二维柯西不等式

周练 5:已知 2 x2 y2 =1,求 2x y 的最大值.
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
由22
x x
Байду номын сангаас
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
例4 : 设a,b R ,a b 1,求证 1 1 4 ab
变式 ：若a>b>c 求证：
11 4 ab bc ac
练习：
1.已知a2 b2 1,求证|a cos b sin | 1
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
(3) a2 b2 c2 d 2 acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
2.已知2x2 3y2 6, 求证x 2 y 11
3.求函数y 3sin x 4 1 cos 2x的最大值
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立.
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
典型例题
例1 ：已知a,b R,证明(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
变式: 已知a,b R,证明（a4 b4 )(a2 b2 ) (a2b ab2 )2
例2. 已知a，b，x，y是正实数，且a b 1. 求证：(ax by)(bx ay) xy
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd