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北京中考数学试题(含答案及解析版)

2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题〔此题共16分，每题2分〕第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 以下几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如下图，那么正确的结论是〔A 〕＞4a 〔B 〕＞0b c - 〔C 〕＞0ac 〔D 〕＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为〔A 〕⎩⎨⎧=-=21y x 〔B 〕⎩⎨⎧-==21y x 〔C 〕⎩⎨⎧=-=12y x 〔D 〕⎩⎨⎧-==12y x4. 被誉为“中国天眼〞的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。

每个标准足球场的面积为7140m 2，那么FAST 的反射面总面积约为〔A 〕231014.7m ⨯ 〔B 〕241014.7m ⨯ 〔C 〕25105.2m ⨯ 〔D 〕26105.2m ⨯5. 假设正多边形的一个外角是o60，那么该正多边形的内角和为〔A 〕o360 〔B 〕o540 〔C 〕o720 〔D 〕o9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a ab a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为〔A 〕3 〔B 〕32 〔C 〕33 〔D 〕34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛工程之一，运发动起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一局部，运发动起跳后的竖直高度y 〔单位：m 〕与水平距离x 〔单位：m 〕近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。

以下图记录了某运发动起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运发动起跳后飞行到最高点时，水平距离为8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。

在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()3,6--时，表示左安门的点的坐标为()6,5-；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,12--时，表示左安门的点的坐标为()12,10-；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,11--时，表示左安门的点的坐标为()11,11-； ④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16--时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16-。

2021年北京市中考数学试卷(含答案和解析)

