九年级上册数学《二次函数》单元综合测试题(附答案)

人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一、单选题1．定义[A ,B ,C ]为函数y=A x 2+B x+C 的特征数,下面给出特征数为[m ﹣1,1+m,﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时,函数图象的顶点坐标是(﹣1,﹣8)；②当m ＞1时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当m ＜0时,函数在x ＞12时,y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值,函数图象经过两个定点．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示,且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++-=没有实数根,有下列结论：①240b ac ->②0abc <③20a b +<④2m >其中,正确的是结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图,抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2,若关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解,则t 的取值范围是( )A ．-5<t≤4B ．3<t≤4C ．-5<t<3D ．t>-5 4．如图,在△A B C 中,∠B =90°,A B =6C m,B C =12C m,动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s 的速度移动(不与点B 重合),动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,那么经过( )秒,四边形A PQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知抛物线y=A x 2+B x+C 的顶点为(－3,－6),有以下结论：①当A ＞0时,B 2＞4A C ；②当A ＞0时,A x 2+B x+C ≥-6；③若点(－2,m) ,(-5,n) 在抛物线上,则m ＜n ；④若关于 x 的一元二次方程A x 2+B x+C =-4的一根为－5,则另一根为－1．其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①②④6．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )．A ．B ．C ．D ．7．在同一平面直角坐标系中,反比例函数y b x=(B ≠0)与二次函数y ＝A x 2+B x (A ≠0)的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．8．加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足的函数关系p＝A t2+B t+C (A ,B ,C 是常数),如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为()A ．4.25分钟B ．4.00分钟C ．3.75分钟D ．3.50分钟9．已知二次函数y＝A x2+B x+C (A ＞0)的图象经过(0,1),(4,0),当该二次函数的自变量分别取x1,x2(0＜x1＜x2＜4)时,对应的函数值是y1,y2,且y1＝y2,设该函数图象的对称轴是x＝m,则m的取值范围是()A ．0＜m＜1B ．1＜m≤2C ．2＜m＜4D ．0＜m＜410．二次函数y＝A x2+B x+C 的图象如图所示,根据图象可得A ,B ,C 与0的大小关系是()A ．A ＞0,B ＜0,C ＜0 B ．A ＞0,B ＞0,C ＞0C ．A ＜0,B ＜0,C ＜0D ．A ＜0,B ＞0,C ＜011．如图1,菱形纸片A B C D 的边长为2,∠A B C =60°,将菱形A B C D 沿EF,GH折叠,使得点B ,D 两点重合于对角线B D 上一点P(如图2),则六边形A EFC HG面积的最大值是( )A B C ．2﹣ D ．1+ 12．如图,二次函数y=A x 2+B x+C (A ≠0)的图象与x 轴交于点A 、B 两点,与y 轴交于点C ,对称轴为直线x=-1,点B 的坐标为(1,0),则下列结论：①A B =4；②B 2-4A C ＞0；③A B ＜0；④A 2-A B +A C ＜0,其中正确的结论有( )个．A ．3B ．4C ．2D ．1二、填空题 13．当21x -≤≤时,二次函数22()1y x m m =--++有最大值4,则实数m 的值为________．14．若A (－134,y 1)、B (,y 2)、C (3,y 3)为二次函数y=－x 2－4x+5的图象上的三点,则y 1、y 2、y 3的大小关系是_________(用“＜”连接)．15．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称,则m+n ＝_____．16．