《几何综合探究题中考27题》(共55题)中考专项配套练习(北京专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）

专题15几何综合探究题中考27题（共45题）

一．解答题（共5小题）

1．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

2．（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：∠OMP＝∠OPN；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．

3．（2018•北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长五年中考真题

线于点H，连接BH．

（1）求证：GF＝GC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

4．（2017•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．

（1）若∠P AC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

5．（2016•北京）在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有P A＝PM，小茹把这个猜想与同学

们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明P A＝PM，只需证△APM是等边三角形；

想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明P A＝PM，只需证△ANP≌△PCM；

想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证P A＝PM，只需证P A＝CK，PM＝CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明P A＝PM（一种方法即可）．

一．解答题（共40小题）

1．（2020•丰台区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．

（1）当α＝90°时，

①依题意补全图形；

②求证：PD＝2PB；

（2）写出一个α的值，使得PD=√3PB成立，并证明．

2．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE=

1

2∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．

（1）如图1，

①依题意补全图1；

②求证：CF＝BD．

（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．

一年模拟新题

3．（2020•朝阳区三模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点P在线段BA的延长线上，作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，点D关于直线AB的对称点为E，连接PE并延长PE到点F，使EF＝AC，连接CF．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：AD＝CF；

（3）若AC＝2，点Q在直线AB上，写出一个AQ的值，使得对于任意的点P总有QD＝QF，并证

明．

4．（2020•北京二模）已知菱形ABCD中，∠A＝60°，点E为边AD上一个动点（不与点A，D重合），点F在边DC上，且AE＝DF，将线段DF绕着点D逆时针旋转120°得线段DG，连接GF，BF，EF．（1）依题意补全图形；

（2）求证：△BEF为等边三角形；

（3）用等式表示线段BG，GF，CF的数量关系，并证明．

5．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：∠APN＝∠OMP；

（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．

6．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A 为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：AD＝AE；

（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．

①求证：AE∥CF；

②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数

为°．

7．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．

（1）依题意将图形补全；

（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG=√2DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：

想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；

想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，

证明HF＝EG；

…

请参考以上想法，帮助小华证明EG=√2DF．（写出一种方法即可）