ) 是由b 且 lim 是由决定的常数 = cx * , c是由 i, si, x(0)决定的常数 k k→∞ λ1 解 x ( k ) = Lk x ( 0 ) L对角化 L = P[ diag ( λ1 , ⋯ λ n )] P −1 对角化释 k k k −1 P的第列是 * 的第1列是的第列是x L = P [ diag ( λ1 , ⋯ λ n )] P

按年龄分组人口模型

按年龄分组的种群增长模型——Leslie 模型种群直接通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便。

下面提到的种群数量均指其中的雌性，总体数量可按照一定的性别比算出。

将种群按年龄大小等间隔地分成n 个年龄组，如每1岁或5岁为1组。

与之相对应，时间也分成与年龄组区间大小相等的时段，如1年或5年为一个时段。

记时段k 第i 年龄组的种群数量为x i (k),k=0,1,2，……，i=1，2，3，4，……，n 。

在稳定的环境下和不太长的时间内，合理地假设种群的繁殖率和死亡率不随时段k 变化，只与年龄组有关。

记第i 年龄组的繁殖率为b i ，即每个（雌性）个体在1个时段内繁殖的数量；记第i 年龄组的死亡率为d i ，即1个时段内死亡数量（占总量）的比例。

s i =1-d i 称为存活率。

通常，b i 和s i 可由统计资料获得，且有以下性质：b i >=0，i=1，2，3，……，n ，且至少有一个b i >0；0<s i <=1,i=1，2，3，……，n-1。

种群数量x i (k)的变化规律由2个基本关系得到：时段k+1第1年龄组的数量是各年龄组在时段k 的繁殖数量之和；时段k+1第i+1年龄组（i=1，2，……，n-1）的数量是时段k 第i 年龄组存活下来的数量，由此得到x 1(k+1)=1b ()ni i i x k =∑,k=0，1，2， (1)x i+1(k+1)=s i x i (k)，k=0，1，2，……，i=1，2，……，n-1（2）（1），（2）是差分方程组，记种群数量在时段k 按照年龄组的分布向量为x(k)=[（x 1(k),x 2(k),......,x n (k)]T ,k=0，1，2 (3)由繁殖率b i 和存活率s i 构成的矩阵1()limk k x k λ→∞112121000000000n n n b b b b s L s s --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则（1），（2）可表为x(k+1)=Lx(k)，k=0，1，2 (5)当矩阵L 和按年龄组的初始分布x(0)已知时，可以预测种群数量在时间段k 按年龄组的分布为x(k)=L k x(0)，k=1，2， (6)有了x(k)，不难算出种群在时段k 的总数。

线性规划问题的基本解对应可行域的顶点

试题 11一、填空题1. 经济计量模型主要有以下几方面的用途：结构分析、_____________、政策评价、__________。

2. 计量经济研究的一般步骤为：建立理论模型，________________，________________，模型的应用。

3. 异方差的解决方法主要有：_____________________，_________________________。

4. 比较两个包含解释变量个数不同的模型的拟合优度时，可采用______________、_________________或_________________________。

5. 模型的显著性检验，最常用的检验方法是________________________。

二、判断题1. 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。

（）2. 若21,X X 是某线性规划问题的可行解，则1122121X X X λλλλ=++=（）也必是该问题的可行解。

（）3. 数学模型11max (1,2,,).0(1,2,,)nj jj nij j i j jf c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∏∑为线性规划模型。

（） 4. 数学模型22112min ,..(1,2,,;1,2,,)m ni i j j i j i i ijf a x b y s t x y c i m j m ===++≤==∑∑为线性规划模型。