2021年北京市中考数学试卷(含答案和解析)2021年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的． 1．（4分）（2021•北京）2的相反数是（） A ． 2 B ．﹣2 C ．﹣ D ．2．（4分）（2021•北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（） A ． 0.3×106 B ．3×105 C ．3×106 D ．30×1043．（4分）（2021•北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）A ．B ．C ．D ．4．（4分）（2021•北京）如图是几何体的三视图，该几何体是（）A ．圆锥B ．圆柱 C ．正三棱柱 D ．正三棱锥5．（4分）（2021•北京）某篮球队12名队员的年龄如表：年龄（岁） 18 192021人数 5 41 2则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A ． 18，19B ．19，19 C ．18，19.5 D ．19，19.56．（4分）（2021•北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S （单位：平方米）与工作时间t （单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）A ．40平方米 B ．50平方米 C ．80平方米 D ．100平方米7．（4分）（2021•北京）如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（）A ． 2B ．4 C ．4 D ．88．（4分）（2021•北京）已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2021•北京）分解因式：ax 4﹣9ay 2= _________ ．10．（4分）（2021•北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为_________m．11．（4分）（2021•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为_________．12．（4分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为_________，点A2021的坐标为_________；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为_________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2021•北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．14．（5分）（2021•北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|15．（5分）（2021•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．16．（5分）（2021•北京）已知x﹣y=，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．17．（5分）（2021•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．18．（5分）（2021•北京）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2021•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．20．（5分）（2021•北京）根据某研究院公布的2009～2021年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：2009～2021年成年国民年人均阅读图书数量统计表年份年人均阅读图书数量（本）2009 3.882021 4.122021 4.352021 4.562021 4.78根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2009到2021年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2021年成年国民年人均阅读图书的数量约为_________本；（3）2021年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2021年与2021年成年国民的人数基本持平，估算2021年该小区成年国民阅读图书的总数量约为_________本．21．（5分）（2021•北京）如图，AB是eO的直径，C是»AB 的中点，eO的切线BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交eO于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．22．（5分）（2021•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_________，AC的长为_________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．24．（7分）（2021•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE 交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．25．（8分）（2021•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？2021年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的． 1．（4分）（2021•北京）2的相反数是（） A ． 2 B ． ﹣2 C ． ﹣ D ．考点：相反数．分析：根据相反数的概念作答即可．解答：解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．故选：B ．点评：此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．2．（4分）（2021•北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（） A ．0.3×106 B ．3×105 C ．3×106 D ．30×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解答：解：300 000=3×105，故选：B ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（4分）（2021•北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）A ．B ．C ．D ．考点：概率公式．分析：由有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是：=．故选D ．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．（4分）（2021•北京）如图是几何体的三视图，该几何体是（）A ．圆锥B ．圆柱 C ．正三棱柱 D ．正三棱锥考点：由三视图判断几何体．分析：如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．解答：解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱．故选C ．点评：本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．5．（4分）（2021•北京）某篮球队12名队员的年龄如表：年龄（岁） 18 192021人数 5 41 2则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）A ． 18，19B ．19，19 C ．18，19.5 D ．19，19.5考点：众数；加权平均数．分析：根据众数及平均数的概念求解．解答：解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；平均数==19．故选A ．点评：本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．6．（4分）（2021•北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S （单位：平方米）与工作时间t （单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）A ． 40平方米B ．50平方米 C ．80平方米 D ．100平方米考点：函数的图象．分析：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，然后可得绿化速度．解答：解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）．故选：B ．点评：此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，从图象中找出正确信息．7．（4分）（2021•北京）如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（）A ． 2B ．4 C ．4 D ．8考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径定理得CE=DE ，且可判断△OCE 为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE 进行计算．解答：解：∵∠A=22.5°， ∴∠BOC=2∠A=45°，∵圆O 的直径AB 垂直于弦CD ， ∴CE=DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE=OC=2， ∴CD=2CE=4．故选C ．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．8．（4分）（2021•北京）已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A ．B ．C ．D ．考点：动点问题的函数图象．分析：根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到y 随x 的增大的变化关系，然后选择答案即可．解答：解：A 、等边三角形，点P 在开始与结束的两边上直线变化，在点A 的对边上时，设等边三角形的边长为a ，则y=（a ＜x ＜2a ），符合题干图象；B 、菱形，点P 在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C 、正方形，点P 在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A 的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D 、圆，AP 的长度，先变速增加至AP 为直径，然后再变速减小至点P 回到点A ，题干图象不符合．故选A ．点评：本题考查了动点问题函数图象，熟练掌握等边三角形，菱形，正方形以及圆的性质，理清点P 在各边时AP 的长度的变化情况是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2021•北京）分解因式：ax 4﹣9ay 2= a （x 2﹣3y ）（x 2+3y ）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式a ，进而利用平方差公式进行分解即可．解答：解：ax 4﹣9ay 2=a （x 4﹣9y 2）=a （x 2﹣3y ）（x 2+3y ）．故答案为：a （x 2﹣3y ）（x 2+3y ）．点评：此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确利用平方差公式是解题关键．10．（4分）（2021•北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 15 m ．考点：相似三角形的应用．分析：根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．解答：解：设旗杆高度为x 米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．11．（4分）（2021•北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数y= （k ≠0），使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为 y=，y=（0＜k ≤4）（答案不唯一）．考反比例函数图象上点的坐标特征．点：专题：开放型．分析：先根据正方形的性质得到B 点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B 点的反比例函数解析式即可．解答：解：∵正方形OABC 的边长为2，∴B 点坐标为（2，2），当函数y= （k ≠0）过B 点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k ≤4）（答案不唯一）．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．12．（4分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （﹣y+1，x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，1），则点A 3的坐标为（﹣3，1），点A 2021的坐标为（0，4）；若点A 1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 ﹣1＜a ＜1且0＜b ＜2 ．考点：规律型：点的坐标．分析：根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据商和余数的情况确定点A 2021的坐标即可；再写出点A 1（a ，b ）的“伴随点”，然后根据x 轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．解答：解：∵A 1的坐标为（3，1），∴A 2（0，4），A 3（﹣3，1），A 4（0，﹣2），A 5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2021÷4=503余2，∴点A 2021的坐标与A 2的坐标相同，为（0，4）； ∵点A 1的坐标为（a ，b ），∴A 2（﹣b+1，a+1），A 3（﹣a ，﹣b+2），A 4（b ﹣1，﹣a+1），A 5（a ，b ），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，∴，，解得﹣1＜a ＜1，0＜b ＜2．故答案为：（﹣3，1），（0，4）；﹣1＜a ＜1且0＜b ＜2．点评：本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2021•北京）如图，点B 在线段AD 上，BC ∥DE ，AB=ED ，BC=DB ．求证：∠A=∠E ．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由全等三角形的判定定理SAS 证得△ABC ≌△EDB ，则对应角相等：∠A=∠E ．解答：证明：如图，∵BC ∥DE ，∴∠ABC=∠BDE ．在△ABC 与△EDB 中，∴△ABC ≌△EDB （SAS ），∴∠A=∠E ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．14．（5分）（2021•北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=1﹣5﹣+=﹣4．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．15．（5分）（2021•北京）解不等式x ﹣1≤x ﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解．解答：解：去分母，得：3x ﹣6≤4x ﹣3，移项，得：3x ﹣4x ≤6﹣3，合并同类项，得：﹣x ≤3，系数化成1得：x ≥﹣3．则解集在数轴上表示出来为：．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．16．（5分）（2021•北京）已知x ﹣y=，求代数式（x+1）2﹣2x+y （y ﹣2x ）的值．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先把代数式计算，进一步化简，再整体代入x ﹣y=，求得数值即可．解解：∵x ﹣y=，答： ∴（x+1）2﹣2x+y （y ﹣2x ）=x 2+2x+1﹣2x+y 2﹣2xy=x 2+y 2﹣2xy+1=（x ﹣y ）2+1=（）2+1=3+1=4．点评：此题考查整式的混合运算与化简求值，注意先化简，再整体代入求值．17．（5分）（2021•北京）已知关于x 的方程mx 2﹣（m+2）x+2=0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m ×2=（m ﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x 1=1，x 2=，然后利用整数的整除性确定正整数m 的值．解答：（1）证明：∵m ≠0，△=（m+2）2﹣4m ×2=m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，而（m ﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x ﹣1）（mx ﹣2）=0，x ﹣1=0或mx ﹣2=0，∴x 1=1，x 2=，当m 为正整数1或2时，x 2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m 的值为1或2．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．（5分）（2021•北京）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费 27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．考点：分式方程的应用．分析：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x 元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+0.54）元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，所行的路程相等列出方程解决问题．解答：解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x 元，由题意得=解得：x=0.18经检验x=0.18为原方程的解答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．点评：此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2021•北京）如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan ∠ADP 的值．考点：菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形．分析：（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE ，AB=AF ，AF=BE ，从而证明四边形ABEF 是菱形；（2）作PH ⊥AD 于H ，根据四边形ABEF 是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP ⊥BF ，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．∴∠DAE=∠AEB ．∵AE 是角平分线，∴∠DAE=∠BAE ．∴∠BAE=∠AEB ．∴AB=BE ．同理AB=AF ．∴AF=BE ．∴四边形ABEF 是平行四边形．∵AB=BE ，∴四边形ABEF 是菱形．（2）解：作PH ⊥AD 于H ，∵四边形ABEF 是菱形，∠ABC=60°，AB=4， ∴AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP ⊥BF ， ∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan ∠ADP==．点评：本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．20．（5分）（2021•北京）根据某研究院公布的2009～2021年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：2009～2021年成年国民年人均阅读图书数量统计表年份年人均阅读图书数量（本） 20093.8820214.12 20214.35 20214.56 2021 4.78根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m 的值；（2）从2009到2021年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2021年成年国民年人均阅读图书的数量约为 5 本；（3）2021年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2021年与2021年成年国民的人数基本持平，估算2021年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 7500 本．考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表．分析：（1）1直接减去个部分的百分数即可；（2）设从2009到2021年平均增长幅度为x ，列方程求出x 的值即可；（3）根据（2）的结果直接计算．解答：解：（1）m%=1﹣1.0%﹣15.6%﹣2.4%﹣15.0%=66%， ∴m=66．（2）设从2009到2021年平均增长幅度为x ，列方程得，3.88×（1+x ）4=4.78，1+x ≈1.05，x ≈0.05，4.78×（1+0.05）≈5．（3）990÷0.66×5=7500，故2021年该小区成年国民阅读图书的总数量约为7500本．故答案为5，7500．点评：本题考查了扇形统计图，能从图表中找到相关信息并加以利用是解题的关键．21．（5分）（2021•北京）如图，AB 是eO 的直径，C 是»AB 的中点，eO 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E 是OB 的中点，CE 的延长线交切线BD 于点F ，AF 交eO 于点H ，连接BH ．（1）求证：AC=CD ；（2）若OB=2，求BH 的长．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）连接OC ，由C 是的中点，AB 是⊙O 的直径，则OC ⊥AB ，再由BD 是⊙O 的切线，得BD ⊥AB ，从而得出OC ∥BD ，即可证明AC=CD ；（2）根据点E 是OB 的中点，得OE=BE ，可证明△COE ≌△FBE （ASA ），则BF=CO ，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB 是直径，得BH ⊥AF ，可证明△ABF ∽△BHF ，即可得出BH 的长．解答：（1）证明：连接OC ，∵C 是AB 的中点，AB 是⊙O 的直径，∴O ⊥AB ，∵BD 是⊙O 的切线，∴BD ⊥AB ，∴OC ∥BD ，∵OA=OB ，∴AC=CD ；（2）解：∵E 是OB 的中点，∴OE=BE ，在△COE 和△FBE 中，，∴△COE ≌△FBE （ASA ），∴BF=CO ，∴OB=2，∴BF=2，∴AF==2，∵AB 是直径，∴BH ⊥AF ， ∴△ABF ∽△BHF ， ∴=，∴AB •BF=AF •BH ，∴BH===．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．22．（5分）（2021•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC ，求AC 的长．小腾发现，过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E ，通过构造△ACE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE 的度数为 75° ，AC 的长为 3 ．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC 与BD 交于点E ，AE=2，BE=2ED ，求BC 的长．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．分析：根据相似的三角形的判定与性质，可得=2，根据等腰三角形的判定，可得AD=AC ，根据正切函数，可得DF 的长，根据直角三角形的性质，可得AB 与DF 的关系，根据勾股定理，可得答案．解答：解：∠ACE=75°，AC 的长为3．过点D 作DF ⊥AC 于点F ．∵∠BAC=90°=∠DFA ，∴AB ∥DF ，∴△ABE ∽△FDE ，∴=2，∴EF=1，AB=2DF ．在△ACD 中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，AC=AD ．∵DF ⊥AC ，∴∠AFD=90°，在△AFD 中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，∴DF=AFtan30°=，AD=2DF=2．∴AC=AD=2，AB=2DF=2．∴BC==2．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （0，﹣2），B （3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值．专题：计算题．分析：（1）将A 与B 坐标代入抛物线解析式求出m 与n 的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；（2）由题意确定出C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出D 纵坐标的最小值，求出直线BC 解析式，令x=1求出y 的值，即可确定出t 的范围．解答：解：（1）∵抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （0，﹣2），B （3，4），代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=2x 2﹣4x ﹣2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得：C （﹣3，﹣4），二次函数y=2x 2﹣4x ﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D 纵坐标最小值为﹣4，设直线BC 解析式为y=kx+b ，将B 与C 坐标代入得：，解得：k=，b=0，∴直线BC 解析式为y=x ，当x=1时，y=，则t 的范围为﹣4≤t ≤．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24．（7分）（2021•北京）在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF 的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB ＜90°，用等式表示线段AB ，FE ，FD 之间的数量关系，并证明．考点：四边形综合题．分析：（1）根据题意直接画出图形得出即可；（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；（3）由轴对称的性质可得：EF=BF ，AE=AB=AD ，∠ABF=∠AEF=∠ADF ，进而利用勾股定理得出答案．解答：解：（1）如图1所示：（2）如图2，连接AE ，则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAP=∠BAP=20°，∴∠EAD=130°，∴∠ADF==25°；（3）如图3，连接AE 、BF 、BD ，由轴对称的性质可得：EF=BF ，AE=AB=AD ，∠ABF=∠AEF=∠ADF ，∴∠BFD=∠BAD=90°，∴BF 2+FD 2=BD 2，∴EF 2+FD 2=2AB 2．点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．25．（8分）（2021•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M ＞0，对于任意的函数值y ，都满足﹣M ＜y ≤M ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数 y=（x ＞0）和y=x+1（﹣4≤x ≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数 y=x 2（﹣1≤x ≤m ，m ≥0）的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足≤t ≤1？考点：二次函数综合题．分析：（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；（2）根据函数的增减性、边界值确定a=﹣1；然后由“函数的最大值也是2”来求b 的取值范围；（3）需要分类讨论：m ＜1和m ≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点（﹣1，1）、（0，0），根据平。

北京市中考数学试卷及答案(完整版)

北京市中考数学试卷及答案（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。

1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021-2021）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。

将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43-的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-答案：D解析：(0)a a ≠的倒数为1a ，所以，43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.51 B. 52 C. 53 D. 54答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为534. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80° 答案：C解析：∠1＝∠2＝12（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。

5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。

若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CDBE AB=，即102020AB=，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。

北京市2021年数学中考真题(含答案解析)

