高二数学下学期期中试卷(含解析)(2021年整理)

安徽省宿州市泗县2016-2017学年高二数学下学期期中试卷（含解析）编辑整理：
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2016-2017学年安徽省宿州市泗县高二（下)期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知结论“圆x2+y2=r2（r＞0）上一点P(x0，y0）处切线方程为”．类比圆的这个结论得到关于椭圆在点P（x0,y0）的切线方程为．
2．函数f(x）=2x+x﹣7的零点所在的区间是（k，k+1)，k∈Z，则k= ．
3．观察下列式子：据其中规律，可以猜想出：．
4．已知数列{a n｝满足a1=2，a n+1=(n∈N*)，则a n= ．
5．lg25+lg2•lg50+（lg2)2= ．
6．二次函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2(m∈R）的两个零点分别分布在区间（0,1)和（1，2）内，则实数m的取值范围为．
7．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x﹣2）+f（2），且当x∈时，f(x）=2x﹣4，令函数g（x)=f(x）﹣m，若g（x）在区间上有6个零点，分别记为x1，x2，x3,x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6= ．
8．已知集合A=｛1,2,3，4，5}，B=｛1,3}，则A∩B= ．
9．幂函数f(x）=xα过点，则= ．
10．已知复数z=4﹣3i，则｜z｜= ．
11．函数的定义域为．
12．计算复数= ．
13．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°"时，假设命题的结论不成立的正确叙述是（填序号）．
①假设三个角都不大于60°；②假设三个角都大于60°；
③假设三个角至多有一个大于60°；④假设三个角至多有两个大于60°．
14．已知f（x）=2｜x+1｜﹣2,当f（f（x）)=mx有四个解时，实数m的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知集合A=｛x|1≤x≤2｝，B=｛x|m≤x≤m+3｝．
（1）当m=2时，求A∪B；
（2）若A⊆B,求实数m的取值范围．
16．已知复数z=（m2+3m﹣4）+(m2﹣2m﹣24)i（m∈R）．
（1）若复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m的值;
（2）若复数z为纯虚数，求实数m的值．
17．沭阳县某水果店销售某种水果，经市场调查，该水果每日的销售量y（单位:千克）与销售价格x近似满足关系式y=10（7﹣x）﹣，其中3＜x＜7，a为常数，已知销售价格定为4元/千克时，每日可销售出该水果32千克．
(1）求实数a的值;
（2）若该水果的成本价格为3元/千克，要使得该水果店每日销售该水果获得最大利润，请你确定销售价格x的值，并求出最大利润．
18．（1）已知椭圆方程为=1，点．
i．若关于原点对称的两点A1（﹣2，0）,B1（2，0），记直线PA1，PB1的斜率分别为
，试计算的值；
ii．若关于原点对称的两点，记直线PA2，PB2的斜率分别为,试计算的值；
（2）根据上题结论探究：若M，N是椭圆=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM，QN的斜率都存在，并分别记为k QM,k QN,试猜想k QM•k QN的值，并加以证明．
19．已知函数f（x)=log3为其定义域内的奇函数．
（1)求实数a的值；
(2）求不等式f（x）＞1的解集;
（3）证明：为无理数．
20．已知a∈R，函数．
（1）当a=1时，解不等式f(x）＞4;
(2)若f（x）＞2﹣x在x∈恒成立，求a的取值范围；
（3)若关于x的方程f（x）﹣2（a﹣4)x+2a﹣5=0在区间（﹣2，0）内的解恰有一个，求a的取值范围．
2016-2017学年安徽省宿州市泗县二中高二（下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知结论“圆x2+y2=r2（r＞0）上一点P（x0，y0）处切线方程为"．类比圆的这个结论得到关于椭圆在点P（x0，y0）的切线方程为．
【考点】F3:类比推理．
【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程为，类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2,用y0y代y2，即可得．
【解答】解:类比过圆上一点的切线方程,圆x2+y2=r2（r＞0）上一点P（x0，y0）处切线方程为
,
可合情推理：
过椭圆在点P（x0，y0）的切线方程为：
．
故答案为：．
2．函数f（x）=2x+x﹣7的零点所在的区间是（k，k+1），k∈Z，则k= 2 ．
【考点】51：函数的零点．
【分析】利用根的存在性确定函数零点所在的区间，然后确定k的值．
【解答】解；因为f（x）=2x+x﹣7,
所以f(2）=22+2﹣7=6﹣7=﹣1＜0,
f（3）=32+3﹣7=12﹣7=5＞0，
所以函数零点所在的区间为（2,3），所以k=2．
故答案为：2．
3．观察下列式子：
据其中规律，可以猜想出:．
【考点】F1：归纳推理．
【分析】由题意可得不等式的右边是分子从3开始的奇数列，分母从2开始连续正整数，问题得以解决
【解答】解：由题意可得不等式的右边是分子从3开始的奇数列,分母从2开始连续正整数，故可以猜想出：，
故答案为：．