抛物线y ＝n(n+1)x 2﹣(3n+1)x+3与直线y ＝﹣nx+2的两个交点的横坐标分别是x 1、x 2,记D n ＝|x 1﹣x 2|,则代数式D 1+D 2+D 3+…+D 2018的值为__．三、解答题17．已知二次函数()2220y ax ax a =--≠． (1)该二次函数图象的对称轴是；(2)若该二次函数的图象开口向上,当15x -≤≤时,函数图象的最高点为M ,最低点为N ,点M 的纵坐标为112,求点M 和点N 的坐标； (3)对于该二次函数图象上的两点()11,A x y ,()22,B x y ,设11t x t ≤≤+,当23x ≥时,均有12y y ≥,请结合图象,直接写出t 的取值范围．18．随着地铁和共享单车的发展,“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A ,B ,C ,D ,E 中的某一站出地铁,再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x (单位：km),乘坐地铁的时间1y (单位：min)是关于x 的一次函数,其关系如下表：(1)求1y 关于x 的函数解析式；(2)李华骑单车的时间2y (单位：min)也受x 的影响,其关系可以用2y =12x 2-11x ＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,并求出最短时间．19．如图,在矩形A B C D 中,4AB CD cm ==,6AD BC cm ==,3AE DE cm ==,点P 从点E 出发,沿EB方向匀速运动,速度为1C m/s；同时,点Q从点C 出发,沿C D 方向匀速运动,速度为2C m/s,连接PQ,设运动t<<),解答下列问题：时间为t(s)(02PQ BC？(1)当t为何值时,//(2)设四边形PB C Q的面积为y(C m2),求y与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t,使四边形PB C Q的面积是四边形PQD E的面积的4倍？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由.(4)连接B D ,点O是B D 的中点,是否存在某一时刻t,使P,O,Q在同一直线上？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由.20．某山西特产专卖店销售某种核桃,原来平均每天可销售200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种核桃每千克降价1元,则每天可多售出20千克．(1)设每千克核桃降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数解析式；(2)若要销售这种核桃平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元？21．某超市销售一种水果,迸价为每箱40元,规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元,每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低2元,则每月的销量将增加10箱,设每箱水果降价x元(x为偶数),每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？22．现有一面12米长的墙,某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场A B C D (篱笆只围A B 、B C 、C D 三边),其示意图如图所示．(1)若矩形养鸡场的面积为92平方米,求所用的墙长A D ．(结果精确到0.1米)(＝2.24)(2)求此矩形养鸡场的最大面积．23．某工厂现有20台机器,每台机器平均每天生产160件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于某种原因,每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产4件产品．(1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请你写出y与x之间的关系式及自变量的取值范围；(2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量是多少？(3)要使生产总量增加300件,则机器增加的台数应该是多少台？24．在平面直角坐标系中,直线y＝﹣12x+2与x轴交于点B ,与y轴交于点C ,二次函数y＝﹣12x2+B x+C 的图象经过B ,C 两点,且与x轴的负半轴交于点A ．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1,点D 是抛物线第四象限上的一动点,连接D C ,D B ,当S△D C B ＝S△A B C 时,求点D 坐标；(3)如图2,在(2)的条件下,点Q在C A 的延长线上,连接D Q,A D ,过点Q作QP∥y轴,交抛物线于P,若∠A QD ＝∠A C O+∠A D C ,请求出PQ的长．参考答案一、单选题1．