2021年北京市初中学业水平考试数学试卷一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2021北京中考，1，2分，★☆☆）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱2．（2021北京中考，2，2分，★☆☆）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169 200 000 000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012B．1.692×1012C．1.692×1011D．16.92×10103．（2021北京中考，3，2分，★☆☆）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD 的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2021北京中考，4，2分，★☆☆）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．5．（2021北京中考，5，2分，★☆☆）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜06．（2021北京中考，6，2分，★☆☆）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）A．14B．13C．12D．237．（2021北京中考，7，2分，★☆☆）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜2021＜n+1，则n的值为（）A．43B．44C．45D．468．（2021北京中考，8，2分，★★☆）如图，用绳子围成周长为10m的矩形．记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题(共16分，每题2分)9．（2021北京中考，9，2分，★☆☆）若7x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．10．（2021北京中考，10，2分，★☆☆）分解因式：5x2﹣5y2＝____________．11．（2021北京中考，11，2分，★☆☆）方程23x＝1x的解为______．12．（2021北京中考，12，2分，★☆☆）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为______．13．（2021北京中考，13，2分，★☆☆）如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点．若∠P ＝50°，则∠AOB ＝______°．14．（2021北京中考，14，2分，★☆☆）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，AF ＝EC ．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）．15．（2021北京中考，15，2分，★★☆）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲 11 12 13 14 15 乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为2S 甲，2S 乙，则2S 甲______2S 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．（2021北京中考，16，2分，★★☆）某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a +1）小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b +3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A ，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为______．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（2021北京中考，17，5分，★☆☆）计算：2sin60°+12+|﹣5|﹣（π+2）0．18．（2021北京中考，18，5分，★☆☆）解不等式组：451 34.2x xxx-＞+，-＜19．（2021北京中考，19，5分，★☆☆）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．20．（2021北京中考，20，5分，★☆☆）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在上图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向．完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝_______，D是CA的中点，∴CA⊥DB（_______）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．21．（2021北京中考，21，6分，★☆☆）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．22．（2021北京中考，22，6分，★☆☆）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cos B＝45，求BF和AD的长．23．（2021北京中考，23，5分，★★☆）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝12x的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．24．（2021北京中考，24，6分，★★☆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．25．（2021北京中考，25，5分，★★☆）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x ＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．26．（2021北京中考，26，6分，★★☆）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y ＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27．（2021北京中考，27，7分，★★☆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D 在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．28．（2021北京中考，28，7分，★★★）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是__________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．2021年北京市初中学业水平考试数学试题答案全解全析1．答案：B解析：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，∴展开图可得此几何体为圆柱．故选B．考查内容：几何体的展开图．命题意图：本题主要考查学生对常见几何体的展开图的了解与直观想象能力，难度较小．2．答案：C解析：169200000000的整数位数有12位，所以将169200000000用科学记数法表示应为1.692×1011．故选C．考查内容：科学记数法．命题意图：本题主要考查学生用科学记数法表示较大的数，难度很小．归纳总结：把一个数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，a为整数)，这种记数的方法叫做科学记数法．（1）当原数的绝对值大于10时，用科学记数法可写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减1，也就是小数点向左移动的位数．（2）当原数的绝对值小于1时，用科学记数法可写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是负数，它的绝对值等于原数第一个不是0的数前面0的个数，也就是小数点向右移动的位数．3．答案：A解析：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°．又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．故选A．考查内容：垂直的定义；邻补角的定义．命题意图：本题主要考查学生对邻补角的定义和垂线的定义运用，难度很小．4．答案：D解析：A项，三角形的内角和为180°；B项，四边形的内角和为360°；C项，五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°；D项，六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°．故选D．考查内容：多边形内角和．命题意图：本题主要考查学生对多边形内角和定理的掌握程度，难度很小．5．答案：B解析：A项，由图可得数a表示的点在﹣2左侧，∴a＜﹣2，故A错误；B项，∵a到0的距离大于b到0的距离，∴|a|＞b，故B正确；C项，∵|a|＞b，a＜0，b＞0，∴a+b＜0，故C错误；D项，∵b＞a，∴b﹣a＞0，故D错误．故选B．考查内容：绝对值；实数与数轴．命题意图：本题主要考查学生对用数轴表示数，实数的运算法则的掌握，难度较小．6．答案：C解析：画树状图如下：由树状图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为24＝12．故选C．考查内容：列表法与树状图法．命题意图：本题主要考查学生对概率公式的理解，对列举法求概率的掌握，数学建模能力、数学运算能力的应用，难度较小．7．答案：B解析：∵1936＜2021＜2025，∴44＜2021＜45，∴n＝44．故选B．考查内容：估算无理数的大小．命题意图：本题主要考查用有理数估算无理数的大小，难度较小．8．答案：A解析：由题意得，2（x+y）＝10，∴x+y＝5，∴y＝﹣x+5，即y与x是一次函数关系．∵S＝xy＝x（﹣x+5）＝﹣x2+5x，∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，满足二次函数关系．故选A．考查内容：一次函数的应用；二次函数的应用．命题意图：本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用等知识及数学建模素养，数学运算素养．【核心素养】以矩形的周长与面积为为载体，考查在知识形成、发展和应用过程中，所积累的活动经验，以及对知识本质的理解和数学思想的感悟，体现了数学建模核心素养．9．答案：x≥7解析：由题意得x﹣7≥0，解得x≥7．考查内容：二次根式有意义的条件．命题意图：本题主要考查学生对二次根式有意义的条件的理解与数学运算能力，难度较小．10．答案：5（x+y）（x﹣y）解析：5x2﹣5y2＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）．考查内容：提公因式法与公式法的综合运用．命题意图：本题主要考查学生对因式分解方法的灵活运用与数学运算能力，难度较小．11．答案：x＝3解析：去分母，得2x＝x+3，解得x＝3．检验：x＝3时，x（x+3）≠0，∴方程的解为x＝3．考查内容：解分式方程．命题意图：本题主要考查学生对分式方程的解法的掌握与数学运算能力，难度较小．12．答案：﹣2解析：∵反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），∴﹣m＝1×2，解得m＝﹣2，即m的值为﹣2．考查内容：反比例函数图象上点的坐标特征．命题意图：本题主要考查学生对用待定系数法求反比例函数的解析式的掌握与数学运算能力，难度较小．13．答案：130解析：∵P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°．∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．考查内容：切线的性质；多边形的内角和．命题意图：本题主要考查学生对切线的性质、四边形的内角和的掌握与逻辑推理能力，难度较小．14．答案：AE=AF（答案不唯一）解析：可添加AE＝AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE．∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝AF，∴□AECF是菱形．考查内容：平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质．命题意图：本题主要考查学生对矩形的性质、菱形的判定的理解和运用与逻辑推理能力，难度较小．15．答案：＞解析：x甲＝15×（11+12+13+14+15）＝13，2S甲＝15[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，x乙＝15×（12+12+13+14+14）＝13，2S乙＝15[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，∵2＞0.8，∴2S甲＞2S乙．考查内容：平均数；方差．命题意图：本题主要考查学生对方差的计算公式的掌握与数据分析能力，难度中等．16．答案：2：3 1 2解析：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5﹣x）吨，根据题意，可得4x+1＝2（5﹣x）+3，解得x＝2，∴分配到B生产线的吨数为5﹣2＝3（吨），∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3；∴第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料，∵加工时间相同，∴4（2+m）+1＝2（3+n）+3，解得m＝12n，∴mn=12．考查内容：一元一次方程的应用；二元一次方程的应用；比例的性质．命题意图：本题主要考查学生对一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质的掌握及数学建模素养，数学运算素养．核心素养：创设了加工相同原材料的生产线的现实情境，考查学生对用文字和符号描述的数学条件的阅读理解能力、对题目中的信息进行提取、加工和处理能力，建立合适的数学模型，鼓励学生用多样化的方法、不同的数学模型来分析、解决现实问题，考查模型思想与应用意识．17．解析：原式＝2×32+23+5﹣1＝3+23+5﹣1＝33+4．易错警示：本题中计算零次幂时，易出现（π+2）0＝0的错误，理解零次幂的意义，避免类似的错误．考查内容：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．命题意图：本题主要考查学生对实数的运算的掌握与数学运算能力，难度较小．18．解析：解不等式4x﹣5＞x+1，得x＞2．解不等式342x-＜x，得x＜4．则不等式组的解集为2＜x＜4．考查内容：解一元一次不等式组．命题意图：本题主要考查学生对一元一次不等式组的解法的掌握与数学运算能力，难度较小．19．解析：原式＝a2﹣2ab+b2+2ab+b2＝a2+2b2，∵a2+2b2﹣1＝0，∴a2+2b2＝1，∴原式＝1．考查内容：整式的混合运算—化简求值．命题意图：本题主要考查学生对整式的混合运算法则及代入求值的掌握与数学运算能力，难度较小．20．解析：（1）如图，点D即为所求．（2）答案为：BC，三线合一．理由：在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，∴CA⊥DB（三线合一），∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．