正难则反的智慧——浅谈逆向思维在解题中的体现
高中数学解题中逆向思维的运用分析
高中数学解题中逆向思维的运用分析在高中数学中,有许多解题方法都是基于正向思维的。
即从问题的条件开始,逐步推导出结论和解决方法。
这种方法在大多数情况下依然有效,但有时候,问题的条件是不确定的,难以准确地推导出结论或者解决方法。
这时可以采用逆向思维的方法来解决问题,即从已知的结论或者结果,反向推导出问题的条件和解决方法。
逆向思维在数学解题中的运用可以提高解题的效率和精度。
下面分几个方面分析逆向思维在高中数学解题中的运用。
一、逆向解法在解不等式中的应用在解不等式中,我们常常需要根据不等式的条件来确定其解集,这通常需要进行繁琐的计算。
例如:解2x+3>5x-2,需要将两边的x分别移项,化简得x<5/3。
但是,有时候,根据结论和已知条件,我们可以直接确定不等式的解,而无需进行繁琐的计算。
例如:已知a<b,求a+1<b的解。
我们可以使用逆向思维,设a+1=b,得到a=b-1,由于a<b,所以b-1<b,解得b>1,因此a+1<b的解为a<b-1。
在概率问题中,我们常常需要根据已知事件的概率来确定一系列相对应的事件的概率,这常常需要进行繁琐的计算。
例如:已知一扑克牌中共有52张牌,其中红心、黑桃、方块、梅花各13张,请问从中随机抽出一张牌,得到梅花或者红心的概率是多少?我们需要计算梅花和红心各自的概率,再求和得到答案。
但是,有时候,根据结论和已知条件,我们可以直接确定一系列相对应的事件的概率,而无需进行繁琐的计算。
例如:已知从1~100中随机选择两个数a和b,其中a+b=133,则a和b的和是奇数的概率是多少?我们可以使用逆向思维,因为a和b的和是奇数,则它们的差是偶数,即a-b是偶数。
而我们可以从1~100中选出50对相互对应的数,使得它们的差分别为1,3,5,7……99,因此a-b是偶数的概率为50/100=0.5,因此a和b的和是奇数的概率也是0.5。
正 难 则 反, 由 逆 促 正(浅析在数学教学中逆向思维能力的培养)
正难则反,由逆促正——浅析在数学教学中逆向思维能力的培养【内容摘要】在学习过程中学生一般习惯于顺向思维,逆向思维能力显得很薄弱。
学习一个新概念,新方法,解决一个新问题的过程中不自觉抑制和掩盖了另一个过程,致使顺向思维的惯性一定程度上影响了逆向思维的建立,进而直接影响着学生分析问题、解决问题能力的提高。
作为思维的一种形式,逆向思维蕴育着创造思维的萌芽,是人们学习和生活中必备的一种思维,在数学教学中充分认识逆向思维的作用,能完学生的知识结构,开阔思路,还能激发学生创造精神,提高学生的学习能力。
【关键词】逆向思维逆向叙述多向分析思维训练逆向思维是与正向思维相对而言的。
所谓逆向思维,是指和一般的正向思维方向相反而又相互联系的思维过程,即我们通常所说的“倒着想”或“反过来想一想”,它要求思维的活动时,从两个相反的方向去观察与思考,从相向的视角来看待和认识客观事物。
心理学研究证明:“数学能力不同的学生,是以一种顺向思维系列转向另一种逆向思维能力的不同程度为特征的。
”我们常用司马光砸缸的故事来教育学生学习司马光的机智和聪明。
司马光就是把一般思维中的“人离开水”变换成“水离开人”,这就是一种逆向思维的思考。
现行的小学数学课本中,存在着大量的顺逆素材,即顺逆运算如加与减、乘与除等,顺逆性质如加减法的运算性质、乘除法的运算性质等,顺逆关系如正、反比例关系,小数和百分数互化关系等,甚至空间关系也是成对的,如上和下、左和右、前和后等等。
可以说,许多数学知识,也正是通过这种可逆转换来发展和深化的。
而现实教学中,学生不习惯于逆向思维,思维缺乏灵活性,从而导致学生学习成绩不好,影响教学质量。
因此,加强逆向思维训练对学好数学,培养创造思维,激发兴趣都有重要作用。
那么该如何培养学生的逆向思维能力呢?通过对现有教材的研究,我们挖掘了一些素材,愿能起到抛砖引玉的作用!一、要重视数学概念教学中培养学生的逆向叙述能力数学概念中的数学命题都包含有前提和结论两个部分,一般的叙述都是正向的,还有一些定理、公式、法则的运用,一般也是正向的居多,学生若是不经过逆向训练,对这些知识的掌握是不全面的,他们一旦碰到逆向叙述的数学命题,就会难以适应,也就不能很好地融汇贯通,以致造成思维呆滞。
逆向思维在数学解题中的运用探析
逆向思维在数学解题中的运用探析逆向思维是一种相对于直观而言的思维模式。
它是指通过从与问题相反的方向出发来解决问题,通过逆向的思考方式来达到预期的目标。
在数学解题中,逆向思维可以帮助我们找到更加简单、直接的解决方案,从而提高数学解题的效率和准确性。
本文将探讨逆向思维在数学解题中的运用,并分析其实质和具体操作方法。
逆向思维在数学解题中的应用可以体现在以下几个方面:逆向思维可以帮助我们理清解题思路。
在解决数学问题时,往往会出现思路不清晰的情况,导致难以找到解题的思路和方法。
而通过逆向思维,可以从问题的反面出发,从解答的要求出发,找到解决问题的方向。
举个例子,对于一个复杂的方程题目,我们可以从最终要求的解答出发,逆向思考如何得到这个解答,从而找到解题的思路。
