求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法

一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。 扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为

公差的等差数列，由等差数列的通项公式，

畤“+心)|,

3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\

2 2

评注：本题解题的关键是把递推关系式。心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2

｛q r ｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数

a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛

b K ｝的通项公式；

解：•/ a fj = -2(n + I)

/. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n

.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分

I

练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,

① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,

又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②

由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0

T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) •

当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、

二2, • • @7二5/7 —3,

三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。

解:由 a n+i = a n + 2n +1 得 % - a n =2n + l 则

解：^,=2^l+3x2H 两边除以2n+,.得勞=令+ £，则"^ 利用色

S](心 1) S“一S”]g2)

5 =（°” 一«n-i）+（% -。”_2）+ …+（①一“2）+（①一纠）+ 5

=[2（/? — 1） + 1] + [2（〃— 2） + 1] +・・• +（2x2 + 1） +（2x1 +1） + 1 =2[（川一1） + 5-2） + ・・・ + 2 + 1] + （〃一1） + 1

=2 塔聖+ （—1） + 1

=（77-1）（77+ 1） + 1

2

=ir

所以数列｛a n｝的通项公式为％ = n2。

评注:本题解题的关键是把递推关系式a n+l=a…+2n + \转化为a…^-a n=2n + l,进而求

出（a n ~ a n-\）+（a n-\ ~"“-2）卜（“3 一“2）+（。2 一"1）+ "1 * 即得数列（耳,｝的通项公式。

例4已知数列｛%｝满足绻+|=©+2x3" + l, q=3,求数列｛qj的通项公式。

解:由a n+[=a… +2x3,r +1 得a n+l-a… = 2x3H +1 则

a n = a厂）+（£-1 一d”_2 ） + …+ （°3 一“2 ） + （“2 一 "]）+ a\

= （2x3n_,+l） + （2x3n_2 + l） + .-- + （2x32 + l） + （2x3I+l） + 3

=2（3心+3"一2+... + 32+31）+⑺一1） + 3

』（1才）+心）+ 3

1-3

=3" - 3 + “一1 + 3

= 3”+n —1

所以u n =3" + n — 1.

评注：本题解題的关键是把递推关系式a n,x=a n+2x3n +1转化为如一垢=2x301 ,

进而求出5 =（S —5-1） + （勺-一q一2）+…+（冬一“2）+（6 一4）+ 4，即得数列｛色｝的通

项公式。

四、累乘法

例6已知数列｛©｝满足如=2(/i + l)5"xa”, ®=3,求数列｛©｝的通项公式。

解：因为%=2S + l)5“x% q=3,所以①工0,则加= 2(n + l)5J故

Cl n—................................. q

a n-\ «n-2 «2 4

=[2(/?-1 +1)5"" ][ 2(“ 一2 +1)5" J ] •.…[2(2+1)X52][2(1+1)X5']X3

=2H_,[«(n-l) • 3x2]x 5,n_1>++-+2+1 x 3

n(n-l)

= 3x2^ x5— xn!

/r(w-l)

所以数列｛J｝的通项公式为© = 3x2,M x5—xnl.

评注:本题解题的关键是把递推关系a n^=2(n + \)5n xa n转化为 ^ = 2(n + l)5\进而求

出厶•竺L••…乞•乞・仆即得数列｛©｝的通项公式。

%】％2 «2 5

例7 已知数列｛"“｝满足舛=1, a n =q +2a2+3© +••• + (/?-1)^_,(/? h 2),求｛%｝的通项

公式。

解：因为ci n = q + + 3“3 +••• + (〃一I)"”—(八—2) ①

所以S+i = q + 2a2 + +••• + (〃—1)5- + 斤5②

用②式一①式得a n+l -a n=na….

则a n^\ =(« + l)«n(n>2)

所以a” = ...... 乞・d«> =[n(〃_l) ...... 4X3]^7=—a^.(3)

5-1 %2 ^2 2

由a n = a｝ + 2a2 + 3$ + ・・・ + (n- 1)。心(« A 2),取办=2得a? = a｝ + 2a2,则a2 = a｝,又知q=l,则a^=\.代入③得a n =l-3-4-5 ............. n = —Q

] ■ 2 所以，的通项公式为®£.