考查内容：等腰三角形的性质；作图—应用与设计作图．命题意图：本题主要考查作图中基本作图，同时考查了等腰三角形的性质，难度较小．21．解析：（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即△≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．考查内容：解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式．命题意图：本题主要考查学生对一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法的理解掌握与数学运算能力，难度较小．22．解析：（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE，∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形．（2）∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°，∵cosB ＝45＝BF BE，BE ＝5， ∴BF ＝45BE ＝45×5＝4， ∴EF ＝22BE BF -＝2254-＝3．∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB ，∠ACE ＝90°，∴EC ＝EF ＝3，由（1）得四边形AECD 是平行四边形，∴AD ＝EC ＝3．考查内容：角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形．命题意图：本题考查了学生对平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识的掌握及逻辑推理素养、数学运算素养的培养．23．解析：（1）函数y ＝12x 的图象向下平移1个单位长度得到y ＝12x ﹣1， ∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象由函数y ＝12x 的图象向下平移1个单位长度得到， ∴这个一次函数的表达式为y ＝12x ﹣1．（2）12≤m ≤1．解析：把x ＝﹣2代入y ＝12x ﹣1，求得y ＝﹣2， ∴函数y ＝mx （m ≠0）与一次函数y ＝12x ﹣1的交点为（﹣2，﹣2）. 把点（﹣2，﹣2）代入y ＝mx ，求得m ＝1，∵当x ＞﹣2时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝12x ﹣1的值， ∴12≤m ≤1．考查内容：一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换．命题意图：本题主要考查学生对一次函数的图象平移规律的理解、一次函数图象与性质的理解掌握与逻辑推理素养，数学建模素养的培养，难度中等．24．解析：（1）证明：∵AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴∠BAD ＝∠CAD ．（2）在Rt △BOE 中，OB ＝5，OE ＝3，∴BE ＝22OB OE -＝4．∵AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴BC ＝2BE ＝8．∵BG 是⊙O 的直径，∴∠BCG ＝90°，∴GC ＝22BG BC -＝6．∵AD ⊥BC ，∠BCG ＝90°，∴AE ∥GC ，∴△AFO ∽△CFG ， ∴OA GC ＝OF FG ，即56＝5OF OF ，解得OF ＝2511．考查内容：勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．命题意图：本题主要考查学生对垂径定理的灵活运用、相似三角形的判定与性质的灵活运用与逻辑推理能力、数学运算能力，难度中等．25．解析：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，因此中位数是10.1，即m ＝10.1．（2）由题意得p 1＝5+3+4＝12（家），由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上有13家，也就是p 2的值要大于13，∴p 1＜p 2．（3）11.0×200＝2200（百万元），答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．考查内容：频数（率）分布直方图；中位数；样本估计总体．命题意图：本题主要考查学生对统计量的理解运用与数据分析能力，难度中等．【核心素养】本题以“邮政企业收入”为切入点，通过对频数分布直方图、平均数、中位数、用样本估计总体等知识的考查，体现对数据分析素养和数学建模素养的考查．26．解析：（1）∵m ＝3，n ＝15，∴点（1，3），（3，15）在抛物线上．将（1，3），（3，15）代入y ＝ax 2+bx ，得31593a b a b =+⎧⎨=+⎩，，解得2a b 1， ∴y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，∴抛物线对称轴为直线x ＝﹣1．（2）∵y ＝ax 2+bx （a ＞0），∴抛物线开口向上且经过原点．当b ＝0时，抛物线顶点为原点，x ＞0时y 随x 增大而增大，n ＞m ＞0不满足题意，当b ＞0时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，n ＞m ＞0不满足题意，∴b ＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，x ＝1时m ＜0，x ＝3时n ＞0，即两个抛物线和x 轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，∴抛物线对称轴在直线x ＝32与直线x ＝12之间，即12＜﹣2b a ＜32， ∴点（2，y 2）与对称轴距离12＜2﹣（﹣2b a ）＜32，点（﹣1，y 1）与对称轴距离32＜﹣2b a ﹣（﹣1）＜52，点（4，y 3）与对称轴距离52＜4﹣（﹣2b a ）＜72，∴y 2＜y 1＜y 3．考查内容：待定系数法求二次函数的解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．命题意图：本题考查学生对待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质的掌握及数学建模素养、数学运算素养的培养．【核心素养】立足于二次函数的概念、图象和基本性质这些学科主干知识的考查，引导学生结合二次函数图象的对称性，利用数形结合的方法进行推理，重点考查学生利用在初中学段的学习中所积累的主干知识和学习经验进行思考和说理．27．解析：（1）∵∠DAE ＝∠BAC ＝α，∴∠DAE ﹣∠BAD ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠BAE ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝CD ．∵M 为BC 的中点，∴BM ＝CM ，∴BE +MD ＝BM ．（2）EN ＝DN ．证明：如图，作EH ⊥AB 交BC 于H ，交AB 于F ，由（1）△ABE ≌△ACD ，得∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ACD ＝∠ABC ，∴∠ABE ＝∠ABD ．在△BEF 和△BHF 中，EBF HBF BF BF BFE BFH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，，∠∠， ∴△BEF ≌△BHF （ASA ），∴BE ＝BH ．由（1）知BE+MD＝BM，∴MH＝MD，∵MN∥HF，∴ENDN=MHMD，∴EN＝DN．考查内容：全等三角形的判定与性质；旋转的性质；平行线分线段成比例．命题意图：本题主要考查了学生对等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识的掌握运用及逻辑推理素养，数学建模素养的培养．一题多解：解法1 （2）EN＝DN．证明：如图，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F，由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD，∴∠ABE＝∠ABD．由对称性可得，BE=BH=CD，∴MN=DM．∵EH⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥EH，∴DNEN=DMHM，∴EN＝DN．解法2 （2）EN ＝DN ．证明：如图，延长MN ，BE ，交于点X ，作EY ∥BC ，交MX 于点Y ．由（1）得△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ABC ，由对称性可得，BX=BM=MC ．∵EY ∥BC ，∴△XEY ∽△XBM ， ∴EY BM =XE XB， ∴XE =EY ．又∵BE ＝CD ，∴XE =EY =MD ．∵EY ∥BC ，∴∠YEN =∠NDM ．在△EYN 和△DMN 中，YEN NDM ENY DNM EY DM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠，， ∴△EYN ≌△DMN （AAS ），∴EN ＝DN ．解法3：（2）EN ＝DN ．证明：如图，延长MN ，BE ，交于点X ，作DY ∥BE ，交NM 的延长线于点Y ．由（1）得△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ABC ，由对称性可得，BX =BM ，∠BXM =∠BMX ．∵DY ∥BE ，∴∠DYM =∠BXM ．又∵∠BMX =∠DMY ，∴∠DMY =∠DYM ，∴DM =DY ．在△EXN 和△DYN 中，EXN DYN ENX DNY EX DY =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠，， ∴△EXN ≌△DYN （AAS ），∴EN ＝DN ．解法4 （2）EN ＝DN ．证明：如图，延长MN ，BE ，交于点X ，作DG ⊥MN ，交NM 的延长线于点G ，作EH ⊥MN 于H ．由（1）得△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ABC ，由对称性可得，BX =BM =CM ，∠BXM =∠BMX ，∴EX =DM ，∠EXH =∠DMG ．在△EXH 和△DMG 中，EXN DMG EHX DGM EX DM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠，， ∴△EXH ≌△DMG （AAS ），∴EH =DG ．在△EHN 和△DGN 中，EHN DGG ENH DNG EH DG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠，， ∴△EHN ≌△DGN （AAS ），∴EN ＝DN ．解法5 （2）EN ＝DN ．证明：如图，连接AM ，AN ．∵AB =AC ，M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，∠AMC =∠AMB =90°，∠BAM =∠CAM =2． ∴∠C =90°－2．由（1）得△ABE ≌△ACD ，∴∠BAE =∠CAD ，AE =AD ，∴∠DAE =∠CAB =α，∴∠ADE =90°－2． ∵MN ⊥AB ，∴∠AMN =90°－∠BAM =90°－2． ∴∠AMN =∠ADE =90°－2，∴A 、D 、M 、N四点共圆（如图所示）．∴∠AND=∠AMD=90°．∵AE=AD，∴EN=DN．解法6 （2）EN＝DN．证明：如图，连接AM，AN，AM与DE相交于点F．∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∠AMC=∠AMB=90°，∠BAM=∠CAM=2．∴∠C=90°－2．由（1）得△ABE≌△ACD，∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴∠DAE=∠CAB=α，∴∠ADE=90°－2．∵MN⊥AB，∴∠AMN=90°－∠BAM=90°－2．∴∠AMN=∠ADE=90°－2．又∵∠MFN=∠AFD，∴△NMF∽△ADF，∴NFAF=MFDF．又∵∠AFN=∠DFM，∴△NF A∽△MFD，∴∠ANF=∠FMD=90°．∵AE=AD，∴EN=DN．【核心素养】考查学生识别、分析和提炼问题情境中的基本几何图形及其性质，利用自身的学习经验，以及所学过的常用图形变换，通过画图、观察和分析图形运动变化的全过程，猜想、探究蕴含其中的几何图形数量之间的关系和规律，从而考查学生的几何直观、对基本图形中的常用辅助线的认知，考查探究问题的通用方法的掌握情况和逻辑推理能力．28．解析：（1）B2C2．解析：由旋转的性质，可知AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，由图可知，点A到圆上一点的距离d的范围为2﹣1≤d≤2+1，∵AC1＝3＞d，∴点C1′不可能在圆上，∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，∵AC2＝1，AB2＝5，∴C2′（0，1），B2′（1，0），∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，∵AC 3＝2，AB3＝5，当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），由图可知此时C3′不在圆上，∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．（2）如图所示，∵△ABC是边长为1的等边三角形，根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形．∵A（0，t），∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，∴AO 为B ′C ′边上的高的2倍，且此高的长为32， ∴t ＝3或﹣3．（3）OA 的最小值为1时，此时BC 的长为3，OA 的最大值为2，此时BC 的长为62．理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义，可知AB ′＝AB ＝OB ′＝OC ′＝1，AC ′＝AC ＝2，如图1，利用四边形的不稳定性可知，当A ，O ，C ′在同一直线上时，OA 最小，最小值为1，如图2，此时OA ＝OB ′＝OC ′，∴∠AB ′C ＝90°，∴B ′C ′＝22C A B A -＝2221-＝3．当A ，B ′，O 在同一直线上时，OA 最大，如图3，此时OA ＝2，过点A 作AE ⊥OC ′于E ，过点C ′作C ′F ⊥OA 于F ．∵AO ＝AC ′＝2，AE ⊥OC ′，∴OE ＝EC ′＝12， ∴AE ＝22OA OE -＝22122-（）＝152， ∵S △AOC ′＝12•AO •C ′F ＝12•OC ′•AE ， ∴C ′F ＝154， ∴OF ＝22C O C F -＝221514-（）＝14， ∴FB ′＝OB ′﹣OF ＝34， ∴B ′C ′＝22B FC F ＝2231544（）（）＝62．综上OA 的最小值为1时，此时BC 的长为，OA 的最大值为2，此时BC 的长为62．考查内容：圆的综合题．命题意图：此题属于圆综合题，主要考查学生对旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的掌握运用及数学建模素养，逻辑推理素养的培养．【核心素养】以学生学习的重点知识之一的旋转作为主要背景，定义了“关联线段”，以实践操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生经历学习、研究新知识的一般过程，从特殊情况入手，继而研究一类“关联线段”的特征，探究和解决问题，在现场学习的活动经验的积累过程中提升逻辑推理素养，数学运算素养等数学素养．。