（）5. 表达形式i i i x b a y ε++=ˆˆˆ是正确的。

（）6. 表达形式i i i x b a y ε++=ˆˆ是正确的。

（）7. 表达形式i i i e x b a y ++=ˆˆ是正确的。

（）8. 表达形式ii i e x b a y ++=ˆˆˆ是正确的。

（） 9. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS ）估计量是有偏的和无效的。

（）10. 如果存在异方差，通常使用的t 检验和F 检验是无效的。

第五章种群增长

最大持续产量的主要模型；模型中的两个参数K和r已成为生物进化对
策理论中的重要概念。
三、具时滞的种群增长模型
增长率随种群大小而变化的具时滞的离散增长模型
增长率随种群大小而变化的具时滞的连续增长模型
增长率随种群大小而变化的具时滞的离散增长模型
模型的假设：
➢ t世代的种群增长率不依赖于t世代的密度，而依赖于（t－1）世代的密度。
指数增长与逻辑斯谛增长之间的关系
Nt 指数增长
1－ N /K K
逻辑斯谛增长
t
逻辑斯谛增长模型（微分方程）
种群变化率
当比率增加时，种群增长变慢
dN/dt=Nr(1-N/K)
种群个体数量
瞬时增长率环境容纳量
逻辑斯谛方程生物学含义：
➢ 逻辑斯谛方程微分式的基本结构与指数增长方程相同，但增加了一个修正项（1－N/K）。指数增长方程所描述的种群增长是无界的，或可供种群不断增长的“空间”是无限大的，是没有任何限制的。而修正项（1－N/K）所代表的生物学含义是“剩余空间”(residual space)或称未利用的增长机会(unutilized opportunity)。即：种群尚未利用的，或为种群可利用的最大容纳量空间中还“剩余”的、可供种群继续增长用的空间(或机会)。
第五章种群增长
种群数量在时间过程中的动态
第一节种群增长模型
种群的离散增长模型（差分方程）种群的连续增长模型（微分方程）具时滞的种群增长模型种群增长的随机模型
数学模型研究中，生态学工作者最感兴趣的不是特定公式的数学细节，而是模型的结构，因此，我们的注意力应首先集中于数学模型中各个量的生物学意义，而不是其数学推导细节，否则就会出现只见“数目” ，不见“森林”的危险。

种群增长模型(完全版)

与密度有关
种群连续增长模型
种群离散增长模型种群连续增长模型
（一）与密度无关的种群增长模型 1、种群离散增长模型（差分方程）
假设：①种群在无限环境中增长,增长率不变
②世代之间不重叠，增长不连续
③种群没有迁入、迁出
④种群没有年龄结构
N t+1=λNt
或
Nt=N0 λt lgNt=lgN0+(lgλ)t 式中：N —— 种群大小；
（2）种群连续增长模型（逻辑斯谛方程）
模型增加了两点假设：
①有一个环境容纳量（通常以K表示），当Nt = K 时，种群为零增长，即dN/dt = 0；
②增长率随密度上升而降低的变化是按比例的。
每增加一个个体，就产生1/K的抑制影响。例如K=100，每增加
一个个体，产生0.01影响，或者说，每一个体利用了1/K的“空间”，
大不列颠颈圈斑鸠的指数增长(Hengeveld,1988)
与密度无关的种群增长曲线
※ r 和的关系:
Nt=N0 λt Nt =N0ert
r
λ
λ= er
即，r = lnλ
种群变化
种群上升
种群稳定种群下降雌体无生殖，种群灭亡
r>0
r=0 r<0 r=－∞
λ >1
λ =1
0<λ <1
λ =0
① 是许多两个相互作用种群增长模型的基础；
② 是渔捞、林业、农业等实践领域中，确定最
大持续产量（maximum sustained yield）的
主要模型； ③ 模型中两个参数 r、K ，已成为生物进化对策理论中的重要概念。
种群密度每偏离平衡密度一个单位,λ改变的比例

实验五具有年龄结构的种群增长模型模拟

r＝种群的内禀增长率；
＝种群的周限增长率；
R0=净增殖率；
Vx＝年龄x的个体的生殖价（该个体马上要生产的后代数
量加上预期的其在以后的生命过程中要生产的后代数量）； ex＝x期开始时的平均生命期望或平均余年（进入x齢期的个体，平均能活多长时间的估计值）。Leabharlann 计算公式 lx=nx/n0
dx=nx-nx+1
ex=∫xlx· x lx d
∞
Va=∑x=ae · x·x e ·a m l l
r=㏑(R0) T
-rx
-rx
=e rm
R0=∑lx· x m T=∑x·x· x Ro l m
Leslie矩阵实质：根据t时间各年龄组的出生率和存活率来预
测t+1时间的种群年龄结构
来源：t＋1时间的种群个体数量有两个来源：
[方法与步骤]
进入程序后，选择种群建立几个年龄级；选择种群生长的时间长度；设计种群结构，给lx,mx,N0赋值，进行分析
[实验报告]
写出实验设计方案将你得到的图表附在报告的后面对你所得出的结果给出生态学解释
实验七具有年龄结构的种群增长模型模拟
[实验原理]
种群统计的核心——生命表
考虑种群的年龄结构问题 Leslie矩阵
｝
具有年龄结构的种群增长模型
参数：
x=按年龄分段； nx=在x期开始时存活数目；
lx (px) =在x期开始时存活的分数；
dx=从x到x+1 期的死亡数目；
mx (fx) ＝各年龄段的平均生殖率；
1：t时间各年龄组的个体，存活到t＋1时间的数目
2：t t＋1时间中新出生的个体数
意义：预测种群大小随时间的变化；