定义[A ,B ,C ]为函数y=A x 2+B x+C 的特征数,下面给出特征数为[m ﹣1,1+m,﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时,函数图象的顶点坐标是(﹣1,﹣8)；②当m ＞1时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当m ＜0时,函数在x ＞时,y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值,函数图象经过两个定点．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案]D [解析]试题分析：①抛物线的顶点坐标为( , ),当m=3时,特征数为[2,4-6],可求得顶点坐标为(-1,-8),所以①正确．②函数图像与x 轴交点坐标为( ),特征数为 [m -1,1+ m ,-2m]的函数与x 轴交点坐标分别为(1,0)、(,0),所以截得x 轴所得的线段长为1-=1+,当m > 1 时, 1+>3,所以②正确．③函数对称轴为x== ,当m<0时,对称轴x=< ,A =m-1<0,所以函数抛物线图像开口向下,当x>时y 随x 的增大而减小,又因为x= <,所以当m < 0时,函数在x >时,y 随x 的增大而减小,③正确．④ 不论m 取何值,函数图象经过两个定点(1,0)和(-2,-6),所以④正确．故选D点睛：本题主要考查二次函数y=A x 2+B x+C 的性质：①二次项系数A 决定抛物线的开口方向和大小．当A ＞0时,抛物线向上开口；当A ＜0时,抛物线向下开口．②抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x = -B /2A ,当A ＞0时x< ,y 随x 的增大而减小,x>时,y 随x 的增大而增大．当A <0时,x<,y 随x 的增大而增大,x>时,y 随x 的增大而减小．③函数图像与x 轴交点坐标为 ),所以函数图像截x 轴所得的线段长为 等．二次函数的性质极为重要,是易考点,及难点． 122b a -244ac b a-24,02b b ac a-±-422m m --422m m --422m m -422m m -2b a -11211222(1)21m m m m m +-+==+---1121m +-121121m +-1121m +-122b a -2b a -2b a-2b a -a2．已知二次函数的图象如图所示,且关于的一元二次方程没有实数根,有下列结论：①②③④其中,正确的是结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案]C[解析][分析] 由抛物线与x 轴的交点可判断①；由对称轴x=可知A B ＜0,再由图像可知C ＞0,据此可判断②；由抛物线对称即可判断③；关于的一元二次方程没有实数根,即为二次函数与y=m 无交点,据此判断④.[详解]解：由图可知抛物线与x 轴有两个交点,则△=,故①正确；由对称轴x=可知A B ＜0,再由图像可知C ＞0,则,故②正确；抛物线对称轴x=,则2A +B =0,故③错误；由题意可知二次函数与y=m 无交点,由图可知,当m ＞2时,两者无交点,故m ＞2,故④正确.正确的是①②④,故选择C .[点评]本题考查了二次函数的性质及与一元二次方程的关系.3．如图,抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2,若关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解,则t 的取值范围是( )()20y ax bx c a =++≠x 20ax bx c m ++-=240b ac ->0abc <20a b +<2m>12b a-=x 20ax bx c m ++-=2y ax bx c =++240b ac ->12b a -=0abc <12b a-=2y ax bx c =++A ．-5<t≤4B ．3<t≤4C ．-5<t<3D ．t>-5 [答案]B[解析][分析] 先利用抛物线的对称轴方程求出m 得到抛物线解析式为y=-x 2+4x,配方得到抛物线的顶点坐标为(2,4),再计算出当x=1或3时,y=3,结合函数图象,利用抛物线y=-x 2+4x 与直线y=t 在1＜x ＜3的范围内有公共点可确定t 的范围．[详解]∵ 抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2,∴, 解之：m=4,∴y=-x 2+4x,当x=2时,y=-4+8=4,∴顶点坐标为(2,4),∵ 关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解,当x=1时,y=-1+4=3,当x=2时,y=-4+8=4,222(1)b m a -=-=⨯-故选：B[点评]本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=A x2+B x+C (A ,B ,C 是常数,A ≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．4．如图,在△A B C 中,∠B =90°,A B =6C m,B C =12C m,动点P从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s的速度移动(不与点B 重合),动点Q从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s的速度移动(不与点C 重合)．如果P、Q 分别从A 、B 同时出发,那么经过()秒,四边形A PQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案]C[解析][分析]根据等量关系“四边形A PQC 的面积=三角形A B C 的面积-三角形PB Q的面积”列出函数关系求最小值．[详解]解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts,四边形A PQC 的面积为SC m2,则有：S=S△A B C -S△PB Q=1 2×12×6-12(6-t)×2t=t2-6t+36=(t-3)2+27．∴当t=3s时,S取得最小值．[点评]本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法,解题的关键是根据题意列出函数关系式,并根据二次函数的性质求出最值．5．已知抛物线y=A x2+B x+C 的顶点为(－3,－6),有以下结论：①当A ＞0时,B 2＞4A C ；②当A ＞0时,A x2+B x+C ≥-6；③若点(－2,m) ,(-5,n) 在抛物线上,则m＜n；④若关于x 的一元二次方程A x2+B x+C =-4的一根为－5,则另一根为－1．其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①②④[答案]D[解析][分析]①利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；②利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；③由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3,则根据二次函数的增减性可对③进行判断；④根据抛物线的对称性：得到抛物线y＝A x2+B x+C 上的对称点(﹣1,﹣4),则可对④进行判断．[详解]①如图1,当A ＞0,顶点为(﹣3,﹣6)时,与x轴有两个交点,所以△＞0,即B 2＞4A C ；故①正确；②如图1,当A ＞0时,则y≥﹣6,∴A x2+B x+C ≥﹣6；故②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3,∴点(﹣2,m)与(﹣4,m)是对称点,当A ＞0时,x＜﹣3时,y随x的增大而减小,当A ＜0时,x＜﹣3时,y随x的增大而增大,而点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,所以m与n的大小不能确定；故③错误；④如图2,若关于x的一元二次方程A x2+B x+C ＝﹣4的一根为﹣5,由对称性可得：另一根为﹣1．所以④正确．其中正确的是：①②④．[点评]本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与x 轴的交点,二次函数与不等式的关系．6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )．A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析][分析]逐一分析四个选项,根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系,即可得出A 、B 的正负性,由此即可得出一次函数图象经过的象限,即可得出结论．[详解]A . ∵二次函数图象开口向下,对称轴在y 轴左侧,∴A <0,B <0,(0)y ax b a =+≠2(0)y ax bx c a =++≠∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项错误；B . ∵二次函数图象开口向上,对称轴在y 轴右侧,∴A >0,B <0,∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,故本选项错误；C . ∵二次函数图象开口向下,对称轴在y 轴左侧,∴A <0,B <0,∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项正确；D . ∵二次函数图象开口向下,对称轴在y 轴左侧,∴A <0,B <0,∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项错误．故选C ．[点评]本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合,掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系,是解题的关键．7．在同一平面直角坐标系中,反比例函数y (B ≠0)与二次函数y ＝A x 2+B x (A ≠0)的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．b x[答案]D[解析][分析]直接利用二次函数图象经过的象限得出A ,B 的值取值范围,进而利用反比例函数的性质得出答案．[详解]A 、抛物线y ＝A x 2+B x 开口方向向上,则A >0,对称轴位于轴的右侧,则A ,B 异号,即B <0．所以反比例函数y 的图象位于第二、四象限,故本选项错误； B 、抛物线y ＝A x 2+B x 开口方向向上,则A >0,对称轴位于轴的左侧,则A ,B 同号,即B >0．所以反比例函数y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误；C 、抛物线y ＝A x 2+B x 开口方向向下,则A <0,对称轴位于轴的右侧,则A ,B 异号,即B >0．所以反比例函数y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误；D 、抛物线y ＝A x 2+B x 开口方向向下,则A <0,对称轴位于轴的右侧,则A ,B 异号,即B >0．所以反比例函数y 的图象位于第一、三象限,故本选项正确； 故选D ．[点评]本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,要熟练掌握二次函数,反比例函数中系数与图象位置之间关系．8．加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足的函数关系p ＝A t 2+B t +C (A ,B ,C 是常数),如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为( )y b x=y b x=y b x=y b x=A ．4.25分钟B ．4.00分钟C ．3.75分钟D ．3.50分钟[答案]C[解析][分析] 根据题目数据求出函数解析式,根据二次函数的性质可得．[详解]根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=A t 2+B t+C ,得：解得：A =−0.2,B =1.5,C =−2,即p=−0.2t 2+1.5t−2,当t=−=3.75时,p 取得最大值, 故选C .[点评]本题考查了二次函数的应用,熟练掌握性质是解题的关键.9．已知二次函数y ＝A x 2+B x +C (A ＞0)的图象经过(0,1),(4,0),当该二次函数的自变量分别取x 1,x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时,对应的函数值是y 1,y 2,且y 1＝y 2,设该函数图象的对称轴是x ＝m ,则m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜1B ．1＜m ≤2C ．2＜m ＜4D ．0＜m ＜4[答案]C[解析][分析]根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．[详解] 930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1.5-0.22⨯解：当A ＞0时,抛物线开口向上,则点(0,1)的对称点为(x0,1),∴x0＞4,∴对称轴为x=m中2＜m＜4,故选C ．[点评]本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,画出草图更直观．10．二次函数y＝A x2+B x+C 的图象如图所示,根据图象可得A ,B ,C 与0的大小关系是()A ．A ＞0,B ＜0,C ＜0 B ．A ＞0,B ＞0,C ＞0C ．A ＜0,B ＜0,C ＜0D ．A ＜0,B ＞0,C ＜0[答案]D[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 的符号,由抛物线与y轴的交点判断C 的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断．[详解]解：由抛物线的开口向下知A ＜0,与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上,∴C ＜0,∵对称轴为x ＝＞0, ∴A 、B 异号,即B ＞0．故选：D ．[点评]本题考查了二次函数一般形式y=A x 2+B x+C 中各系数的意义,掌握A ,B ,C 意义是解题关键. 11．如图1,菱形纸片A B C D 的边长为2,∠A B C =60°,将菱形A B C D 沿EF,GH 折叠,使得点B ,D 两点重合于对角线B D 上一点P(如图2),则六边形A EFC HG 面积的最大值是( )ABC ．2﹣D ．1+[答案]A[解析][分析]由六边形A EFC HG 面积＝菱形A B C D 的面积﹣△EB F 的面积﹣△GD H 的面积．得出函数关系式,进而求出最大值．[详解]六边形A EFC HG 面积＝菱形A B C D 的面积﹣△EB F 的面积﹣△GD H 的面积． 2b a∵菱形纸片A B C D 的边长为2,∠A B C ＝60°,∴A C ＝2,∴B D ＝∴S菱形A B C DA C •B D2×设A E＝x,则六边形A EFC HG面积＝(2﹣x)﹣x)x•x2(x﹣1)2∴六边形A EFC HG故选A ．[点评]本题考查了翻折变换(折叠问题),二次函数最值问题,本题关键是设出未知数表示六边形面积,把图形问题转化为函数问题,有一定的难度．12．如图,二次函数y=A x2+B x+C (A ≠0)的图象与x轴交于点A 、B 两点,与y轴交于点C ,对称轴为直线x=-1,点B 的坐标为(1,0),则下列结论：①A B =4；②B 2-4A C ＞0；③A B ＜0；④A 2-A B +A C ＜0,其中正确的结论有()个．A ．3B ．4C ．2D ．