逆向思维可以帮助我们发现问题的关键。
有时候,一个数学问题看似复杂,实际上只需要从另一个角度去考虑,就可以找到解决问题的关键。
逆向思维可以帮助我们在解题过程中,从另一个角度去审视问题,找到问题的本质和关键点,并从而更加直接地解决问题。
逆向思维可以帮助我们简化复杂的问题。
在数学中,有些问题看似很复杂,需要运用大量的定理和公式才能解决,但是通过逆向思维,可以简化问题,找到更加直接的解决方法。
通过逆向思维,我们可以尝试把复杂的问题分解成一系列简单的步骤,从而更加容易地解决问题。
逆向思维可以帮助我们检验解答的正确性。
有时候,我们在解答数学问题时,会得到一个看似正确的答案,但是这个答案未必是正确的。
通过逆向思维,我们可以反向验证我们的解答是否正确,从而提高数学解答的准确性。
逆向思维在数学解题中有着重要的应用价值。
通过逆向思维,我们可以更加清晰地理解和解决数学问题,发现问题的关键,简化复杂的问题,并且提高解答的准确性。
在日常的数学学习和解题中,我们应该不断地培养逆向思维,以提高数学解题的效率和准确性。
明确问题的要求。
在解决数学问题时,我们首先要明确问题的要求,即从问题中找到需要解决的难点和重点。
浅谈逆向思维在解题中的应用
注: 逆用了 1 + 2 + 3 + … …+ n =
, c l + c 一 l + … …+ c 2 n
三、 运 用互 为 逆否 的命 题 的等 价 关 系
.
.
ห้องสมุดไป่ตู้
C
有时将某命题转换成与它等价的命题, 即逆否命题 , 以降低解
答 的难 度 .
为奇数 , 叶b + c为奇数或 a , b 、 C同为奇数 或 a , b同为偶数且 c
・
、
逆 用 定 义
本来数学定义总是可逆的 ,但学生在解题 中往往 习惯于正向 使用 , 而对定义的逆用缺乏 自觉性和敏感性。 例 1 .已知点 A ( 2 , 0 ) , B( 2 , o ) 和动点 P ( x , y ) , A A B P的周长为 1 0 , 求点 P的轨迹方程 。 解析: 本题可直接用两点的距离公式 , 求动点 P的轨迹方程。 但 运算量 大, 考虑到 A B +P A +P B= 1 0, 即P A +P B= 6 > 4, A B=4 .逆
【 关键词 】逆向思维 应用 浅谈 【 中图分类号 】G 6 3 3 . 6 【 文献标识码 】A
一
【 文章编号 】1 6 7 4 — 4 7 7 2 ( 2 0 1 3 ) 0 3 — 0 6 2 — 0 1
则 命题 P的否定 “ t 【 l , x / ) - ] , I l 2 H + 2 l < 恒 成立 ”
又2 i e I + c I t + c l + ……+ c = 1 + n 一 1 + c 1 + ・ …・ ‘ >n
2— f = 2 1 ×2 2 ×2 … … ×2 . - 1 >1 ×2×3 … … ×n = n !
逆向思维在数学解题中的运用探析
逆向思维在数学解题中的运用探析逆向思维是指通过从结果反推产生的思维方式。
在数学解题中,运用逆向思维可以帮助学生更好地理解问题,提高解题能力。
下面就是一些逆向思维在数学解题中的运用探析。
1.题目转换:逆向思维常常从反面看问题。
有时候,我们需要把题目用逆向思维重构,然后找到新问题的解答,最后根据结果反推题目的答案。
例如:15个学生中有9个人喜欢打篮球,那么不喜欢打篮球的人数有多少个?由于题目给出的是喜欢打篮球的人数,所以我们可以用 15-9=6 来得到不喜欢打篮球的人数。
2.数轴思维:逆向思维在数轴上表现为反向移动。
数轴思维常常用于解决数值差异问题。
例如:不太圆的圆轮的直径约为 1.4 米,那么它的半径应该是多少呢?我们可以通过数轴思维将 1.4 变换为 1.4÷2=0.7,即直径为 0.7 米,然后根据圆周率计算出半径为 0.35 米。
3.正反思维:逆向思维可以让我们正反思维并行,从而从及其不同的角度解决问题。
例如:如果将一个蛋糕平均分成 10 个部分,那么每个部分应该有多少层?我们可以正向思考,即将蛋糕的总层数除以 10。
由于一层蛋糕上下两部分的样式相同,所以最终答案为(1+2+3+...+10 ) ÷ 10=5.5。
但我们也可以从逆向思维来解决问题:如果每个部分都有 5 层,那么整个蛋糕就有 50 层,刚好平均分成 10 份。
4.组成法:逆向思维常常从组成物品出发,确定整体,再用逆向思维解决问题。
例如:某班级发布了一张照片,由于露出了一部分,所以学生数未知。
但是我们知道:这张照片上有 8 个女生和三个男生。
从这些信息出发,我们可以假设这个班级有 n 个学生,由于这个班级是满班,所以 3+n=11,而8+n就是女生的数量。
通过求解方程组(3+n)+(8+n)=n,则可得出这个班级总人数为16人。
综上所述,逆向思维在数学解题中,不仅有利于加深学生对数学概念的理解,还可以帮助学生灵活处理问题,提高解题能力。
逆向思维在解题中的运用
逆向思维在解题中的运用逆向思维是一种与常规思维相反的思维方式,它鼓励我们跳出常规思维模式,从不同的角度出发,寻找解决问题的新方法。
