求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法
一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。

扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为
公差的等差数列，由等差数列的通项公式，
畤“+心)|,
3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\
2 2
评注：本题解题的关键是把递推关系式。

心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2
｛q r ｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数
a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛
b K ｝的通项公式；
解：•/ a fj = -2(n + I)
/. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n
.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分
I
练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,
① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,
又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②
由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0
T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) •
当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、
二2, • • @7二5/7 —3,
三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。

解:由 a n+i = a n + 2n +1 得 % - a n =2n + l 则
解：^,=2^l+3x2H 两边除以2n+,.得勞=令+ £，则"^ 利用色
S](心 1) S“一S”]g2)
5 =（°” 一«n-i）+（% -。

”_2）+ …+（①一“2）+（①一纠）+ 5
=[2（/? — 1） + 1] + [2（〃— 2） + 1] +・・• +（2x2 + 1） +（2x1 +1） + 1 =2[（川一1） + 5-2） + ・・・ + 2 + 1] + （〃一1） + 1
=2 塔聖+ （—1） + 1
=（77-1）（77+ 1） + 1
2
=ir
所以数列｛a n｝的通项公式为％ = n2。

评注:本题解题的关键是把递推关系式a n+l=a…+2n + \转化为a…^-a n=2n + l,进而求
出（a n ~ a n-\）+（a n-\ ~"“-2）卜（“3 一“2）+（。

2 一"1）+ "1 * 即得数列（耳,｝的通项公式。

例4已知数列｛%｝满足绻+|=©+2x3" + l, q=3,求数列｛qj的通项公式。

解:由a n+[=a… +2x3,r +1 得a n+l-a… = 2x3H +1 则
a n = a厂）+（£-1 一d”_2 ） + …+ （°3 一“2 ） + （“2 一 "]）+ a\
= （2x3n_,+l） + （2x3n_2 + l） + .-- + （2x32 + l） + （2x3I+l） + 3
=2（3心+3"一2+... + 32+31）+⑺一1） + 3
』（1才）+心）+ 3
1-3
=3" - 3 + “一1 + 3
= 3”+n —1
所以u n =3" + n — 1.
评注：本题解題的关键是把递推关系式a n,x=a n+2x3n +1转化为如一垢=2x301 ,
进而求出5 =（S —5-1） + （勺-一q一2）+…+（冬一“2）+（6 一4）+ 4，即得数列｛色｝的通
项公式。

四、累乘法
例6已知数列｛©｝满足如=2(/i + l)5"xa”, ®=3,求数列｛©｝的通项公式。

解：因为%=2S + l)5“x% q=3,所以①工0,则加= 2(n + l)5J故
Cl n—................................. q
a n-\ «n-2 «2 4
=[2(/?-1 +1)5"" ][ 2(“ 一2 +1)5" J ] •.…[2(2+1)X52][2(1+1)X5']X3
=2H_,[«(n-l) • 3x2]x 5,n_1>+<n-2>+-+2+1 x 3
n(n-l)
= 3x2^ x5— xn!
/r(w-l)
所以数列｛J｝的通项公式为© = 3x2,M x5—xnl.
评注:本题解题的关键是把递推关系a n^=2(n + \)5n xa n转化为 ^ = 2(n + l)5\进而求
出厶•竺L••…乞•乞・仆即得数列｛©｝的通项公式。

%】％2 «2 5
例7 已知数列｛"“｝满足舛=1, a n =q +2a2+3© +••• + (/?-1)^_,(/? h 2),求｛%｝的通项
公式。

解：因为ci n = q + + 3“3 +••• + (〃一I)"”—(八—2) ①
所以S+i = q + 2a2 + +••• + (〃—1)5- + 斤5②
用②式一①式得a n+l -a n=na….
则a n^\ =(« + l)«n(n>2)
所以a” = ...... 乞・d«> =[n(〃_l) ...... 4X3]^7=—a^.(3)
5-1 %2 ^2 2
由a n = a｝ + 2a2 + 3$ + ・・・ + (n- 1)。

心(« A 2),取办=2得a? = a｝ + 2a2,则a2 = a｝,又知q=l,则a^=\.代入③得a n =l-3-4-5 ............. n = —Q
] ■ 2 所以，的通项公式为®£.
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n+1=(n + lK(/i>2)转化为^ = n + l(n>2),
a n
进而求出上匚•组••…乞・“2,从而可得当H>2时，冷的表达式，最后再求出数列｛©｝的5-1 ©_2 a2
通项公式。

