2020年全国大学高数考试数学一试题及解析

2021年全国大学高数考试数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1) 2

2

lim

x x →= .

(2) 设1

()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y

∂=∂∂ .

(3) 设L 为椭圆

22

1,43

x y +=其周长记为a ,则22(234)L xy x y ds ++=⎰ . (4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 (5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：

1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9

(),16

P A B C ⋃⋃=

则()P A =

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )

(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。 (B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。 (C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。 (D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。

(2)

设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩

其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导

(3) 设01

1,02

(),()cos ,,1222,12

n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧

≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨

⎪- <<⎪⎩∑其中1

2()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

等于 ( )

(A)

12 (B)12- (C)34 (D)34

- (4) 设矩阵1

112223

3

3a b c a b c a b c ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

是满秩的,则直线333

121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线 111

232323

x a y b z c a a b b c c ---==--- ( )

(A) 相交于一点 (B) 重合 (C) 平行但不重合 (D) 异面

(5) 设A B 、是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有( )

(A) (|)(|)P A B P A B = (B) (|)(|)P A B P A B ≠ (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()()P AB P A P B ≠

三、(本题满分5分)

求直线11

:

111

x y z L --==

-在平面:210x y z ∏-+-=上的投影直线0L 的方程,并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.

四、(本题满分5分)

求()()sin ()cos ,x

x L

I e

y b x y dx e y ax dy =

-++-⎰其中a ,b 为正常数， L 为从点A ()2a,0

沿曲线O (0,0)的弧.

五、(本题满分6分)

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y (从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ,仪器所

受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k >.试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式()y =y v .

六、(本题满分6分)

试证：当0x >时，()

()2

2

1ln 1.x x x -≥-

七、(本题满分6分)

求2sin sin sin lim .1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪

++⎝

⎭

八、(本题满分7分)

设S 为椭球面22

2122

x y z ++=的上半部分，点P (,,)x y z ∈S ,π为S 在点P 处的切平面，(,,)x y z ρ为点O (0,0,0)到平面π的距离，求.(,,)S

z

dS x y z ρ⎰⎰

九、(本题满分6分)

设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.

(1) 试证存在0(0,1)x ∈,使得在区间[]00,x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间[]0,1x 上以()y f x =为曲边的梯形面积. (2) 又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()

(),f x f x x

'>-证明(1)中的0x 是唯一的.

十、(本题满分8分)

设矩阵153,10a

c A b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦

其行列式1,A =-又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值

0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T α=--求,,a b c 和0λ的值.

十一、(本题满分4分)

设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组0k A x =有解向量α,且1

0k A α-≠,