逆向思维在解题中的运用可以帮助我们打破框架,发现隐藏的问题,提供创新的解决方案。
下面我将结合具体问题,详细介绍逆向思维在解题中的运用。
首先,逆向思维可以用来分析问题并发现隐藏的问题。
许多问题在表面上看起来很简单,但实际上可能隐藏着困扰我们的核心问题。
通过逆向思维,我们可以反向思考,从问题的最终目标出发,逐步追溯到问题的根本原因。
例如,假设我们遇到一个销售额下滑的问题,常规思维可能会建议推出更多促销活动来吸引顾客。
然而,通过逆向思维,我们可以反向推理,问自己为什么顾客不再购买我们的产品。
也许是产品质量下降了,或者竞争对手提供了更好的替代品。
通过逆向思维,我们可以找到真正影响销售额的核心问题,并采取相应措施来解决它。
其次,逆向思维可以帮助我们突破传统思维模式,寻找创新的解决方案。
当我们面对一个看似无解的问题时,常规思维可能会让我们束手无策。
然而,通过逆向思维,我们可以转变角度,从不同的视角出发,可能会发现新的解决方案。
例如,假设我们面临着一个资源有限的情况,无法满足所有需求。
常规思维可能会让我们在现有资源上进行权衡和取舍。
但通过逆向思维,我们可以考虑倒过来的问题:如果我们有无限的资源,我们会怎么解决这个问题?这样一来,我们可能会找到一些创新的解决方案,例如与其他组织或个人合作,共享资源。
此外,逆向思维还可以帮助我们预见问题,并采取相应的预防措施。
通过逆向思维,我们可以反向考虑,从问题的结果出发,逐步分析可能产生问题的原因,并采取相应的预防措施。
例如,如果我们想要避免一个产品质量问题,我们可以逆向考虑:如果产品质量出现问题,可能的影响是什么?我们可能会失去客户信任,影响销售额。
然后,我们可以从这些影响出发,逐步查找可能导致质量问题的原因,并采取相应的措施来避免问题的发生。
最后,逆向思维还可以用来鼓励创造性思维,并促进团队的创新。
逆向思维在初中数学解题教学中的应用探究
逆向思维在初中数学解题教学中的应用探究
逆向思维是指从背道而驰、反其道而行的角度出发,寻找更简单、更有效的解决问题
的方法。
在初中数学解题教学中,逆向思维具有重要的应用价值。
首先,逆向思维能够帮助学生理解和掌握解决问题的方法。
传统的解题方法通常是按
照题目给出的提示逐步推进,而这样的方法往往比较约束式的思维,会让学生在解题时不
得不依赖题目中给出的信息,难以自主地探索和思考。
逆向思维则不同,它能够引导学生
从不同角度考虑问题,从而使学生对解题方法有更加深入的理解和掌握。
其次,逆向思维有助于发掘数学题的内在规律。
很多数学题目有自己的规律和特点,
会反复出现在考试中。
逆向思维能够协助学生通过梳理自身解题过程中的思路和体验,自
行发现和总结这些规律和特点。
这样,将能够使学生更加自信和熟练的应对类似题目,提
高解题能力和效率。
最后,逆向思维有利于学生思维能力的提高。
逆向思维在初中数学中的应用,需要学
生在解决问题的过程中依据已知条件,去发现隐藏的、未曾发现的信息,而在多次练习中,学生需要展开自己的思维能力,应用逆向思维方法在思考问题、推导解答中去找到自己未
曾发掘出现的思路。
这样,能够激发学生思考的乐趣,并借此提升了学生的思维能力。
因此,对于初中数学解题教学来说,引导学生运用逆向思维,在解题方法的掌握、内
在规律的发掘、学生思维能力的培养以及学习效果的提升方面都会有重要的作用。
逆向思维在初中数学解题教学中的应用分析
逆向思维在初中数学解题教学中的应用分析
逆向思维是指从目的出发,通过反向思考,寻找问题的解决方案的一种思维模式。
在初中数学解题教学中,逆向思维可以帮助学生更深入地理解数学知识,提高解题能力。
一、应用逆向思维解题
1.推理问题:对于一些需要进行推理和判断的问题,可以通过逆向思维,在确定结果的基础上反向推导出解题的过程。
3.分类问题:对于一些需要分类的问题,可以通过逆向思维,先确定各类别的合理分界点,并检验分界的可行性。
二、逆向思维提高数学解题能力
1.问题分析能力:通过逆向思维,学生可以更准确地识别和阐述问题的关键信息,以及问题解决的核心思路。
2.创新能力:逆向思维能够激发学生的创新思维,使他们能够更灵活地应用数学知识和技能,解决各种难题。
3.思维能力:逆向思维方法能够激励学生用不同的角度去思考问题,在思维上更加灵活和深入。
4.逻辑推理能力:逆向思维不仅可以帮助学生加强问题分析和解决能力,还能够培养他们的逻辑推理能力,提高他们的思辨能力和科学精神。
“正难则反”策略在数学解题中的应用举例
“正难则反”策略在数学解题中的应用举例【摘要】正难则反”策略在数学解题中的应用是一种重要的解题技巧。
通过引入“正难则反”思维,可以帮助学生在解决数学问题时找到有效的方法。
本文首先介绍了“正难则反”策略的定义和数学解题中的重要性,然后分别以基础数学题和复杂数学问题为例,阐述了该策略在不同情境下的应用。
接着探讨了在数学竞赛中如何运用“正难则反”策略,并提出了一些提高学习效率的方法。
总结了“正难则反”策略对数学解题的启示,强调了思维转变对于解决数学难题的重要性。
通过本文的阐述,读者可以更全面地了解“正难则反”策略在数学解题中的应用,并为提高数学解题能力提供有益的参考。
