正难则反的智慧——浅谈逆向思维在解题中的体现

正难则反的智慧

——浅谈逆向思维在解题中的体现

浙江省宁海县知恩中学 王丽亚（315600）

数学问题的解决，有许多是可以从条件出发，进行正面的、顺向的思考而获得结论，这种思考在思维方式上具有定向性、聚合性，强化这种思维定势，在数学解题中有着决定性的作用，这是我们首先应该承认的. 然而，任何事物都有正反两个方面，也有许多问题正面入手困难重重，若改由反面入手却常常能出奇制胜. 千古传诵的“草船借箭”与“司马光砸缸”的历史故事都充分说明了逆向思维的巨大威力，正难则反易，数学问题的解决也是这样.

下面就几个方面谈谈我对正难则反思想的体会.

一．集合中体现为补集思想

当题目直接求解较繁、较杂甚至不能求解时，通过先求得问题的反面进而求其补集以达到解决问题之目的.

例1. 三个方程x 2＋4mx －4m ＋3=0，x 2＋(m －1)x ＋m 2=0，x 2＋2mx －2m=0中至少有一个方程有实根，试求m 的范围.

分析：本题从正面入手应分类求解，繁不堪言，若从反面“三个方程均无实数根”思考，在实数范围内除去反面求得的解即为m 的取值范围.

解：若三个方程都没有实根，则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<--<+--0

8404)1(0)34(4162222m m m m m m 解得123-<<-m ∴三个方程至少有一个方程有实根m 的取值范围是2

3-

≤m 或1-≥m . 二. 命题中体现为逆否命题 逻辑学认为原命题与它的逆否命题是等价的，也就是原命题真，则它的逆否命题也真。 在一些命题的真假性或条件与结论的充分必要性的判断中，正面判断比较难或者不容易理

解，那么不妨跳出思维框架，转化为考虑逆否命题的真假性或者利用逆否命题判断充分必要性.

例2. 0)2()2(22≠-+-b ab 的充要条件是 .

分析：从正面入手2-ab 与2-b 中至少有一个不等于0， 即02≠-ab 或02≠-b ， 2≠ab 或2≠b ，得到1≠a 或2≠b ，这对很多同学而言都有一定的理解障碍，但如果从反面来看，0)2()2(22=-+-b ab 的充要条件是：2=ab 且2=b 能得到1=a 且2=b . 那么利用逆否命题即能得到0)2()2(22≠-+-b ab 的充要条件是1≠a 或2≠b .

从逆否命题来处理确有茅塞顿开、恍然大悟的感觉.

三．证明中体现为反证法

反证法也是逆否命题的一个应用，即在证明若p 则q 中转化为证明若非q 则非p ，通过否定结论后再作为条件推出与题设的矛盾. 特别对于一些有否定词的命题或“至多”“至少”型的命题尤为适宜.

例3. 如图：已知在△ABC 中，∠BAC=60°，线

段AD ⊥平面ABC ，AH ⊥平面DBC ，H 为垂足，求

证：H 不可能是△DBC 的垂心.

分析：对于一个不是垂心的点，感觉无从下手，

对于垂心，则可以应用它的一些垂直关系。本题要想

从条件入手证明十分困难，我们可以通过反面采用反

证法证明.

证明：（反证法）假设H 是△DBC 的垂心，

则CD ⊥ BH ，又AH ⊥平面DBC

∴BH 是AB 在平面DBC 的射影，由三垂线定理得CD ⊥AB

又∵AD ⊥平面ABC ，∴AD ⊥AB ∴AB ⊥平面ACD ，

得AB ⊥AC 即∠BAC=90°与∠BAC=60°矛盾

∴假设不成立，即证H 不可能是△DBC 的垂心.

反证法是一种重要的数学思想方法. 牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”.这就

充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位，也充分体现了正难则反思想在解题中的应用.

四．排列组合、概率中体现为间接法

对于某些排列的正面情况较复杂，而其反面情况较简单时，可先考虑无限制条件下的排列，再减去其反面情况的总数. 在概率计算中则可以通过1减去其对立事件的概率.

例4. 1 四面体的顶点和各棱的中点，共10个点，在其中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.

（A ）150 （B ）147 （C ）144 （D ）141 [97年全国理（15）]

分析与解：该题当然可以用直接法求解，但怎样合理分类令众多考生“雾里看花、不知所措”；若有考生能想到“通过求得问题的对立面”（即4个点共面的情况）

这种间接方法求解的话，则问题变得较为明朗、易解，具体解法如下：

从10个点中取出4个点的取法有410C 种，而四点共面的取法可分以下三类：第一类，4个点恰好在四面体的同一面上有464C 种；第二类，4个点恰好是一个平行四边形的顶点有3种（如平行四边形EFGH ）；第三类，4个顶点恰为一条棱上的三点和相对棱的中点有6种（如△BCG ）；所以符合条件的取法数为：

410C － 464C －3－6＝141种. 故选D. 例4.2 抛掷两个骰子，至少出现一个5点或6点的概率为（ ） A. 3

1 B. 125 C. 365 D. 95 分析：该题若采用直接分类，可以记“恰好出现一个6点而没有5点”为事件A ；“恰好出现一个5点而没有6点”为事件B ；“恰好出现一个5点和一个6点”为事件C ；“恰好出现两个5点”为事件D ；“恰好出现两个6点”为事件E.

则)()()()()(E P D P C P B P A P P ++++=

但若能从反面入手，考虑到“至少出现一个5点或6点”的反面是“两个骰子既不出现5

A

B C D

E

F

G

H

点也不出现6点”，那么所求的概率9

564641=⨯-=P ，选D. 在此类问题中如果善于运用正难则反的思想，利用对立事件的概率公式：)(1)(A P A P -=，可以使问题的解决做到事半功倍，而且减少了计算环节，也能减少由计算带来的不必要错误.

正难则反的这种逆向思维方式具有发散性、变通性，是突破传统框架产生新思路的源泉.对有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大，不妨就打破思维常规实行“正难则反”策略，转化为考虑问题的相反方面，往往能绝处逢生、开拓解题思路、简化运算过程.如果在教学中能使学生品尝到应用正难则反思想的甜头，那么就会进一步激发他们学习数学的兴趣，以达到拓广思维，增强解题技能，培养思维的灵活性和创造性之目的.

正难则反，说起来容易，做起来却难，只能是在解题的过程中逐渐的体会罢了.