二维柯西不等式
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
第一章 培优点1 柯西不等式与权方和不等式-2025年新高考一轮复习讲义
B.－6
C.3
D.4
123456
∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
∴x42＋y32＝1， ∴x42＋y32(16＋9)≥(2x＋ 3y)2， 即－5≤2x＋ 3y≤5，
当且仅当 3 3x＝8y，
即x＝－85， y＝－3 5 3
时，左边取等号，
123456
当x＝85， y＝3 5 3
时，右边取等号，
即x＝4 1111，
y＝3
11 11
或x＝－4 1111，
y＝－3
11 11
时等号成立，
于是 2x＋y 的最大值为 11，最小值为－ 11.
思维升华
掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的 次序、改变结构、添项等方法.
跟踪训练1 设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为__4___5___.
∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，
∴a·b＝x－2y.
由柯西不等式的向量形式可得
[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，
即5×16≥(x－2y)2，
∴－4 5≤x－2y≤4 5，
(*)
当且仅当b＝ka，
即x＝4 5 5， y＝－8 5 5
时，(*)式中右边等号成立，
或x＝－4 5 5， y＝8 5 5
123456
6.若 a>1，b>1，则b－a21＋a－b21的最小值为____8____.
b－a2 1＋a－b2 1≥a＋a＋b－b22， 令 a＋b－2＝t，则a＋a＋b－b22＝t＋t22＝t＋4t ＋4≥8， 当且仅当b－a 1＝a－b 1， 即 a＝b＝2 时取等号，
a＋b－2＝2， 所以b－a2 1＋a－b2 1的最小值为 8.
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
不等式选讲专题(二)柯西不等式
2014 届不等式选讲专题（二）【柯西不等式】一、二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当 a d = bc 时, 等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(2) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(3)(a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) 2 (a , b , c , d ≥ 0 , 当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式α ⋅ β ≤ α β . (当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数k , 使α = k β 时 , 等号成立 .)原则：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是 不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不 等式了。
考点一：求最值问题【1】、设 a = (-2,1,2), b = 6 ，则 a ⋅ b 之最小值为________；此时 b = ________。
【2】设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2+ y 2+ z 2= 16，则 a b 的最大值为。
4 【4】设 a 、b 、c 为正数，求 (a + b + c)( + a 9 36+ ) 的最小值。
b c【5】. 设 x ，y ，z ∈ R ，且满足 x 2+ y 2+ z 2= 5，则 x + 2y + 3z 之最大值为【6】设 x ，y ，z ∈ R ，若 x 2+ y 2+ z 2= 4，则 x - 2y + 2z 之最小值为时，(x ，y ，z) =【8】、设 x, y , z ∈R, x 2 + y 2 + z 2 = 25 ，试求 x - 2 y + 2 z 的最大值与最小值。
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
3.1二维形式的柯西不等式 课件人教版选修4-5
| m n || m | | n |
ac bd a b c d
2 2 2 2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
y
P1(x1,y1)
(a b) (c d ) ( ac bd ) (a, b, c, d为非负实数）。
2
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
2 2 2
c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
二维形式的柯西不等式CP
(a，b，c，d是实数)
（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
证明它，你 还有其他方
2
ab
2
bc
ca
2
1 2 a b
1 2 b c
c
1
a
2
≥
ab
1 ab
bc
1 bc
ca
c
1
a
2
1
1
12
9
222≥ 9 ab bc ca abc
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
2
2
x2
2
x3 L
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
x2
2a b c a b b c c a 这样就给我们利用柯
西不等式提供了条件。证明：
2a
b
c
a
1
b
b
1
c
c
1
a
a
b
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形
3.1 二维形式的柯西不等式预习导航1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )．【做一做1】已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6B ． 6C ．6D ．12解析：(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立． 答案：D2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．【做一做2】设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |，∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立．∴－18≤a ·b ≤18.∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．答案：－18 (4，－2，－4)3．二维形式的三角不等式(1)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)推论：(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．归纳总结解决柯西不等式的应用问题，关键是把原有式子巧妙地转化为柯西不等式的形式．。