五.构造等差或等比"”+l = M + g或如=P© + /(")
例8 (2006年福建卷)已知数列｛©｝满足®=l,%=2d”+l(mN・).
求数列仗”｝的通项公式；
解：T 陽+1 = 2% +1(〃e N"),
••• °”+]+i=2a+i),
.•.｛©+1｝是以q+l = 2为首项，2为公比的等比数列。

+1 = 2".
即a n =22 -l(neN ).
例9.已知数列｛%｝中，5 =1, a”+i +(+)"-',求％。

解：在% =｝”+(*严两边乘以汕得：2叫畑=(2"・©) + 1 令—=2" •勺,则仇+|-化=1,解之得：b n =b｝+n-l = n-l
所以讣俎一口
练习. 已知数列｛a n｝满足心=2a n-I+2n -l(n>2),且g =81。

(1)求如，a2> a3；
(2)求数列｛aj的通项公式。

(1) aj =5, a2 =13, a3 = 33
解:
(2) a n =2a n-1 +2n—lna n -1 = 2筑-—l) + 2n
=口=鱼斗1+1亠21"+1
2n 2n_, 2n
a n =(n + l)2n +1
六、待定系数法
例10已知数列｛%｝满足％|=2a”+3x5", ®=6,求数列｛色｝的通项公式。

解:设"”+1+XX5”T =2(%+xx5") ④
)
将a n+l=2a” +3x5"代入④式,得2a n +3x5" +xx5n+,=2a n+2xx5n ,等式两边消去2a n ,得3•亍+x-5n+1=2x-5n,两边除以5",得3 + 5x = 2x,贝吐=一1,代入④式得“沖一5灯=2(%—5”)⑤由«,-5,=6-5 = 1^ 0及⑤式得“”一5"工0,则也_二=2,则数列｛勺一5”｝是以勺-5
«!-5'= 1为首项，以2为公比的等比数列，则色-5”=2”“,故a n=2n-l+5n o
评注：本题解题的关键是把递推关系式% = 2a n+3x5”转化为% - 5n+, = 2(% - 5"), 从而可知数列｛"”-5"｝是等比数列，进而求出数列｛"“-5”｝的通项公式，最后再求出数列｛%｝的通项公式。

例12已知数列｛%｝满足^f+1=2^+3/r+4n + 5, q=l,求数列｛"”｝的通项公式。

解:设"曲 + x(n +1)，+ y(n +1) + z = 2(© + xn2 + yn + z) ⑧
将a n^} =2a n+3n2 +4/1 + 5 代入⑧式，得
2a n +3n 2 +4n + 5 + x(n +1)2 + y(/i +1) + z = 2(a n + xn 2 + yn + z),则 2a n + (3 + x)/r + (2x + y + 4)/? + (x + y + z + 5) = 2a n + 2xn 2 + 2yn + 2z
等式两边消去
,得(3 + x)n 2 + (2x +y + 4)n + (x+ y + z + 5) = 2xn 2 +2yn + 2z ,
% + 3(/? + 1)2+10(/i + 1) + 18 = 2(a n + 3n 2 +1 On + 18) ⑨
由 ^+3xl 2+ 10x1 +18 = 1 + 31 = 32^ 0 及⑨式，得冷+3用 + 10料 + 18工0
则.也-3("-1广-1()("-1) + 卅=£ ,故数列 s + 3用 +10“ +18｝为以
a“+3“-+ 10/2 + 18
再+3x12 + 10x1 + 18 = 1 + 31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此
陽+3^2+10/1 + 18 = 32x2"“ ,则 «n =2
n+4
-3n 2-1071-18 o 评注：本题解题的关键是把递推关系式绻+|=2a”+3川+4〃 + 5转化为
% + 3(/i + 1)2 + 10(/2 + 1) + 18 = 2(% +3«2+10/2 + 18),从而可知数列
｛外+3^+10/1 + 18｝是等比数列,进而求出数列｛©+3/? + 10"+18｝的通项公式，最后再 求出数列｛"”｝的通项公式。