2021年北京市中考数学试卷及答案解析

2021年北京初中学考数学试题解析【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】本题选A。

【解析】【解析】答案为2:3,1/2.第三部分解答题解答题第17题混合运算【解析】作图题的新花样，创新型试题，和海淀一模的“圭表”试题很相似，有画图，有依据填空。

本题是等腰三角形三线合一的性质。

【解析】【解析】1）平四的判定与证明，两组对边分别平行；2）Rt△BEF三边之比为3:4:5，EF=CE=AD。

这道题中规中矩，虽然是知识点交汇处命题，但是整体难度不大。

【解析】1）函数图象平移，高频考点，y=1/2x-1；解答题第24题圆综合题【解析】真的是比较简单的一道题。

（1）角度相等，垂径定理的应用；（2）OE为△BCG的中位线，△OAF∽△GCF可得线段长。

这道题没有切线的相关考察。

【解析】1）数一数，第13个数字为10.1，故m=10.1；2）p1=12，乙城市平均是11.0，中位数11.5，平均数低于中位数，则一定有p1＜p2；3）采用平均数计算即可，11.0x200=2200（百万元）。

第四部分压轴题题【解析】短小精悍的一道题。

【解析】（1）很简单的一问，基础题型，但是一个小问题其实是两个问题。

（2）有些难度的问题，虽然也是中点类型。

可以采取不同的思路进行。

方法一：同一法设DE的中点为H，连接AH，连接MH并延长交AB于G。

可证△AMC∽△AHD，△ADC∽△AHM，于是∠AMH=∠ACD，则点∠AMH+∠BAM=90°，于是可得点H在FM上，即点H、N重合，问题得证。

方法二：辅助圆可证∠AMN=∠C=∠AOD，可得辅助圆如图所示，有∠AND=∠AMD=90°，问题得证。

字型造全等【解析】（1）比较简单，如图所示，可得结论。

（2）也可以看做是作图题。

如图，可得点A的纵坐标。

（3）难度最大的一问，需要借助特殊位置进行分析。

先来分析最小值，AC=AC'=2，而圆O的直径为2，于是可作草图，再作圆A，进而确定点B和B'，此时OA最小值为1，且BC长为根号3；再来确定最大值。

北京市2021年中考数学试题(含答案)

2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷姓名准考证号考场号座位号考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。

已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯ 5. 若正多边形的一个外角是o60，则该正多边形的内角和为（A ）o360 （B ）o540 （C ）o720 （D ）o9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a ab a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。

2021年北京市中考数学试题(word版,含答案解析)

2021年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱2．（2分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012B．1.692×1012C．1.692×1011D．16.92×10103．（2分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2分）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．5．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜06．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）A．B．C．D．7．（2分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n n+1，则n的值为（）A．43B．44C．45D．468．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：5x2﹣5y2＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为．13．（2分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．15．（2分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．（2分）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2021年北京市中考数学试卷Word版+答案解析

2021年北京市中考数学试卷一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱2．（2分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012B．1.692×1012C．1.692×1011D．16.92×10103．（2分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2分）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．5．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜06．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）A．B．C．D．7．（2分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．43B．44C．45D．468．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题(共16分，每题2分)9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：5x2﹣5y2＝．11．（2分）方程＝的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为．13．（2分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．15．（2分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．（2分）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2021年北京市中考数学试题及答案解析2021年北京市中考数学试题及答案

2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷录入 by iC 2021.06.25一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题无有四个选项，其中只有一个符合题意的． 1．9-的相反数是( )A ．19-B ．19C ．9-D ．92．首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2021年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )A ．96.01110⨯B ．960.1110⨯C ．106.01110⨯D ．110.601110⨯3．正十边形的每个外角等于( ) A ．18︒B ．36︒C ．45︒D ．60︒4．右图是某个几何体的三视图，该几何体是( ) A ．长方体 B ．正方体 C ．圆柱 D ．三棱柱5．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是( ) A ．16B ．13C ．12D ．236．如图，直线AB ，CD 交于点O ．射线OM 平分AOC ∠，若76BOD ∠=︒，则BOM ∠等于( ) A ．38︒ B ．104︒ C ．142︒D ．144︒7．某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量，如下表所示:俯视图左视图主视图MDOCBA则这户家庭用电量的众数和中位数分别是( ) A ．180，160 B ．160，180 C ．160，160D ．180，1808．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t (单位:秒)，他与教练距离为y (单位:米)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的( ) A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q图1 图2 二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．分解因式:269m mn n m ++=_________________．10．若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m 的值是______．11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边40DE cm =，20EF cm =，测得边DF 离地图的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB =_____m ．12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横纵坐标都是整数点的叫做整点．已知点A (0，4)，QNMPC B AO30 t / 秒/米1 2 3 4 13 12 11 10 9 87654 321AOy x点B 是x 正半轴上的整点，记△AOB 内部(不包括边界)的整数点个数为m ，当3m =时，点B 的横坐标的所有可能值是_______；当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时，m =____________．(用含n 的代数式表示)．三、解答题(本题共30分，每小题5分)13．计算:011(2sin 45()8-π-3)︒-．14．解不等式组:43421x xx x ->⎧⎨+<-⎩．15．已知023a b =≠，求代数式22452(2)b a b a b a ⋅---的值．16．已知:如图，点E ，A ，C 在同一直线上，AB CD ，AB CE =，AC CD =．求证:BC ED =．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数4(0)y x x=>的图象与一次函数y kx k =-的图象交点为A (m ，2).(1)求一次函数的解析式；(2)设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点，且满足△PAB 的面积是4，直接写出P 的坐标．EDCBA18．列方程或方程组解应用题:据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年平均滞尘量比一片国槐树中一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ，90BAC ∠=︒，45CED ∠=︒，30DCE ∠=︒，DEBE =．求CD 的长和边形ABCD的面积．20．已知:如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ． (1)求证:BE 与⊙O 相切； E DCB AOEDCBA(2)连结AD并延长交BE于点F，若9OB=，2sin3ABC∠=，求BF的长．21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2021年北京市又调整修订了2010至2021年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图的一部分．请根据以上信息解答下列部问题:(1)补全条形图并在图中标明相应数据；(2)按照2021年规划方案，预计2021年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？(3)要按时完成截至2021年的轨道交通规划任务，从2021到2021年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？亦庄线 23昌平线 21 15号线 20 北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表(截至2021年底)()总里程千米年份22．(1)对数轴上的点P 进行如下操作:先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点'P ．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段''A B ，其中点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．如图1，若点A 表示的数是3-，则点'A 表示的数是_______；若点'B 表示的数是2，则点B 表示的数是______；已知线段AB 上的点E 经过上术操作后得到的对应点'E 与点E 重合，则点E 表示的数是______；图1(2)如图2，在平面直角坐标系中，对正方形ABCD 及其内部的第个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标乘以同一个实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位(0m >，0n >)，得到正方形''''A B C D 及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．已知正方形ABCD 内部的一点F 经过上述操作后得到的对应点'F 与点F 重合，求点F 的坐标．4321-1-2-3-4图2五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点A (3-，m )，求m 与k 的值； (3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C (点B 在点C 的左侧 )，将二次函数的图象B ，C 间的部分(含点B 和点C )向左平移n (0n >)个单位后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线y kx b =+向上平移n 个单位．请结合图象回答:平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围．24．在△ABC 中，BA BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．(1)若60α=︒且点P 与点M 重合(如图1)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；M (P )QCBA。