1[答案]A[解析][分析]利用抛物线的对称性可确定A 点坐标为(-3,0),则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到A ＞0,再利用对称轴方程得到B =2A ＞0,则可对③进行判12=12=⨯=12⨯12-2=-+=+断；利用x=-1时,y ＜0,即A -B +C ＜0和A ＞0可对④进行判断．[详解]∵抛物线的对称轴为直线x=-1,点B 的坐标为(1,0),∴A (-3,0),∴A B =1-(-3)=4,所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点,∴△=B 2-4A C ＞0,所以②正确；∵抛物线开口向下,∴A ＞0,∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1, ∴B =2A ＞0,∴A B ＞0,所以③错误；∵x=-1时,y ＜0,∴A -B +C ＜0,而A ＞0,∴A (A -B +C )＜0,所以④正确．故选A ．[点评]本题考查了抛物线与x 轴的交点：对于二次函数y=A x 2+B x+C (A ,B ,C 是常数,A ≠0),△=B 2-4A C 决定抛物线与x 轴的交点个数：△=B 2-4A C ＞0时,抛物线与x 轴有2个交点；△=B 2-4A C =0时,抛物线与x 轴有1个交点；△=B 2-4A C ＜0时,抛物线与x 轴没有交点．也考查了二次函数的性质．二、填空题2b a13．当时,二次函数有最大值4,则实数的值为________．[答案]2或[解析][分析]求出二次函数对称轴为直线x=m,再分m ＜-2,-2≤m≤1,m ＞1三种情况,根据二次函数的增减性列方程求解即可．[详解] 解：二次函数的对称轴为直线x=m,且开口向下,①m ＜-2时,x=-2取得最大值,-(-2-m)2+m 2+1=4,解得, , ∴不符合题意,②-2≤m≤1时,x=m 取得最大值,m 2+1=4,解得所以③m＞1时,x=1取得最大值,-(1-m)2+m 2+1=4,解得m=2,综上所述,m=2或,二次函数有最大值．故答案为：2或[点评]本题考查了二次函数的最值,熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．21x -≤≤22()1y x m m =--++m 22()1y x m m =--++7m 4=-724->-m =m =14．若A (－,y 1)、B (,y 2)、C (3,y 3)为二次函数y=－x 2－4x+5的图象上的三点,则y 1、y 2、y 3的大小关系是_________(用“＜”连接)．[答案]<[解析][分析]先求出二次函数对称轴,再根据二次函数的增减性从点到对称轴的距离的大小考虑求解．[详解]对称轴为直线 ∵A=−1<0,∴当x <−2时,y 随x 的增大而增大,当x >−2时,y 随x 的增大而减小,∵∴<故答案为：<[点评]考查抛物线上点的坐标特征以及二次函数的性质,求出二次函数的对称轴,根据二次函数的增减性进行求解即可.15．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称,则m+n ＝_____．13431y y <2y ()42221b x a -=-=-=-⨯-，1313522444⎛⎫---=-+= ⎪⎝⎭，()22-=，()32325--=+=，31y y <2y 31y y <2y[答案]5．[解析][分析]根据关于y轴对称的点的坐标规律,将解析式中的x换成-x,y不变,化简即可得出答案.[详解]抛物线C 1：y＝x2+mx+2与抛物线C 2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称x2+mx+2=(-x)2-3(-x)+n= x2+3x+nm=3,n=2m+n=3+2=5故答案为5[点评]本题考查了二次函数图像与几何变换,掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键.16．抛物线y＝n(n+1)x2﹣(3n+1)x+3与直线y＝﹣nx+2的两个交点的横坐标分别是x1、x2,记D n＝|x1﹣x2|,则代数式D 1+D 2+D 3+…+D 2018的值为__．[答案]20182019[解析][分析]联立抛物线和直线的解析式,求得两个交点的横坐标,然后观察D n表达式的规律,根据规律进行求解即可．[详解]依题意,联立抛物线和直线的解析式有:n(n+1)x2−(3n+1)x+3=−nx+2,整理得：n(n+1)x2−(2n+1)x+1=0,解得x1=1n ,x2=1n+1；∴∴∴所以当n 为正整数时,D n =1n -1n+1,故代数式D 1+D 2+D 3+…+D 2018=1−12+12-13+.......+12018-12019=1-12019=20182019故答案为：20182019[点评]本题考查了二次函数的综合题,解题的关键是观察规律.三、解答题17．已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是；(2)若该二次函数的图象开口向上,当时,函数图象的最高点为,最低点为,点的纵坐标为,求点和点的坐标； (3)对于该二次函数图象上的两点,,设,当时,均有,请结合图象,直接写出的取值范围．