【关键词】“正难则反”策略、数学解题、应用举例、基础数学题、复杂数学问题、实用技巧、数学竞赛、学习效率、思维转变、启示、总结1. 引言1.1 什么是“正难则反”策略“正难则反”策略是一种运用对立面理论来解决问题的方法。
在面对难题或困境时,我们可以通过反向思考的方式找到解决方案。
这一策略源自于古希腊哲学家黑格尔的辩证法,他认为事物的发展是通过对立统一的过程。
换言之,问题的正面往往会暗含着解决问题的关键。
在数学解题中,“正难则反”策略的应用十分广泛。
通过寻找问题的对立面或反面,我们可以找到解决问题的新思路。
在解决一个复杂的方程时,我们可以先考虑其反面,即寻找方程的逆运算,从而简化问题的规模。
在处理概率问题时,我们可以通过排除非概率事件的方式,找到概率事件的解决路径。
“正难则反”策略在数学解题中的作用是为了拓展解决问题的思维空间,找到问题的本质,从而更高效地解决数学难题。
1.2 数学解题中的重要性在数学解题中,运用“正难则反”策略是一种非常重要的方法。
这种策略可以帮助学生在解题过程中更加深入地理解问题,找到解题的突破口,提高解题的效率和准确率。
1. 激发思维:数学问题常常需要学生发挥出色的思维能力来解决。
通过“正难则反”策略,学生可以从不同的角度思考问题,找到解决问题的最佳方法。
初中数学解题教学中逆向思维的应用分析
初中数学解题教学中逆向思维的应用分析在初中数学解题教学中,逆向思维是一种非常重要的思考方式。
逆向思维是指从已知条件出发,倒推出解题方法或答案的思维方式。
通过逆向思维,学生可以更好地理解问题的本质,提高解题的效率和准确性。
逆向思维的应用在数学解题中主要体现在以下几个方面:一、问题分析:通过逆向思维,学生可以将一个复杂的问题分解为若干个简单的步骤。
在解一些几何问题时,学生可以倒推出解题过程中的一些关键步骤,从而更好地理解问题的本质和解题思路。
二、解题方法选择:逆向思维可以帮助学生选择合适的解题方法。
通过分析问题的要求和已知条件,学生可以想到一些与题目相反的解题思路,从而选择出最适合的解题方法。
三、解题步骤确定:逆向思维可以帮助学生确定解题的步骤和顺序。
通过反向思考,学生可以更好地把握解题的重点和关键步骤,避免在解题过程中出现错误或纰漏。
四、验证答案:逆向思维可以帮助学生验证答案的正确性。
通过反向思考,学生可以将已知条件代入到答案中,从而验证答案的准确性。
如果答案不符合条件,学生可以根据逆向思维重新审视解题过程,找出错误并加以修正。
为了有效地应用逆向思维进行数学解题教学,教师可以采取以下措施:一、培养学生的逆向思维能力。
在教学中,教师可以提供一些逆向思维的练习题,让学生通过逆向思维找到解题的方法和答案。
教师可以引导学生思考问题的本质和解题思路,提高学生的逆向思维能力。
二、引导学生反思解题过程。
在解题过程中,教师可以引导学生反思解题的步骤和思路,帮助学生发现并纠正错误,加深对解题思路的理解和记忆。
三、鼓励学生合作解题。
在解题过程中,教师可以鼓励学生合作解题,通过互相交流和讨论,激发学生的逆向思维,促进思维的碰撞和交流。
浅析逆向思维在初中数学解题教学中的应用
浅析逆向思维在初中数学解题教学中的应用逆向思维是指从解决问题的结果出发,反推回去,找出问题的解决方法和思路。
在初中数学解题教学中,逆向思维可以帮助学生在解决复杂问题时更加高效和精准地分析和应用数学知识,提高数学解题能力。
本文将从逆向思维的特点、优势以及在初中数学解题教学中的应用等方面进行浅析。
逆向思维具有以下特点:1. 跳出常规思维模式。
逆向思维是相对于正向思维而言的,它能让学生摆脱常规思维模式,走出固有思路的束缚,发掘出多样化的解决方案,从而做到事半功倍。
2. 强调问题解决的结果。
逆向思维强调从问题的结果出发,反推回去,寻找问题的解决方法和思路,可以让学生在解决问题的过程中更加深入和直观地认识和理解数学知识和规律。
3. 强化学习的思考能力。
逆向思维可以激发学生的学习兴趣和动力,让他们在思考问题时变得更加主动和积极。
同时,逆向思维可以培养学生的创新思维和解决问题的能力,对他们的学习和发展有很大的促进作用。
1. 培养学生的归纳和演绎能力。
初中数学的学习中,问题的解决往往需要归纳和演绎的思维方式。
逆向思维可以帮助学生深入分析问题的本质和规律,从而培养他们的归纳和演绎能力。
2. 提高学生的逻辑思维能力。
初中数学解题过程中,逻辑思维是非常重要的。
逆向思维可以帮助学生更加系统、有序地分析问题,培养他们的逻辑思维能力。
3. 帮助学生解决难题。
初中数学中涉及到的难题往往需要更深入的思考和分析。
逆向思维可以让学生更深入分析问题,找出切入点和解决方案,解决难题的能力突出。
1. 引导学生通过问题的结果来分析问题,思考如何去解决。
2. 鼓励学生寻找不同的解决方案,在解决问题的过程中形成多面思考的习惯。
3. 教师可以引导学生针对一个问题,从多个角度进行考虑和思考。
4. 在讲解数学知识时,教师可以给学生创造出一些需要倒推思维的练习题来培养学生的逆向思维能力。
总之,逆向思维在初中数学解题教学中应用广泛。
逆向思维具有跳出常规思维模式、强调问题解决的结果和强化学习的思考能力等特点。