七、对数变换法
例13已知数列｛%｝满足5+1 = 2x3〃 X©, q=7,求数列｛①｝的通项公式。

解：因为 a n ^ = 2x3,! xa^9 q=7,所以 a n > 0, a n ^ > 0 o 在 «/1+1 = 2x 3n x 式两边取
常用对数得 lg©+] =51g© +n Ig3 + lg2 ⑩
设 lg %】+ x(n +1) + y = 5(lg a n + xn + y)
⑪
3 + x = 2x
解方程组2x + y + 4 = 2y
x+ y + z + 5 = 2z x = 3
则<y = 10,代入⑧式，得
z = 18
将⑩式代入⑪式,得5lg a n + nlg3 + lg24-x{n +1) + y = 5(lg a n + xn + y),两边消去
5 lg a n并整理，得(lg3 + x)n + x + y + lg 2 = 5xn + 5y > 则
a
4 尸空+蛭
16 4
+ D +詈+竽= 5(lg©+孚卄罟+罟)⑫
代入⑪式,得lg如+
16 4 4 16 4
由葩+空“ +空+空丸7 +空xl +空+空H0及⑫式,
4 16 4 4 16 4
得葩+字2 +罟+竽工0,
4 16 4
叽严字5+1）+器+竽
011 _______ i______________ 4_
阴+空〃+燮+史
八4 16 4
所以数歹I {lg ci n + -^― n +亠二+ ——}是以lg 7 + -^― + ——F ——为首项，以5为公比的等
4 16 4 4 16 4
比数列，则lg©+空n +空+空= （lg7 +燮+变+空）5心，因此
4 16 4 4 16 4
軌皿7 +竽+护孚护晋-罟晋
丄［丄工丄丄
=（lg 7 + lg 3Z + lg 3恳 + lg 25）5心_ lg 3了 _ lg 3而 _ lg 25 丄丄丄 2 丄丄=［lg（7 ・ 3「3丘・ 2了）］5“" 一lg（3z・ 3蔬・ 2'）
丄丄丄 2 丄丄
=lg（7・3 J 3広・2亍）5心一lg（3匸3仇2刁）
5f 5”J 5f
=lg（7'心・3F・3寸・2F）
5n-4n-l 5^-1
= lg（75/M-3_-2—）
5”7L1 W-l
则^=75" x3 16x2_ o
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式“曲=2x3"转化为
+ 1）+空+空= 5（lg©+空〃 +空+空），从而可知数列
lg% +
16 4 4 16 4
｛lg绻+燮〃 +空+空｝是等比数列，进而求出数列｛12©+空〃 +加+些｝的通项
4 16 4 4 16 4
公式，最后再求出数列｛%｝的通项公式。

A.迭代法
例14已知数列他｝满足陥严/曲用，5=5,求数列｛①｝的通项公式。

g «门门3（卄1｝2用船M门门3小2心r门35-"广2 3“•严解：因为= a n，所以5=%=U-2 】
_ 32（“-1）讥・2（"一2）+（〃T）
=a n-2
=[c3（n-2\2n-3严⑺―1）•斤2（"-2）+（〃-1）
_ 33（“_2）（〃-1）斤2（"一3）+（〃-2）+（〃-1）
=a n-3
• • •
_ “3"-123 •••• •心一2）・（“一1）讥。

1+2+ +（〃一3）+（〃一2）+（"-1）n（n-l）
32—1川・2 2
评注：本題还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即先将等式a^=a^)2'
两边取常用对数得lg%|=3(/i + l)x2"xlg% 即^±L = 3(/i + l)2j 再由累乘法可推知
lg~
〃(并一1)
lg a n lgq_ lgq lg 偽 v 孙一1讥!・2 2 _
^a n = •
... 亠一.亠二・lgq =lg5‘ "•厶
• 从 而
lg%叽2 临冬仗再 3日皿2叱11
均=5 2
o
九、数学归纳法
「=。

| 旳 + 1)
0+1
” ⑵2+ 1)2 (2〃+ 3尸
8(1 + 1)
8
8x2
24 (I H ------------ : ________ _ _ p ____ =___
1
(2xl + l)2(2xl + 3)2 9 9x25
25
8(2 + 1) 24 8x3 48
d 4 ------------ - ---- -------- = + _______ = 2
(2X 2 + 1)2(2X 2 + 3)2 25 25x49 49
8(3 + 1) 48 8x4 80 + ---------------------------- = — + ------------- =—
3
(2X 3 + 1)2(2X 3 + 3)2
49 49x81
81
由此可猜测曾，往下用数学归纳法证明这个结论。