[答案](1)x=1;(2),;(3) [解析][分析](1)二次函数的对称轴为直线x=-,带入即可求出对称轴, (2)在区间内发现能够取到函数的最低点,即为顶点坐标,当开口向上是,距离对称轴越远,函数值越大,所以当x=5时,函数有最大值.(3)分类讨论,当二次函数开口向上时不满足条件,所以函数图像开口只能向下,且应该介于-1和3之间,才会使,解不等式组即可.[详解]()2220y ax ax a =--≠15x -≤≤M N M 112M N ()11,A x y ()22,B x y 11t x t ≤≤+23x ≥12y y ≥t 11 5,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭5 1,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12t -≤≤2b a1x 12y y ≥(1)该二次函数图象的对称轴是直线； (2)∵该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,,∴当时,的值最大,即． 把代入,解得． ∴该二次函数的表达式为． 当时,, ∴． (3)易知A 0,∵当时,均有,∴,解得∴的取值范围．[点评]本题考查了二次函数的对称轴,定区间内求函数值域,以及二次函数图像的性质,难度较大,综合性强,熟悉二次函数的单调性是解题关键.18．随着地铁和共享单车的发展,“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A ,B ,C ,D ,E 中的某一站出地铁,再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位：km),乘坐地铁的时间(单位：min)是关于的一次函数,其关系如下表：212a x a==1x =15x -≤≤5x =y 115,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭115,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭222y ax ax =--12a =2122y x x =--1x =52y =-51,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭<23x ≥12y y ≥113t t ≥-⎧⎨+≤⎩12t -≤≤t 12t -≤≤x 1y x(1)求关于的函数解析式；(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受的影响,其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,并求出最短时间．[答案](1) y 1=2x ＋2 ；(2) 李华应选择在B 站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,最短时间为39.5 min[解析][分析](1)将(7,16),(9,20)代入一次函数解析式,便可求解．(2)回到家所需的时间为y,则y =y 1＋y 2,y = =x 2-9x ＋80配方便可解决． [详解]解：(1)设y 1关于x 的函数解析式为y 1=kx ＋B .将(7,16),(9,20)代入, 得解得∴y 1关于x 的函数解析式为y 1=2x ＋2. (2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min,y =y 1＋y 2则y =y 1＋y 2=2x ＋2＋x 2-11x ＋78=x 2-9x ＋80= (x -9)2＋39.5. ∴当x =9时,y 取得最小值,最小值为39.5. 所以李华应选择在B 站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,最短时间为39.5 min.[点评]本题考查利用待定系数求函数表达式,代入点便可求出,配方法的解决最值问题常用的方法,掌握即可． 19．如图,在矩形A B C D 中,,,,点P 从点E 出发,沿EB1y x 2y x 2y 12x x 12716920k b k b +=⎧⎨+=⎩22k b =⎧⎨=⎩1212124AB CD cm ==6AD BC cm ==3AE DE cm ==方向匀速运动,速度为1C m/s ；同时,点Q 从点C 出发,沿C D 方向匀速运动,速度为2C m/s,连接PQ,设运动时间为t(s)(),解答下列问题：(1)当t 为何值时,？(2)设四边形PB C Q 的面积为y(C m 2),求y 与t 的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t,使四边形PB C Q 的面积是四边形PQD E 的面积的4倍？若存在,求出t 的值；若不存在,说明理由.(4)连接B D ,点O 是B D 的中点,是否存在某一时刻t,使P,O,Q 在同一直线上？若存在,求出t 的值；若不存在,说明理由.[答案](1)；(2)；(3)存在. (4)不存在,详见解析. [解析][分析]根据题意可知(1)根据勾股定理可得出B E 的值,再由平行线分线段成比例可得出答案.(2)根据三角形相似对应边成比例可得到B F 与PF 的值,再利用面积的和得出结论.(3)先求出梯形B C D E 的面积,进而得到四边形B C QP 的面积,建立方程联系进行求解(4)分别讨论当点P 在点O 上方和下方两种情况,利用平行线分线段成比例,建立联系,进行证明.