高中数学解题中逆向思维的运用分析
高中数学解题中逆向思维的运用分析
逆向思维是一种思维方式,它与传统的顺向思维不同,通过颠倒思考问题,从目标出
发逆向分析,以找到解决问题的途径。
在高中数学解题中,逆向思维的运用可以帮助学生更灵活地解决问题,提高解题效率。
下面我将从几个常见的数学题型来分析逆向思维的运用。
首先是代数题。
在代数题中,逆向思维常常用于解决方程和不等式等问题。
在解方程时,我们可以通过逆向思维,将方程的结果看作已知条件,然后逆向推导出解的表达式,
这样可以更快速地求解。
在解不等式时,可以通过观察不等式的特点,逆向分析出取值范围,从而得到解的区间。
其次是几何题。
几何题中的逆向思维常常用于证明题和构造题中。
在证明题中,我们
可以通过逆向思维,从已知的结论出发,逆向推导出中间的步骤和条件,从而证明出题目
要求的结论。
在构造题中,逆向思维可以帮助我们根据题目要求,逆向思考如何构造出符
合条件的图形,从而得到最终的构造方法。
逆向思维还可以在概率题和函数题中发挥作用。
在概率题中,通过逆向思维,可以从
概率事件的概率出发,逆向推导出事件的样本空间和条件,从而求解问题。
在函数题中,
逆向思维可以帮助我们根据函数的性质和条件,逆向推导出函数的表达式或者函数的图像,从而解决问题。
逆向思维在高中数学解题中的应用是非常广泛的,它可以帮助学生更深入地理解问题,发现问题的本质,从而提高解题的能力。
但是需要指出的是,逆向思维并不是万能的,需
要结合数学知识和解题技巧进行运用。
算法合集之《正难则反–浅谈逆向思维在解题中的应用》
正难则反–浅谈逆向思维在解题中的应用绍兴市第一中学唐文斌【摘要】逆向思维是一种思考问题的方式,它有悖于通常人们的习惯,而正是这一特点,使得许多靠正常思维不能或是难于解决的问题迎刃而解。
本文通过几个例子,总结了逆向思维在信息学解题中的应用。
【关键字】逆向思维容斥原理参数搜索二分动态规划记忆化【正文】引言我们先看一个简单的问题:平面上有四个点,构成一个边长为1的正方形。
现在进行一种操作,每次可以选择两个点A和B,把A关于B对称到C,然后把A去掉。
求证:不可能经过有限次操作得到一个边长大于1的正方形操作后的结果是相当复杂的,如果我们从正面着手,很难证明命题。
不妨从反面来看问题:观察可以发现,每一步操作都是可逆的。
即,我们如果可以把正方形变大,也可以把正方形变小。
证明:不妨设四个顶点都是整点。
假设我们可以通过有限次操作得到一个边长大于1的正方形,那么我们把所有操作反过来对原正方形进行操作,我们可以得到一个边长小于1的正方形。
因为四个顶点都是整点,操作之后,点的坐标依然是整数。
所以我们得到一个边长小于1且四个点都是整点的正方形。
这显然不可能。
所以假设不成立。
命题得证。
上面的例子说明了逆向思维在数学问题中的应用。
山重水复疑无路,应用逆向思维,换个角度看问题,便柳暗花明又一村了。
例一、Dinner Is Ready 1题目大意: 妈妈烧了M 根骨头分给n 个孩子们,第i 个孩子有两个参数Min i 和Max i ,分别表示这个孩子至少要得到Min i 根骨头,至多得到Max i 根骨头。
输入:第一行包含两个数n (0<n ≤8) , M (0<M ),表示孩子数量和骨头的数量。
接下来n 行分别输入Min i 和Max i (0≤Min i ≤Max i ≤M ) 输出: 输出一个整数,表示妈妈有多少种分配方案(骨头不能浪费,必须都分给孩子们) 初步分析: 该题模型很简单,即求如下方程组的整数解的个数:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤=∑=n n n ni i MaxX Min MaxX Min Max X Min Max X Min M X ......3332221111我们知道,方程组简单形式⎪⎩⎪⎨⎧≥=∑=01ini i X M X 的整数解个数为11--+n n M C 2 设Y i = X i + Min i ,则原方程组转化为 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-≤≤-≤≤-≤≤-≤≤-=∑∑==n n n ni ni ii MinMax Y MinMax Y Min Max Y Min Max Y Min M Y 0......00033322211111对于下界限制,我可以通过换元得到简单形式,但是因为有上界的限制,我们似乎还无法直接计算出答案。
“正难则反”策略在数学解题中的应用举例
【摘要】解题策略是解答数学问题时,总体上采取的原则、方针或方案。
解题策略不同于具体的解题方法,它是指导方法的原则,是解题途径的概括性认识和宏观把握。
在数学解题时,人们思考的习惯大多是正面的、顺向的。
可是有些数学问题如果正面的、顺向进行,则难以解决,这时就应该转为反面的、逆向思考,这就是正难则反策略。
这种策略提醒我们,顺向推导有困难时就逆向推导,正面求解有困难时就反面求解,直接求解不奏效时就间接进行,有着四两拨千斤之巧妙。