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。
排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。
二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。
背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。
当且仅当ad=bc时，等号成立。
排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。
二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。
其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。
CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。
二维柯西不等式
二维柯西不等式
二维柯西不等式是数学中一条重要的不等式，它是柯西不等式在二维空间中的推广。
根据二维柯西不等式，对于任意给定的两个函数f(x,y)和g(x,y)，在某个定义域上成立的情况下，有以下不等式关系：
[D] (f(x,y))^2 dA * [D] (g(x,y))^2 dA ≥ ([D] f(x,y)g(x,y) dA)^2
其中，D表示定义域，dA表示面积元素。
该不等式描述了两个函数的平方积与乘积的平方之间的关系。
二维柯西不等式可以用于证明其他数学定理，例如，利用该不等式可以推导出二维傅里叶级数的收敛性。
在实际应用中，二维柯西不等式也常用于证明矩阵的正定性或半正定性等性质。
拓展：柯西不等式是一种广泛应用于数学和物理学中的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
柯西不等式
描述了两个向量之间的内积与它们各自的模的乘积之间的关系。
在n维空间中，柯西不等式可以推广为：
|u, v| ≤ ||u|| ||v||，
其中u和v是n维向量，u, v表示其内积，||u||和||v||分别表示两个向量的模。
柯西不等式的重要性在于它提供了衡量向量之间夹角大小的一种方法。
当两个向量的内积为零时，它们被称为正交向量，此时两个向量互相垂直。
而当两个向量的内积为正时，它们的夹角为锐角；当内积为负时，夹角为钝角。
柯西不等式在函数空间中也有广泛应用，例如在泛函分析中，它用于证明内积空间的完备性与可分性。
此外，柯西不等式也是概率论中的重要工具，用于证明随机变量之间的独立性以及其他概率性质。
二维形式的柯西不等式
变式: 已知a, b∈R,证明（a + b )(a + b ) ≥ (a b + ab )
4 4 2 2 2
2 2
1 1 例2 : 设a, b ∈ R , a + b = 1, 求证 + ≥ 4 a b
+
变式 ：若a>b>c 求证：
1 1 4 + ≥ a−b b−c a−c
bd )
（ ×）
若加上条件a, b, c, d为非负实数？
推论： 推论：
1. a + b ⋅ c + d ≥ ac + bd
2 2 2 2 2 2 2 2
（ad = bc)
| 2. a + b ⋅ c + d ≥ ac | + | bd （ad| = |bc|)
3.( a + b ) ⋅ (c + d ) ≥ ( ac + bd ) （ad = bc) ( a , b, c, d为非负实数）
2
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
2 2 2 2
2
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
r 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量a = (a, b ), r r β = (c, d ), α 与β 之间的夹角为θ .
y
β
θ
r
α
r
O
x
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
例3 : 求函数y = x − 1 + 10 − x的最大值.
变式1 :求函数y = 5 x − 1 + 10 − 2 x的最大值
二维形式的柯西不等式
xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
xn1 xn
2
xn x1
2
2
x2
2
x3
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
二维形式的柯西不等式大全
时,等号成立.
根据二维形式的柯西 等不 式,容易得出
a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 b 2c 2 d 2
a cbd2|a cbd |,
a2b2 c2d2|a|2|b|2 |c|2|d|2 |a |c || |b |d || |a| c |b|.d 所以 ,对于任何a,实 b,c,d数 ,以下不等式 : 成立
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1 ( x1 , y1 )
g
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1 .求 函 数 y 3x 5 4 6 x 的 最 大 值 .
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6x
32 42 x56x 5.
2 .已 知 2 x 2 3 y 2 6 ,求 证 x 2 y 1 1 .
证明：因为2x2 3y2 6,
所以x2y
2x2 3y2
12 43
11.
因此x2y 11.
3已 . x知 ,y,a,bR,且 a xb y1求 ,xy的最. 小值
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当且仅当 x b y a ,即 x a 时取等号 .
y
xy b
( x y )min ( a b )2
4.若 2x3y1,求 4x29y2的最,并 小求 值最. 小 解 :由柯西不等式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y)2 1,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
典型例题
例1 ：已知a,b R,证明(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
变式: 已知a,b R,证明（a4 b4 )(a2 b2 ) (a2b ab2 )2
例2. 已知a，b，x，y是正实数，且a b 1. 求证：(ax by)(bx ay) xy
2.已知2x2 3y2 6, 求证x 2 y 11
3.求函数y 3sin x 4 1 cos 2x的最大值
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立.
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
例4 : 设a,b R ,a b 1,求证 1 1 4 ab
变式 ：若a>b>c 求证：
11 4 ab bc ac
练习：
1.已知a2 b2 1,求证|a cos b sin | 1