排列组合问题之分组分配问题

排列组合问题之分组分配问题

（一）（五个方面）

一、非均匀分组（分步组合法）

“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。 例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人；

②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2

6C 种，最后由剩下的4人为一

组，有44C 种。由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。

②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有23

75210C C =（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523

753210C C C =（种）。

二、均匀分组（去除重复法）

“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）

例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法

解：可选分同步。先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有3

4C 种。又有2组都

是3人，每22

A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33

74

2

2

70C C A =（种）。 也可先选后分。不同的分法共有336

63

7

2

2

70C C C A ⋅=（种）。

㈡部分均匀分组（去除重复法）

例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4

4C 种，又有3堆都是2个

元素，每3

3A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有

2224

108643

3

3150C C C C A ⋅=（种）。 【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是

均匀的，都有m

m A 种顺序不同的分法只能算一种分法。】

三、编号分组

㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）

例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法

解：分组方法共有232

752420C C A =（种）。

㈡部分均匀编号分组（分组法）

例5、5本不同的书全部分给3人，每人至少1本，有多少种不同的分法

解：分两类。①一类为一人3本；剩两人各1本。将5本书分成3本、1本、1本三组，再分

给3人，有1133

21532

2

60C C C A A ⋅⋅=种分法。②另一类为一人1本，剩两人各2本。将书分成2本、2本、1本三组，再分给3人，有21

23

315

3

22

90C C C A A ⋅⋅=种分法。共有6090150+=种分法。 例6、 已知集合A 含有4个元素，集合B 含有3个元素。现建立从A 到B 的映射:f A B →，使B 中的每个元素在A 中都有原象的映射有多少个

解：先把A 中的4个元素分成3组，即2个、1个、1个，有212214

22

C C

C A ⋅种分组方法，再把B

中的3个元素全排列，共有2123

214

32

2

36C C C A A ⋅⋅=种分组方法。因此，使B 中的元素都有原象的映射有36个。

（二）（五个方面）

一、平均分堆问题倍缩法（或缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）

1、 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组3人，有多少种不同的分法

答案：33742

270C C A =（种）或33663

722

70C C C A ⋅=（种）。 2、6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法

答案：222

642

3

3

15C C C A =（种）。 附：6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学教师任教，每人教两个班，有多少种不同的分派方法

答案：222

64290C C C =（种）。

3、6本书分三份，2份1本，1份4本，有多少种不同分法

答案：11

4

6542

2

15C C C A ⋅=（种）。

二、有序分配问题逐分法（或分步法）

4、①有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A 、1260种

B 、2025种

C 、2520种

D 、5040种

答案：211

10872520C C C =（种）。选C 。

②12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）种。 A 、444

12

8

4C C C

种

B 、44412843

C C C 种 C 、443

1283C C C

种

D 、4441284

3

3

C C C A 种 答案： 选A 。