本文通过例题对“正难则反”解题策略进行了分析,充分体现了“正难则反”策略在解题时的强大功效。
【关键词】解题策略;正难则反;逆向思维中图分类号:g62文献标识码a文章编号1006-0278(2015)10-168-04一位农夫请了物理学家、工程师和数学家来,想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆,宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉成一条直线,假设篱笆有无限长,认为围起半个地球总够大了。
数学家一声不响地用很少的篱笆把自己围起来,说道:“我现在是在外面”。
无独有偶,为了修建一座动物园,决策者特意举行了专家论证会。
关于“怎样才能捉住老虎”这个问题,有专家建议找最勇敢的人并配置最先进的装备;有专家建议挖最隐蔽的陷阱并投放最美味的诱饵;还有的专家建议花重金到别的动物园购买老虎幼仔……但决策者对这些建议均感到不满意。
“我只需要用一个拓扑变换,把笼子内部变成外部,而把外部变成内部。
不管哪里有老虎,都可以用这种办法捉到。
”一位拓扑学家的话使决策者恍然大悟:即使没有办法把老虎关在动物园的笼子里,却完全可以把动物园建到有老虎的地区,让老虎在自然环境下生活,把参观者关进活动的“笼子”,使之在密封的汽车里游览。
要把老虎关进笼子里,的确不是件容易的事,但把游人关进“笼子”里却很简单。
这种思维方式称为“正难则反”。
有许多数学问题,从正面入手不容易找到解决途径,有时虽有线索,但困难重重。
如果改由反面入手,通过逆向的探索常常能出奇制胜。
逆向思维在数学解题中的运用探析
逆向思维在数学解题中的运用探析逆向思维是一种通过从问题的解决结果反推回问题本身的思考方式。
在数学解题中,逆向思维可以帮助我们从已知的结果出发,倒推出问题的解法和答案。
逆向思维可以在代数问题中发挥作用。
我们可以通过列方程的方式来解决一个代数问题。
而逆向思维则是从方程的解开始,根据已知条件逆推回方程的表达式和未知数的值。
举个简单的例子,如果我们知道一个一次方程的解是x=5,那么我们可以通过逆向思维来判断这个方程表达式是多少。
通过将x=5带入方程,我们可以得到一个等式,从而找到方程的表达式。
逆向思维在解决代数问题中起到了一个很好的推导作用。
逆向思维在几何问题中也有很好的运用。
在几何问题中,有时我们需要找到一个特定的几何图形,然后确定这个图形的性质和特点。
而逆向思维可以帮助我们从已知的性质和特点出发,找到符合这些条件的特定几何图形。
举个例子,如果我们已知一个三角形的三条边的长度分别是3、4、5,我们可以使用逆向思维来判断这个三角形是什么类型的。
通过观察三边长度的关系,我们可以判断这个三角形是一个直角三角形,其中两条边的平方和等于第三条边的平方。
逆向思维在解决几何问题中也是非常有效的。
逆向思维还可以在数学推理问题中发挥作用。
在一些需要进行推理和证明的数学问题中,逆向思维可以帮助我们反向推导出结论的正确性。
通过从结论出发,逆向思维可以帮助我们找到可能的前提条件和证明方法。
举个例子,如果我们需要证明一个等式的正确性,我们可以设想这个等式不成立,然后逆向思维来寻找与已知条件不符的情况。
如果我们最终无法得出矛盾的结论,那么我们可以认为原来的等式是成立的。
逆向思维在数学推理中是一个非常重要的工具。
逆向思维在数学解题中的运用非常广泛。
它可以帮助我们从已知的结果和条件出发,逆向推导出问题的解法和答案。
无论是在代数问题、几何问题还是数学推理问题中,逆向思维都可以发挥重要的作用。
在数学学习和解题过程中,我们应该培养并运用逆向思维的能力,以提高解题的效率和准确性。
浅谈逆向思维在数学解题中的应用
浅谈逆向思维在数学解题中的应用发布时间:2023-01-31T02:21:05.227Z 来源:《中国教师》2022年18期作者:赵泽浩[导读] 数学解题的过程就是思维的过程,逆向思维作为数学思维的一个重要组成部分,是进行思维训练的载体,对于解决数学问题有很重要的意义。
赵泽浩云南省昆明市高新技术产业开发区第三中学 (云南昆明) 650503摘要数学解题的过程就是思维的过程,逆向思维作为数学思维的一个重要组成部分,是进行思维训练的载体,对于解决数学问题有很重要的意义。
逆向思维的方法包括逆转运算、逆转结构、逆转主元、逆转角度等四个方面。
使用逆向思维,可以产生出奇制胜的效果。
教师应该在课堂中注重培养学生的逆向思维,提高学生解决数学问题的能力。
关键词:逆向思维;数学解题;公式逆用一、引言1.1什么是逆向思维逆向思维被称为发散性思维,它是一种思维方式,它是相当普遍的,似乎已成定局的事情,反过来思考。
敢于用不同的思考的方式和思维去思考,使思维的方向向相反的方向发展,从相反的方向进行探索,建立新的思路,创造新的形象。
当你在思考一个固定的思维方式,而你是独自在相反的思维方向,这种思维方式被称为逆向思维。
1.2逆向思维解决数学问题的优越性根据思维的方向,数学思维可以分为不同的思维方向。
它可分为正向维和逆向思维.所谓的正向思维和逆向思维指的是在我们思考数学问题的时候,可以向正向的思维方向进行,也可以从它的反方向,逆向思维方向进行。