2021北京中考数学试卷及答案解析

2021年北京市中考数学试卷一、选择题（此题共30分，每题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的1．（3分）（2021•北京）截止到2021年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（）A ． 14×104B ． 1.4×105C ． 1.4×106D ． 14×106考点：科学记数法—表示较大的数．专题：计算题．分析：将140000用科学记数法表示即可．解答：解：140000=1.4×105，故选B ．点评：此题考查了科学记数法﹣表示较大的数，较小的数，以及近似数与有效数字，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．（3分）（2021•北京）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如下图，这四个数中，绝对值最大的是（）A ． aB ． bC ． cD ． d考点：实数大小比较．分析：首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a ，b ，c ，d 的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可．解答：解：根据图示，可得3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a ．故选：A ．点评：此题主要考查了实数大小的比较方法，以及绝对值的非负性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出实数a ，b ，c ，d 的绝对值的取值范围．3．（3分）（2021•北京）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外无其他不同，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A．B．C．D．考点：概率公式．专题：计算题．分析：直接根据概率公式求解．解答：解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率==．故选B．点评：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．4．（3分）（2021•北京）剪纸是我国传统的民间艺术，以下剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，B．不是轴对称图形，C．不是轴对称图形，D．是轴对称图形，故选：D．点评：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．5．（3分）（2021•北京）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，假设∠1=124°，∠2=88°，那么∠3的度数为（）A．26°B．36°C．46°D．56°考点：平行线的性质．分析：如图，首先运用平行线的性质求出∠AOB的大小，然后借助平角的定义求出∠3即可解决问题．解答：解：如图，∵直线l4∥l1，∴∠1+∠AOB=180°，而∠1=124°，∴∠AOB=56°，∴∠3=180°﹣∠2﹣∠AOB=180°﹣88°﹣56°=36°，故选B．点评：该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．6．（3分）（2021•北京）如图，公路AC，BC相互垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．假设测得AM的长为1.2km，那么M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km考点：直角三角形斜边上的中线．专题：应用题．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=AB=AM=1.2km．故选D．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．7．（3分）（2021•北京）某市6月份日平均气温统计如下图，那么在日平均气温这组数据中，众数和中位数别离是（）A．21，21 B．21，21.5 C．21，22 D．22，22考点：众数；条形统计图；中位数．专题：数形结合．分析：根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解．解答：解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22．故选C．点评：本题考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了条形统计图和中位数．8．（3分）（2021•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的要紧建筑散布图，假设那个坐标系别离以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），那么表示以下宫殿的点的坐标正确的选项是（）A．景仁宫（4，2）B．养心殿（﹣2，3）C．保和殿（1，0）D．武英殿（﹣3.5，﹣4）考点：坐标确定位置．分析：根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．解答：解：根据表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），可得：原点是中和殿，所以可得景仁宫（2，4），养心殿（﹣2，3），保和殿（0，1），武英殿（﹣3.5，﹣3），故选B点评：此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．9．（3分）（2021•北京）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，假设购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A 类50 25B 类200 20C 类400 15例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，假设一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，那么最省钱的方式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡考点：一次函数的应用．分析：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：y A=50+25x，y B=200+20x，y C=400+15x，当45≤x≤50时，确定y的范围，进行比较即可解答．解答：解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：y A=50+25x，y B=200+20x，y C=400+15x，当45≤x≤50时，1175≤y A≤1300；1100≤y B≤1200；1075≤y C≤1150；由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．故选：C．点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围．10．（3分）（2021•北京）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进线路，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时刻为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，假设寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么寻宝者的行进线路可能为（）A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O考点：动点问题的函数图象．分析：根据函数的增减性：不同的观察点获得的函数图象的增减性不同，可得答案．解答：解：A、从A点到O点y随x增大一直减小到0，故A不符合题意；B．从B到A点y随x的增大先减小再增大，从A到C点y随x的增大先减小再增大，但在A点距离最大，故B不符合题意；C．从B到O点y随x的增大先减小再增大，从O到C点y随x的增大先减小再增大，在B、C点距离最大，故C符合题意；D．从C到M点y随x的增大而减小，一直到y为0，从M点到B点y随x的增大而增大，明显与图象不符，故D不符合题意；故选：C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，利用观察点与动点P之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键．二、填填空题（此题共18分，每题3分）11．（3分）（2021•北京）分解因式：5x3﹣10x2+5x=5x（x﹣1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式5x，再根据完全平方公式进行二次分解．解答：解：5x3﹣10x2+5x=5x（x2﹣2x+1）=5x（x﹣1）2．故答案为：5x（x﹣1）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．12．（3分）（2021•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．考点：多边形内角与外角．分析：首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．解答：解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．点评：此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的内角和=（n﹣2）•180 (n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．13．（3分）（2021•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的高作，奠定了中国传统数学的大体框架．它的代数成绩要紧包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成绩．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．解答：解：根据题意得：，故答案为：．点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．14．（3分）（2021•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组知足条件的实数a，b的值：a=4，b=2．考点：根的判别式．专题：开放型．分析：由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．解答：关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：4，2．点评：本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．15．（3分）（2021•北京）北京市2020﹣2021年轨道交通日均客运量统计如下图．依照统计图中提供的信息，预估2021年北京市轨道交通日均客运量约980万人次，你的预估理由是依照2020﹣2020年呈直线上升，故2021﹣2021年也呈直线上升．考点：用样本估计总体；折线统计图．分析：根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．解答：解：预估2015年北京市轨道交通日均客运量约980万人次，根据2009﹣2011年呈直线上升，故2013﹣2015年也呈直线上升，故答案为：980；根据2009﹣2011年呈直线上升，故2013﹣2015年也呈直线上升．点评：此题考查用样本估计总体，关键是根据统计图分析其上升规律．16．（3分）（2021•北京）阅读下面材料：在数学课上，教师提出如下问题：小芸的作法如下：教师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．考点：作图—基本作图．专题：作图题．分析：通过作图得到CA=CB，DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断CD为线段AB的垂直平分线．解答：解：∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．点评：本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．三、解答题（此题共72分，第17－26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程．17．（5分）（2021•北京）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=4﹣1+2﹣+4×=5+．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（5分）（2021•北京）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．解答：解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（5分）（2021•北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出所有非负整数解．解答：解：，由①得：x≥﹣2；由②得：x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．点评：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）（2021•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC 于点E．求证：∠CBE=∠BAD．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．解答：证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．点评：考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．21．（5分）（2021•北京）为解决“最后一千米”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民利用．到2021年末，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．估量到2021年末，全市将有公租自行车50 000辆，而且平均每一个租赁点的公租自行车数量是2021年末平均每一个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．估量到2021年末，全市将有租赁点多少个？考点：分式方程的应用．分析：根据租赁点的公租自行车数量变化表示出2013年和2015年平均每个租赁点的公租自行车数量，进而得出等式求出即可．解答：解：设到2015年底，全市将有租赁点x个，根据题意可得：×1.2=，解得：x=1000，经检验得：x=1000是原方程的根，答：到2015年底，全市将有租赁点1000个．点评：此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．22．（5分）（2021•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．(1）求证：四边形BFDE是矩形；(2）假设CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．考点：平行四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理的逆定理；矩形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；(2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；(2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．点评：本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．23．（5分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴别离交于点A，B．(1）求m的值；(2）假设PA=2AB，求k的值．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；(2）作PC⊥x轴于点C，设点A的坐标为（a，0），则AO=﹣a，AC=2﹣a，根据PA=2AB 得到AB：AP=AO：AC=1：2，求得a值后代入求得k值即可．解答：解：∵y=经过P（2，m），∴2m=8，解得：m=4；(2）点P（2，4）在y=kx+b上，∴4=2k+b，∴b=4﹣2k，∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（2﹣，0），B（0，4﹣2k），如图，∵PA=2AB，∴AB=PB，则OA=OC，∴﹣2=2，解得k=1；点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是表示出A的坐标，然后利用线段之间的倍数关系确定k的值，难度不大．24．（5分）（2021•北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．(1）求证：△ACD是等边三角形；(2）连接OE，假设DE=2，求OE的长．考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质．分析：（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到，于是得到，问题即可得证；(2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+，BE=AE=，在R t△DEF与R t△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE，∴CD⊥AB，∴，∵=，∴，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；(2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=2+，BE=AE=，在R t△DEF与R t△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即=r2+，∴r=2，∴OE2=+25=28，∴OE=2．点评：本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．25．（5分）（2021•北京）阅读以下材料：2021年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，尽管气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量别离为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量别离为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2021年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2021 年清明小长假增加了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2021 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2021年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量别离为32万人次、13万人次、14.9 万人次．依照以上材料解答以下问题：(1）2021年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为40万人次；(2）选择统计表或统计图，将2021﹣2021年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．考点：条形统计图；统计表．分析：（1）2013年的人数乘以（1+25%）即可求解；(2）求出2014年颐和园的游客接待量，然后利用统计表即可表示．解答：解：（1）2014年，玉渊潭公园的游客接待量是：32×（1+25%）=40（万人）．故答案是：40；(2）2013年颐和园的游客接待量是：26.4﹣4.6=21.8（万元）．玉渊潭公园颐和园北京动物园2013年32 21.8 14.92014年40 26.2 222015年38 26 18点评：本题考查了数据的分析与整理，正确读懂题意，从所列的数据中整理出2013﹣2015年三年中，三个公园的游客数是关键．26．（5分）（2021•北京）有如此一个问题：探讨函数y=x2+的图象与性质．小东依照学习函数的体会，对函数y=x2+的图象与性质进行了探讨．下面是小东的探讨进程，请补充完整：(1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是x≠0；(2）下表是y与x的几组对应值．1 2 3 …x …﹣3 ﹣2 ﹣1﹣﹣y …m …﹣﹣﹣求m的值；(3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．依照描出的点，画出该函数的图象；(4）进一步探讨发觉，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．分析：（1）由图表可知x≠0；(2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；(3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；(4）观察图象即可得出该函数的其他性质．解答：解：（1）x≠0，(2）令x=3，∴y=×32+=+=；∴m=；(3）如图(4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．27．（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c通过点A，B．(1）求点A，B的坐标；(2）求抛物线C1的表达式及极点坐标；(3）假设抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．考点：二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．分析：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（﹣1，2）．(2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c的值，即可解答；(3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答．解答：解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．(2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．(3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴点评：本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．28．（7分）（2021•北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，取得△BCQ，过点Q 作QH⊥BD于H，连接AH，PH．(1）假设点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判定AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；(2）假设点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（能够不写出计算结果）考点：四边形综合题．分析：（1）①根据题意画出图形即可；②连接CH，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SSS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性质即可得出结论；(2）根据四边形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出PD=CQ．作HR⊥PC于点R，由∠AHQ=152°，可得出∠AHB及∠DAH 的度数，设DP=x，则DR=HR=RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论．解答：解：（1）①如图1；②如图1，连接CH，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DP=CQ，在△HDP与△HQC中．∵，∴△HDP≌△HQC（SSS），∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°，∴AH=PH，AH⊥PH．(2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PD=CQ．作HR⊥PC于点R，∵∠AHQ=152°，∴∠AHB=62°，∴∠DAH=17°．设DP=x，则DR=HR=RQ=．∵tan17°=，即tan17°=，∴x=．点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．29．（8分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的概念如下：假设在射线CP上存在一点P′，知足CP+CP′=2r，那么称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示用意．专门地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．(1）当⊙O的半径为1时．①别离判定点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是不是存在？假设存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，假设点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；(2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴别离交于点A，B，假设线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．考点：圆的综合题．分析：（1）①根据反称点的定义，可得当⊙O的半径为1时，点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；②由OP≤2r=2，得出OP2≤4，设P（x，﹣x+2），由勾股定理得出OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分别将x=2与0代入检验即可；(2）先由y=﹣x+2，求出A（6，0），B（0，2），则=，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再设C（x，0），分两种情况进行讨论：①C在OA上；②C在A点右侧．解答：解：（1）当⊙O的半径为1时．①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2），∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，∴2x2﹣4x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2．当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；∴0＜x＜2；(2）∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（6，0），B（0，2），∴=，∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．设C（x，0）．①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2，所以AC≤4，C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，所以C点横坐标x≤8．综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．点评：本题是圆的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角函数值，勾股定理，一元二次不等式的解法，利用数形结合、正确理解反称点的意义是解决本题的关键．。