⑵2 + 1广
(1)当幵=1时，3 =
(-;¥) J
,所以等式成立。

(2x1 + i J
J
例15已知数列｛%｝满足
8⑺+ 1) (2〃+ 1)2 (2〃+ 3
尸
求数列｛勺｝的通项公式。

解:
(2)假设当n = k时等式成立，即汝」UF’则当" =£ +1时,
8 伙 +1)
+ (2k+ 1尸(2k+ 3)2
(2k + l)2-l 8 伙+ 1)
(2k+ 1尸+(2£ + l)2(2k + 3)2
[(2R + l)2-l](2R + 3)2+8(k + l)
(2R + l)2(2k+3)2
(2k +1)2(2k + 3)2—(2k + 3)2 + 8伙 +1)
(2k+ 1)2(22 3尸
(2k + l)2(2R + 3)2-(2k + l)2
(2k+ 1)2(22 3尸
(2k+ 3)2-1
(2k+3尸
[2 伙 + 1) + 1]2-1
[2 伙+ 1) + 1F
由此可知，当n = k +1时等式也成立。

根据(1), (2)可知，等式对任何mN"都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

十、换元法
例16已知数列｛%｝满足仏严费1 + 4"”+丿+ 2%), «,=1,求数列｛©｝的通项公式。

解：令b产吓顾，则右(冒一1)
故°”+1 = TT(时+i 一1)，代入4>+i =— (1 + 4© + Jl + 24a”)得
24 lo
丄(〃二-1)=丄［1 + 4丄血_1) +如
24 沖16 24 M“
即4监=(“+3)2
因为亿二匚环20,故勺田二Jl + 24q田2 0
则九严®+3,即仇*严瓠+|, 可化为化*厂3 = *（化_3）,
所以｛—一3｝是以b厂3 = Jl + 24q _3 = Jl + 24xl_3 = 2为首项，以+为公比的等比数乙列，因此化-3 = 2（丄）心=（丄严,则8=（丄严+3,即71 + 24^7 = （-r2+3,得
2 2 2 2
WG）电叫。

评注：本题解题的关键是通过将J1 + 24匕的换元为仇,使得所给递推关系式转化
形式，从而可知数列｛化一3｝为等比数列，进而求出数列｛*—3｝的通项公式,
2 2
最后再求出数列｛色｝的通项公式。

附：构造辅助数列
1.构造数列丄，，使其为等差数列。

（形式：d”+l=—亠）
叫+1
例：已知数列｛%｝满足再=1,%产丄」，求证：丿丄是等差数列，并求&”｝3%+1 UJ
的通向公式。

解：...4+]=丄」，.•.丄=丄+ 3,即——=+3.
3亿+1 心a n心」a n
〈丄是首项为1,公差为3的等差数列。

a tl n 3n - 2
2.构造数列•:丄+ /,使其为等比数列。

(①+严―^ 或加”+35+C = 0)
I A 叫+q
例：在数列｛“”｝中，已知绚=2, %严电，求证：数列｛"”｝的通项公式。

5+1
解:由勺=2, a = 5可知，对川w N ,〜H 0 • +1
灯丿.
二数列 丄一 1〉是首项为一丄，公比为丄的等比数列.
3.构造数列仏+[+加”｝,使其为等比数列。

5+2 = ""”+】+ g“-l
例：已知数列｛“”｝满足q=l, “2=3, %2 = 3“”+] -2如，求仏｝的通项公式。

解：设 ％2 + 呵+1 = 0("”+1 +
)，即 %2 = (0 - + C10U …, 则"”+2 =(0 一 + a 伙怙,与％2 = 3勺屮—2"”」比较后的得
P _a = 3,a0=_2.
/. a = -2, p = 1 或 a = -\、卩=2 ・
当 Q = 70 = 2 时，心+2 -4小=2(4小 一％J, ｛%1-心｝是以 «2-«] =2 为 首项,2为公比的等比数列。

二%| 一①=2
•■- (l … = (J - J + Si -
) + …+ (。

2 _ 5 ) + 终
=2心+2"-2+…
+ 2 + 1 --- =—+ ,即 一 1 = 终屮 2 2冷
--- 曾+]
= 2M-1 (n>2).
经验证，n=l时适合上式2"-1.
同理，当a = -2,0 = 1时,也得到a… = 2" -1. 综上知①=2"-1.。