例如,当正向无法或是不易解决问题时,就可以像它的相反方向去寻找解决问题的途径。
又例如当当证明某个定理时,直接证明比较困难,这时候就采用间接证明的方法。
一般的,公式,定理,恒等式往往也可以以采用正向思维或者是逆向思维两种方式来进行证明。
总而言之,正确和熟练使用逆向思维,常常可以打破思维的定势,使人突破常规的束缚,轻松的解决数学问题。
1.3在数学解题中应用逆向思维的研究现状概述我国大多数的数学专家都对在数学解题中应用逆向思维做过深入的研究,他们的研究范围广泛,其中的关于数学分析解题应用逆向思维的研究较为完善,为解决数学分析问题提供了强有力的方法支撑。
浅谈逆向思维在七年级数学教学中的应用
浅谈逆向思维在七年级数学教学中的应用
逆向思维是指从结果出发,倒回到问题本身,通过反向思考来解决问题的思维方式。
在七年级数学教学中,逆向思维可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识,提高解决问题的能力。
下面将从课堂教学、课后作业和考试复习三个方面探讨逆向思维在七年级数学教学中的应用。
首先是课堂教学中的应用。
在介绍新知识之前,可以设计一些逆向思维的问题,引导学生思考并激发他们的学习兴趣。
比如在讲解等式的概念时,可以提问:“两个数相等意味着什么?”“如何通过图形表示等式?”这样可以让学生从结果出发,逆向思考等式的本质和图形表示的方法,加深对等式的理解。
其次是课后作业中的应用。
在设计作业题目时,可以设置一些逆向思维的问题,让学生主动思考和解决。
比如在让学生练习解一元一次方程时,可以给出一个方程的解,要求学生找出满足这个解的所有方程,并给出解释。
这样的设计可以帮助学生从结果出发,逆向构造方程,提高他们的解题能力和数学思维能力。
逆向思维在七年级数学教学中有着广泛的应用价值。
通过引导学生从结果出发,逆向思考问题,可以激发他们的学习兴趣,提高解决问题的能力,促进他们对数学知识的深入理解。
在七年级数学教学中,教师应该注意培养学生的逆向思维能力,设计合适的教学内容和任务,激发学生的思维潜力,提高数学学习的效果。
浅析逆向思维在数学解题方法中的应用
浅析逆向思维在数学解题方法中的应用摘要:逆向思维是一种在数学学习过程中常用的方法,是在数学学习的过程中逆向思维十分重要的组成部分。
数学逆向思维的培养,既可以改变其思维结构,又可以培养其思维灵活性、深刻性,能够进一步提高分析和解决问题的综合能力。
关键词:高等数学;逆向思维;解题方法科学研究的方法尽管千差万别,但有一个通法。
那就是将未知转化为已知,将复杂问题转化成简单问题。
数学的研究也基本上按照这种方法,这既是原则也是方向,违背了这个方向研究工作就会受阻,但在大方向不变的情况下,也常有“回头看”的逆向思维方式。
也就是说当我们的研究工作取得了新进展之后人们常回过头去,用新方法处理老问题,这样会使老观点下难以解决的问题变得相当简单。
在具体的应用中,分析法、反证法、举反例、常量与变量换位、公式、定理、法则的逆用等都体现了逆向思维。
逆向思维是一种发散性思维,这是一种从已有思路的反方向考虑问题的思维方法。
其特点是:另辟蹊径,向不同的方向进行思考,多端输出, 灵活变化, 思路宽广,考虑精细,答案新颖。
它反映了思维的间断和突变性,是摆脱思维定势、突破旧有思考框架、产生新的思考方法、发现新知识、创立新科学理论的重要思维方法。
逆向思维在许多情况下能够帮助我们克服惯常思维中出现的困难,开辟思路,开拓认识的新领域。
在人类几千年的文明史上,记载着运用逆向思维引人入胜的故事,如“孔明借箭”、“司马光砸缸”等,在我国是妇孺皆知的。
三天造十万支箭是难以办到的,但孔明压根就没去造,而是“借”并且不是想朋友借,而是向敌人借。
司马光要从水缸中把溺水小孩就出来是不可能的,但他的机智就在于逆向思维,最快捷在有效的办法是让水离开人。
19世际前期非欧儿何的诞生、18世纪彻底解决四次以上代数方程可解性问题以及20世纪60年代建立发展起来的模糊数学,是数学史上原本归功于逆向思维极为典型的成功事例。
在高等数学中,很多的题型都需要用逆向思维才能使解题更加的容易,它是培养学生思维敏捷性的重要手段。
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正难则反的智慧
——浅谈逆向思维在解题中的体现
浙江省宁海县知恩中学 王丽亚(315600)
数学问题的解决,有许多是可以从条件出发,进行正面的、顺向的思考而获得结论,这种思考在思维方式上具有定向性、聚合性,强化这种思维定势,在数学解题中有着决定性的作用,这是我们首先应该承认的. 然而,任何事物都有正反两个方面,也有许多问题正面入手困难重重,若改由反面入手却常常能出奇制胜. 千古传诵的“草船借箭”与“司马光砸缸”的历史故事都充分说明了逆向思维的巨大威力,正难则反易,数学问题的解决也是这样.
下面就几个方面谈谈我对正难则反思想的体会.
一.集合中体现为补集思想
当题目直接求解较繁、较杂甚至不能求解时,通过先求得问题的反面进而求其补集以达到解决问题之目的.