[详解]解：(1)由题意,得,,.在Rt △A B E 中,,,∴.02t <<//PQ BC 107t =2331255y t t =++t =PE DQ BE CD=90A ∠=︒EP tcm =2QC tcm =4AB cm =3AE cm=5cm BE ==则.若.则,即,∴. (2)如图,过点P 作,则,∴.又∵,∴. ∴,即, ∴,. ∴. ∴. . ∴y 与t 的函数关系式为. (3)存在.由题意,得 . ∵,∴, 5PB t cm =-（）//PQ BC EP DQ PB QC =4252t t t t -=-107t =PF BC ⊥//PFAB BPF EBA ∠=∠90BFP EAB ∠=∠=︒BPF EBA BF BP PF EA EB BA ==5354BF PF ι-==3(5)cm 5t BF -=4(5)cm 5t PF -=3(5)3(5)6cm 55t t CF BC BF -+=-=-=11()22PBF OQPF y S S BF PF CQ PF =+=⋅++梯形213(5)4(5)14(5)3(5)33[2]1225525555t t t t CF t t t ---+=⨯⨯++⋅=++2331255y t t =++14634182ABE ABCD BCDE S S S =-=⨯-⨯⨯=矩形四边形4PBCQ PQDE S S =四边形四边形23341218555t t ++=⨯解得(舍去),∴当时,四边形PB C Q 的面积是四动形PQD E 的面积的4倍. (4)不存在.理由：①当点P 在点O 上方,点Q 在点O 下方时,如图1,延长QO 至点Q'易得,过点P 作于点M,∴,∴,即.. ∵,但实际,∴此时不存在. ②当点P 在点O 下方,点Q 在点O 上方时,如图2,延长QO 交A B 于点Q',作于点G,于点H.则,. ∵,∴,. 易证,1t =2t =t ='2AQ CQ tcm ==PM AE ⊥//PM AB PM EF AB EB =45PM t =4cm 5PM t =425t t <'PM AQ >OG AB ⊥PH AB ⊥12cm 2BG AB ==132OG AD cm ==5PB t cm =-（）33(5)3cm 55PH t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭44(5)4cm 55BH t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭(42)cm BQ DQ t '==-∴, ,易证,∴, ∴,即,∴,∴方程无解,∴不存在.综上所述,不存在某一时刻t,使P,O,Q 在同一直线上.[点评]本题综合性较强,做该类试题时,应该充分利用题干信息,灵活运用所学几何性质定理,且辅助线务必正确简明,分情况讨论,不漏解.20．某山西特产专卖店销售某种核桃,原来平均每天可销售200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种核桃每千克降价1元,则每天可多售出20千克．(1)设每千克核桃降价x 元,平均每天盈利y 元,试写出y 关于x 的函数解析式；(2)若要销售这种核桃平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元？[答案](1)y ＝－20x 2－80x ＋1 200. (2)2.[解析][分析](1)由题意,每千克核桃降价x 元则可出售(200＋20x)千克,获利(6－x),则可列y ＝(200＋20x)(6－x),化简即可；(2)令y ＝960,再解出x 即可.[详解]解：(1)根据题意,可得y ＝(200＋20x)(6－x)．464(42)cm 55t HQ BH BQ t t ''=-=---=2(42)(22)cm GQ BG BQ t t ''=-=--=-''Q HP Q GO PH HQ OG GQ''=36355322t t t -=-2350t t -+=110=-<化简,得y＝－20x2－80x＋1200.(2)当y＝960时,－20x2－80x＋1200＝960.即(x＋2)2＝16.解得x1＝2,x2＝－6(舍去)．答：要使平均每天盈利960元,则每千克应降价2元．[点评]此题主要考察二次函数的应用,根据题意列出式子是解题的关键.21．某超市销售一种水果,迸价为每箱40元,规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元,每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低2元,则每月的销量将增加10箱,设每箱水果降价x元(x为偶数),每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？[答案](1)y＝60+5x,(0≤x≤32,且x为偶数)；(2)售价为62元时,每月销售水果的利润最大,最大利润是1920元．[解析][分析]x5x(1)根据价格每降低2元,平均每月多销售10箱,由每箱降价元,多卖,据此可以列出函数关系式；(2)由利润=(售价−成本)×销售量−每月其他支出列出函数关系式,求出最大值.[详解]解：(1)根据题意知y＝60+5x,(0≤x≤32,且x为偶数)；(2)设每月销售水果的利润为w,则w＝(72﹣x﹣40)(5x+60)﹣500＝﹣5x2+100x+1420＝﹣5(x﹣10)2+1920,。