2021年中考数学试题及解析：北京-解析版

北京市2021年中考数学试卷—解析版一、选择题(共8小题，每小题4分，满分32分)1、(2021•北京)﹣的绝对值是( )A 、﹣B 、C 、﹣D 、考点:绝对值。

专题:计算题。

分析:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．解答:解:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点﹣到原点的距离是，所以﹣的绝对值是﹣．故选D ．点评:本题考查绝对值的基本概念:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．2、(2021•北京)我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为( )A 、66.6×107B 、0.666×108C 、6.66×108D 、6.66×107考点:科学记数法与有效数字。

分析:科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．有效数字的计算方法是:从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关，与10的多少次方无关．解答:解:665 575 306≈6.66×108．故选C ．点评:此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．3、(2021•北京)下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是( )A 、等边三角形B 、平行四边形C 、梯形D 、矩形考点:中心对称图形；轴对称图形。

分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有D 选项既为中心对称图形又是轴对称图形解答:解:A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B 、是不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确．故选D ．点评:本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4、(2021•北京)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则AO CO的值为( )A 、B 、C 、D 、考点:相似三角形的判定与性质；梯形。

2021年北京市中考数学试卷及解析

2021年北京市中考数学试卷及解析数学加专项强化班-助力中考2021年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．（3分）（2021?北京）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．45°B．55°C．125°D．135° 2．（3分）（2021?北京）神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）3345A．2.8×10B．28×10C．2.8×10D．0.28×10 3．（3分）（2021?北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞��2B．a＜��3C．a＞��bD．a＜��b 4．（3分）（2021?北京）内角和为540°的多边形是（）A．B．C．D． 5．（3分）（2021?北京）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．三棱锥C．圆柱D．三棱柱6．（3分）（2021?北京）如果a+b=2，那么代数（a��）?的值是（）A．2B．��2C．D．��7．（3分）（2021?北京）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．第1页（共29页）数学加专项强化班-助力中考8．（3分）（2021?北京）在1��7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（）A．3月份B．4月份C．5月份D．6月份 9．（3分）（2021?北京）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（��4，2），点B的坐标为（2，��4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O4 10．（3分）（2021?北京）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单3位：m），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断（）3①年用水量不超过180m的该市居民家庭按第一档水价交费；3②年用水量超过240m的该市居民家庭按第三档水价交费；③该市居民家庭年用水量的中位数在150��180之间；④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180．第2页（共29页）数学加专项强化班-助力中考A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．（3分）（2021?北京）如果分式有意义，那么x的取值范围是．12．（3分）（2021?北京）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式．13．（3分）（2021?北京）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：移植的棵1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 数n 成活的棵865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 数m 成活的频0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 率估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为． 14．（3分）（2021?北京）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为 m．15．（3分）（2021?北京）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为． 16．（3分）（2021?北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）第3页（共29页）数学加专项强化班-助力中考求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分），解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．（5分）（2021?北京）计算：（3��π）+4sin45°��+|1��|． 18．（5分）（2021?北京）解不等式组：．19．（5分）（2021?北京）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．20．（5分）（2021?北京）关于x的一元二次方程x+（2m+1）x+m��1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 21．（5分）（2021?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（��6，0）的直线l1与直线l2：y=2x相交于点B（m，4）．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．22第4页（共29页）数学加专项强化班-助力中考22．（5分）（2021?北京）调查作业：了解你所在小区家庭5月份用气量情况：小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2��5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4．小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1，表2和表3．3表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表（单位：m） 2 3 4 5 家庭人数 14 19 21 26 用气量表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：m）家庭2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 人数用气10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 量 333 18 3 18 3 20 4 22 表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：m）家庭2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 人数用气10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 量根据以上材料回答问题：小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处． 23．（5分）（2021?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．24．（5分）（2021?北京）阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2021年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2021年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2021年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2021年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2021年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：第5页（共29页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。

精品解析：北京市2021年中考数学真题试题(解析版)

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．
【详解】解：由题意得：
∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
【详解】解：把点代入反比例函数得：，
∴ ，解得：，
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
13.如图，是的切线，是切点．若，则 ______________．
4.下列多边形中，内角和最大的是（）
A. B. C. D.ຫໍສະໝຸດ 【答案】D【解析】
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
15.有甲､乙两组数据，如表所示：
甲
11
解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10.分解因式： ______________．
【答案】