例1. 三个方程x 2+4mx -4m +3=0,x 2+(m -1)x +m 2=0,x 2+2mx -2m=0中至少有一个方程有实根,试求m 的范围.
分析:本题从正面入手应分类求解,繁不堪言,若从反面“三个方程均无实数根”思考,在实数范围内除去反面求得的解即为m 的取值范围.
解:若三个方程都没有实根,则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<--<+--0
8404)1(0)34(4162222m m m m m m 解得123-<<-m ∴三个方程至少有一个方程有实根m 的取值范围是2
3-
≤m 或1-≥m . 二. 命题中体现为逆否命题 逻辑学认为原命题与它的逆否命题是等价的,也就是原命题真,则它的逆否命题也真。
在一些命题的真假性或条件与结论的充分必要性的判断中,正面判断比较难或者不容易理
解,那么不妨跳出思维框架,转化为考虑逆否命题的真假性或者利用逆否命题判断充分必要性.
例2. 0)2()2(22≠-+-b ab 的充要条件是 .
分析:从正面入手2-ab 与2-b 中至少有一个不等于0, 即02≠-ab 或02≠-b , 2≠ab 或2≠b ,得到1≠a 或2≠b ,这对很多同学而言都有一定的理解障碍,但如果从反面来看,0)2()2(22=-+-b ab 的充要条件是:2=ab 且2=b 能得到1=a 且2=b . 那么利用逆否命题即能得到0)2()2(22≠-+-b ab 的充要条件是1≠a 或2≠b .
从逆否命题来处理确有茅塞顿开、恍然大悟的感觉.
三.证明中体现为反证法
反证法也是逆否命题的一个应用,即在证明若p 则q 中转化为证明若非q 则非p ,通过否定结论后再作为条件推出与题设的矛盾. 特别对于一些有否定词的命题或“至多”“至少”型的命题尤为适宜.
例3. 如图:已知在△ABC 中,∠BAC=60°,线
段AD ⊥平面ABC ,AH ⊥平面DBC ,H 为垂足,求
证:H 不可能是△DBC 的垂心.
分析:对于一个不是垂心的点,感觉无从下手,
对于垂心,则可以应用它的一些垂直关系。
本题要想
从条件入手证明十分困难,我们可以通过反面采用反
证法证明.
证明:(反证法)假设H 是△DBC 的垂心,
则CD ⊥ BH ,又AH ⊥平面DBC
∴BH 是AB 在平面DBC 的射影,由三垂线定理得CD ⊥AB
又∵AD ⊥平面ABC ,∴AD ⊥AB ∴AB ⊥平面ACD ,
得AB ⊥AC 即∠BAC=90°与∠BAC=60°矛盾
∴假设不成立,即证H 不可能是△DBC 的垂心.
反证法是一种重要的数学思想方法. 牛顿说:“反证法是数学家最精当的武器之一”.这就
充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位,也充分体现了正难则反思想在解题中的应用.
四.排列组合、概率中体现为间接法
对于某些排列的正面情况较复杂,而其反面情况较简单时,可先考虑无限制条件下的排列,再减去其反面情况的总数. 在概率计算中则可以通过1减去其对立事件的概率.
例4. 1 四面体的顶点和各棱的中点,共10个点,在其中取出4个不共面的点,不同的取法有( )种.
(A )150 (B )147 (C )144 (D )141 [97年全国理(15)]
分析与解:该题当然可以用直接法求解,但怎样合理分类令众多考生“雾里看花、不知所措”;若有考生能想到“通过求得问题的对立面”(即4个点共面的情况)
这种间接方法求解的话,则问题变得较为明朗、易解,具体解法如下:
从10个点中取出4个点的取法有410C 种,而四点共面的取法可分以下三类:第一类,4个点恰好在四面体的同一面上有464C 种;第二类,4个点恰好是一个平行四边形的顶点有3种(如平行四边形EFGH );第三类,4个顶点恰为一条棱上的三点和相对棱的中点有6种(如△BCG );所以符合条件的取法数为:
410C - 464C -3-6=141种. 故选D. 例4.2 抛掷两个骰子,至少出现一个5点或6点的概率为( ) A. 3
1 B. 125 C. 365 D. 95 分析:该题若采用直接分类,可以记“恰好出现一个6点而没有5点”为事件A ;“恰好出现一个5点而没有6点”为事件B ;“恰好出现一个5点和一个6点”为事件C ;“恰好出现两个5点”为事件D ;“恰好出现两个6点”为事件E.
则)()()()()(E P D P C P B P A P P ++++=
但若能从反面入手,考虑到“至少出现一个5点或6点”的反面是“两个骰子既不出现5
A
B C D
E
F
G
H
点也不出现6点”,那么所求的概率9
564641=⨯-=P ,选D. 在此类问题中如果善于运用正难则反的思想,利用对立事件的概率公式:)(1)(A P A P -=,可以使问题的解决做到事半功倍,而且减少了计算环节,也能减少由计算带来的不必要错误.
正难则反的这种逆向思维方式具有发散性、变通性,是突破传统框架产生新思路的源泉.对有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大,不妨就打破思维常规实行“正难则反”策略,转化为考虑问题的相反方面,往往能绝处逢生、开拓解题思路、简化运算过程.如果在教学中能使学生品尝到应用正难则反思想的甜头,那么就会进一步激发他们学习数学的兴趣,以达到拓广思维,增强解题技能,培养思维的灵活性和创造性之目的.
正难则反,说起来容易,做起来却难,只能是在解题的过程中逐渐的体会罢了.。