圆的一般方程 课件

(－1,5)，(5,5)，(6，－2)得
－5DD＋＋55EE＋＋FF＝＝－－5206，， 6D－2E＋F＝－40，
解得DE＝＝－－24，， F＝－20.
所以圆的方程是 x2＋y2－4x－2y－20＝0.
第四章 4.1 4.1.2
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又圆心在第二象线，所以－D2 <0，即 D>0， 所以DE＝＝－2，4， 所以圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3 ＝0. [答案] (1)C
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规律总结：求圆的方程有以下两种方法． (1)几何法．利用圆的几何性质确定出圆心和半径． (2)待定系数法．大致步骤为： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
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5．圆(x－1)2＋(y＋ 3)2＝2 的圆心坐标与半径是( )
A．(1， 3)，2
B．(－1， 3)， 2
C．(1，－ 3)， 2
D．(－1，－ 3)，2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ[答案] C
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新知导学 1．圆的一般方程 (1)方程：当 D2＋E2－4F>0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 叫做圆的一般方程，其中圆心为__C_(_－__D2_，__－__E2_)__，半径为 r ＝_12___D_2_＋__E_2_－__4_F___. (2)说明：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆．当且 仅当_D_2_＋__E_2_－__4_F_>_0__时，表示圆：当 D2＋E2－4F＝0 时，表示 一个点_(－__D_2_，__－__E2_)__；当 D2＋E2－4F<0 时，不表示任何图形．
(2)圆心 C(－D2 ，－E2)，
因为圆心在直线 x＋y－1＝0 上，
所以－D2 －E2－1＝0，即 D＋E＝－2，
①
又 r＝ D2＋2E2－12＝ 2，所以 D2＋E2＝20，
②
由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4， .
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(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤： ①根据题意，选择_标__准__方__程___或_一__般__方__程___； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的__方__程__组____； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程． [破疑点] 若一个二元方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝ 0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－ 4F>0.
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3．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，点M是OP(O是原 点)的中点，则动点M的轨迹方程是________．
[答案] x2＋y2＝1 [解析] 设 M(x，y)，则 x＝x20，y＝y20，∴x0＝2x，y0＝2y， 即 P(2x,2y)．又 P 是圆 x2＋y2＝4 上的动点，则(2x)2＋(2y)2＝4， 即动点 M 的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
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求轨迹方程
等腰三角形的顶点是 A(4,2)，底边一个端点是 B(3,5)，求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
[分析] 先设出点C的坐标(x，y)，根据|AB|＝|AC|列方程化 简整理，即可得点C的轨迹方程，然后由轨迹方程指明轨迹．
(2)当 a2＋4a2－4(54a2＋a－1)>0 时表示圆的方程，故－a＋ 1>0，解得 a<1.
[答案] (1)B (2)A
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规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的 步骤是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2 与y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F 是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数 即可．
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2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
剖析：已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点 M 在圆外 点 M 在圆上 点 M 在圆内
[解析] 设另一端点C的坐标为(x，y)． 依题意，得|AC|＝|AB|. 由两点间距离公式，则
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x－42＋y－22＝ 4－32＋2－52，整理得(x－4)2＋(y －2)2＝10.
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又 因为 A，B，C 为三角形的三个顶点，所以 A，B，C 三点不共 线．即点 B，C 不能重合且 B，C 不能为圆 A 的一直径的两个 端点．
6．求满足下列条件的各圆的方程． (1)圆心在原点，半径是 3； (2)圆心在点(－2,1)，半径是 7； (3)经过点 P(－3,4)，圆心在点 C(2,5)．
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[解析] (1)x2＋y2＝3. (2)(x＋2)2＋(y－1)2＝49. (3)因为圆的半径 r＝|CP|＝ －3－22＋4－52＝ 26， 圆心在点(2,5)，所以圆的方程是(x－2)2＋(y－5)2＝26.
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4.1.2 圆的一般方程
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●温故知新 旧知再现 1．圆的标准方程为__(_x_－__a_)2_＋__(_y_－__b_)2_＝__r_2(_r_>_0_)__ ． 2．用待定系数法求圆的标准方程步骤如下： (1)由题意设出标准方程；(2)列出关于a、b、r的方程(或方 程组)；(3)解出a、b、r代入标准方程． 3．由几何意义求圆的标准方程步骤如下： (1)由题意确定圆心和半径长；(2)写出标准方程． 4．平面几何中的结论：不共线的_三__点___确定一个圆．
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
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2.轨迹方程 点M的坐标(x，y)满足的_关__系__式____称为点M的轨迹方程． [拓展] 当动点M的变化是由点P的变化引起的，并且点P 在某一曲线C上运动时，常用中间量法(又称为相关点法)来求动 点M的轨迹方程，其步骤是：(1)设动点M(x，y)；(2)用点M的 坐标来表示点P的坐标；(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方 程，即得动点M的轨迹方程．
C．－2<a<23
D．－2<a<0
[分析] (1)怎样由圆的一般方程得出其圆心和半径？
(2)题2中二元二次方程在什么件下表示圆？
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[解析] (1)将圆的方程化为标准方程：(x－1)2＋(y＋2)2＝ 5，可知其圆心坐标是(1，－2)．
(2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征 明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方 程，代数特征明显．
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求圆的方程
(1)过三点 A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圆的方 程是( )
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注：不论是圆的标准方程还是一般方程，必须具备三个独 立条件，才能确定一个圆．在选择圆的标准方程或一般方程 时：如果由已知条件容易知圆心坐标、半径长或可用圆心、半 径长列方程，通常设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标 或半径长都无直接关系，通常选择一般方程．而利用圆的几何 性质及数形结合思想又易于寻找解题思路．
[分析] (1)题1中三点与圆心、半径无直接联系，应怎样 设出圆的方程？
(2)圆的一般方程中含有几个待定系数，在求圆的方程时如 何求出待定系数？
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[解析] (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 分别代入
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互动课堂
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●典例探究
二元二次方程与圆的关系
(1)(2013～2014·荆州高二检测)圆 x2＋y2－2x＋
4y＝0 的圆心坐标为( )
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因为 B，C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)． 又因为 B，C 不能为一直径的两个端点， 所以x＋2 3≠4，且y＋2 5≠2， 即点 C 不能为(5，－1)． 故端点 C 的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5) 和(5，－1))，它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去(3,5)和(5，－1)两点．
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[拓展] 1.圆的标准方程和一般方程的对比 (1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆 心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显． (2) 由 圆 的 一 般 方 程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(D2 ＋ E2 － 4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数 特征明显． (3)相互转化，如图所示．
A．(1,2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(－1，－2)
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(2)(2013～2014·绵阳高二检测)方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋54a2
＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取值范围是( )
A．a<1
B．a>1
A．x2＋y2＋4x－2y－20＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－20＝0 C．x2＋y2－4x－2y－20＝0 D．x2＋y2＋4x＋4y－20＝0
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(2)(2013～2014·吉林高一检测)已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey ＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上，且圆心在第二象限，半径 为 2，求圆的一般方程．
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2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值
范围是( )
A．R
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵D2＋E2－4F>0，∴16＋4－20k>0，
∴k<1，故选B.
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●自我检测
1．圆 x2＋y2－4x－1＝0 的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5
B．(2,0)， 5
C．(0,2)， 5
D．(2,2)，5
[答案] B
[解析] (x－2)2＋y2＝5，圆心坐标为(2,0)，半径为 5.