2021年北京市中考数学试卷(整理版)

2021年北京市中考数学试卷一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2021•北京1题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱B2．（2021•北京2题）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012B．1.692×1012C．1.692×1011D．16.92×1010C3．（2021•北京3题）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°A4．（2021•北京4题）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．D5．（2021•北京5题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0B 【解析】A．由图象可得点A在﹣2左侧，∴a＜﹣2，A选项错误，不符合题意．B．∵a到0的距离大于b到0的距离，∴|a|＞b，B选项正确，符合题意．C．∵|a|＞b，a＜0，∴﹣a＞b，∴a+b＜0，C选项错误，不符合题意．D．∵b＞a，∴b﹣a＞0，D选项错误，不符合题意．故选B．6．（2021•北京6题）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）A．14B．13C．12D．23C 【解析】画树形图得：由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为24=12．7．（2021•北京7题）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜√2021＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．46B 解析：∵1936＜2021＜2025，∴44＜√2021＜45，∴n＝44．8．（2021•北京8题）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系A 解析：由题意得，2（x+y）＝10，∴x+y＝5，∴y＝5﹣x，∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，即满足二次函数关系，故选A．二、填空题(共16分，每题2分)9．（2021•北京9题）若√x−7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．x≥710．（2021•北京10题）分解因式：5x2﹣5y2＝．5（x+y）（x﹣y）11．（2021•北京11题）方程2x+3=1x的解为．x＝312．（2021•北京12题）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为．﹣213．（2021•北京13题）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．130°解析：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．故答案为130°．14．（2021•北京14题）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．AE＝AF（答案不唯一）15．（2021•北京15题）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲11 12 13 14 15乙12 12 13 14 14甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“＞”“＜”或“＝”）．＞16．（2021•北京16题）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为．2：3 12解析：设分配到生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5﹣x ）吨，依题意可得：4x +1＝2（5﹣x ）+3，解得：x ＝2，∴分配到B 生产线的吨数为5﹣2＝3（吨），∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2：3；∴第二天开工时，给生产线分配了（2+m ）吨原材料，给生产线分配了（3+n ）吨原材料，∵加工时间相同，∴4（2+m ）+1＝＝2（3+n ）+3，解得：m =12n ，∴m n =12，故答案为：2：3；12．三、解答题17．（2021•北京17题）计算：2sin60°+√12+|﹣5|﹣（π+√2）0．解：原式＝2×√32+2√3+5﹣1=√3+2√3+5﹣1＝3√3+4．18．（2021•北京18题）解不等式组：{4x −5＞x +13x−42＜x．解：解不等式4x ﹣5＞x +1，得x ＞2，解不等式3x−42＜x ，得x ＜4，则不等式组的解集为2＜x ＜4．19．（2021•北京19题）已知a 2+2b 2﹣1＝0，求代数式（a ﹣b ）2+b （2a +b ）的值．解：原式＝a 2﹣2ab +b 2+2ab +b 2＝a 2+2b 2， ∵a 2+2b 2﹣1＝0，∴a 2+2b 2＝1， ∴原式＝1．20．（2021•北京20题）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B ，使B ，A 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B 处的杆的影子的方向取一点C ，使C ，B 两点间的距离为10步，在点C 处立一根杆．取CA 的中点D ，那么直线DB 表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A ，B ，C 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA 的中点D （保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC 中，BA ＝，D 是CA 的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．解：（1）如图，点D即为所求．（2）BC三线合一21．（2021•北京21题）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．解：（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即△≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．22．（2021•北京22题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cos B=4，求BF和AD的长．5解：（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE，∵AE ∥DC ，∴四边形AECD 是平行四边形．（2）∵EF ⊥AB ，∴∠BFE ＝90°， ∵cos B =45=BFBE ，∴BF =45BE =45×5＝4， ∴EF =√BE 2−BF 2=√52−42=3， ∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB ，∠ACE ＝90°， ∴EC ＝EF ＝3，由（1）得：四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ＝3．23．（2021•北京23题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象由函数y =12x 的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞﹣2时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx +b 的值，直接写出m 的取值范围．解：（1）函数y =12x 的图象向下平移1个单位长度得到y =12x ﹣1，∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象由函数y =12x 的图象向下平移1个单位长度得到， ∴这个一次函数的表达式为y =12x ﹣1．（2）把x ＝﹣2代入y =12x ﹣1，求得y ＝﹣2，∴函数y ＝mx （m ≠0）与一次函数y =12x ﹣1的交点为（﹣2，﹣2），把点（﹣2，﹣2）代入y ＝mx ，求得m ＝1，∵当x ＞﹣2时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y =12x ﹣1的值， ∴12≤m ≤1．24．（2021•北京24题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．解：（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BD̂=CD̂，∴∠BAD＝∠CAD．（2）在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，∴BE=√OB2−OE2=4，∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BC＝2BE＝8，∵BG是⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴GC=√BG2−BC2=6，∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，∴OAGC =OFFG，即56=OF5−OF，解得OF=2511．25．（2021•北京25题）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8 m乙城市11.0 11.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．解：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，因此中位数是10.1，即m＝10.1．（2）由题意得p1＝5+3+4＝12（家），由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，也就是p2的值要大于12，∴p1＜p2．（3）11.0×200＝2200（百万元），答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．26．（2021•北京26题）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y 1），（2，y 2），（4，y 3）在该抛物线上．若mn ＜0，比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．解：（1）∵m ＝3，n ＝15，∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，将（1，3），（3，15）代入y ＝ax 2+bx 得： {3=a +b 15=9a +3b，解得{a =1b =2，∴y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1， ∴抛物线对称轴为直线x ＝﹣1．（2）∵y ＝ax 2+bx （a ＞0）， ∴抛物线开口向上且经过原点，当b ＝0时，抛物线顶点为原点，x ＞0时y 随x 增大而增大，n ＞m ＞0不满足题意，当b ＞0时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，n ＞m ＞0不满足题意， ∴b ＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，x ＝1时m ＜0，x ＝3时n ＞0， ∴抛物线对称轴在直线x ＝0与直线x =12之间，即0＜−b 2a ＜12，∴2﹣（−b2a ）＞32，−b2a −（﹣1）＜32， ∴y 1＜y 2＜y 3．27．（2021•北京27题）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，M 为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接BE ，DE ．（1）比较∠BAE 与∠CAD 的大小；用等式表示线段BE ，BM ，MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．解：（1）∵∠DAE ＝∠BAC ＝α，∴∠DAE ﹣∠BAD ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠BAE ＝∠CAD ，在△ABE 和△ACD 中，{AB =AC∠BAE =∠CAD AE =AD， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝CD ， ∵M 为BC 的中点，∴BM ＝CM ， ∴BE +MD ＝BM ．（2）如图，作EH ⊥AB 交BC 于H ，由（1）△ABE ≌△ACD 得：∠ABE ＝∠ACD ， ∵∠ACD ＝∠ABC ，∴∠ABE ＝∠ABD ，在△BEF 和△BHF 中，{∠EBF =∠HBFBF =BF ∠BFE =∠BFH， ∴△BEF ≌△BHF （ASA ），∴BF ＝BH ，由（1）知：BE +MD ＝BM ，∴MH ＝MD ， ∵MN ∥HF ，∴ENDN =MHMD ， ∴EN ＝DN ．28．（2021•北京28题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．解：（1）B2C2 解析：由旋转的旋转可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为√2−1≤d≤√2+1，∵AC1＝3＞d，∴点C1′不可能在圆上，∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，∵AC2＝1，AB2=√5，∴C2′（0，1），B2′（1，0），∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，∵AC3＝2，AB3=√5，∴当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），由图可知此时C3′不在圆上，∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．故答案为B2C2．（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，∵A（0，t），∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，∴AO为B′C′边上的高，且此高的长为√3，∴t=√3或−√3．（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义，可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，利用四边形的不稳定性可知，当A ，O ，C ′在同一直线上时，OA 最小，最小值为1，如图2，此时OA ＝OB ′＝OC ′，∴∠AB ′C ＝90°，∴B ′C ′=√AC ′2−AB ′2=√22−12=√3．当A ，B ′，O 在同一直线上时，OA 最大，如图3，此时OA ＝2，过点A 作AE ⊥OC ′于E ，过点C ′作C ′F ⊥OA 于F ．∵AO ＝AC ′＝2，AE ⊥OC ′，∴OE ＝EC ′=12，∴AE =√AO 2−OE 2=√22−(12)2=√152， ∵S △AOC ′=12•AO •C ′F =12•OC ′•AE ，∴C ′F =√154， ∴OF =√OC ′2−C ′F 2=(√154)=14，∴FB ′＝OB ′﹣OF =34， ∴B ′C ′=√FB ′2+FC ′2=√(34)2+(√154)2=√62．综上OA 的最小值为1时，此时BC 的长为√3，OA 的最大值为2，此时BC 的长为√62．。