4．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=(n∈N＊），则a n= ．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】由已知求出倒数关系式，从而得到新数列是首项为,公差为的等差数列，由此能求出a4．
【解答】解：∵数列{a n｝满足:a1=2，a n+1=(n∈N＊），
∴=+，
∴｛}是首项为，公差为的等差数列,
∴=+（n﹣1）=n，
∴a n=，
故答案为:．
5．lg25+lg2•lg50+（lg2）2= 2 ．
【考点】4H：对数的运算性质．
【分析】我们对后两项提取公因式lg2，根据对数的运算性质：lg25=lg（52）=2lg5，lg50+lg2=lg100，我们可将原式化为2（lg5+lg2)形式，进而得到答案．
【解答】解:lg25+lg2•lg50+（lg2)2
=lg25+lg2•(lg50+lg2）
=lg（52）+lg2•lg（50•2）
=lg(52）+lg2•lg
=2
故答案为:2
6．二次函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2（m∈R）的两个零点分别分布在区间(0,1）和（1，2)内，则实数m的取值范围为（﹣4,﹣2) ．
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】由函数零点的判定定理列出不等式组，求得实数m的取值范围．
【解答】解：由题意可知:二次函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2(m∈R)的两个零点
分别在区间(0，1)和(1，2），
，即，解得：﹣4＜m＜﹣2，
∴实数m的取值范围（﹣4，﹣2），
故答案为：(﹣4，﹣2)．
7．已知函数y=f（x)是R上的偶函数，满足f（x+2）=f(x﹣2）+f（2），且当x∈时，f（x）=2x﹣4,令函数g(x）=f（x）﹣m，若g（x）在区间上有6个零点，分别记为x1,x2，x3，x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6= ﹣24 ．
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】求出f(x）的周期，利用周期作出f（x）的函数图象，根据图象和对称性得出零点之和．
【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，满足f(x+2）=f（x﹣2)+f(2），
∴f(2）=f（﹣2）+f(2），∴f（2）=0．
∴f(x+2）=f（x﹣2），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期为4．
作出f（x）在上的函数图象如图所示：
由图象可知f(x）在上有3条对称轴x=﹣8，x=﹣4，x=0，
∴6个零点之和为2×（﹣8）+2×（﹣4）+2×0=﹣24．
故答案为：﹣24．
8．已知集合A=｛1,2，3，4，5},B={1,3}，则A∩B= ｛1，3} ．
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】直接由交集的运算性质得答案．
【解答】解：集合A={1,2，3，4,5｝，B=｛1，3},
则A∩B={1，2,3，4，5｝∩｛1，3｝=｛1，3｝．
故答案为:{1，3｝．
9．幂函数f（x）=xα过点，则= ．
【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数f(x）=xα（α为常数）的图象过点P(3，)，可求出α的值，然后将代入解析式可求出f(）的值．
【解答】解：∵幂函数f(x）=xα（α为常数）的图象过点P(3,)，
∴f（3)=3α==3﹣2，即α=﹣2，
∴f（x）=x﹣2，
∴f（)===．
故答案为:．
10．已知复数z=4﹣3i，则｜z｜= 5 ．
【考点】A8：复数求模．
【分析】利用模的计算公式即可得出．
【解答】解：｜z|==5，
故答案为:5．
11．函数的定义域为(1,2] ．
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
,
解得：1＜x≤2，
故函数的定义域是（1,2］，
故答案为：（1，2］．
12．计算复数= 1+2i ．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi(a，b∈R）的形式．
【解答】解：复数=
故答案为:1+2i．
13．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是②（填序号）．
①假设三个角都不大于60°；②假设三个角都大于60°；
③假设三个角至多有一个大于60°；④假设三个角至多有两个大于60°．
【考点】FD：反证法的应用．
【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是:三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案．
【解答】证明:用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，
应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，
故答案为：②．
14．已知f（x）=2|x+1|﹣2，当f（f（x））=mx有四个解时，实数m的取值范围是(0，）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】求出f（f（x））的解析式，作出y=f（f（x））与y=mx的函数图象，根据函数图象的交点个数判断m的范围．
【解答】解:令f（x）≤﹣1，即2|x+1｜﹣2≤﹣1,解得﹣≤x≤﹣，
∴f（f（x）)=2|f（x)+1|﹣2=﹣2f（x）﹣2﹣2=﹣2f（x）﹣4=﹣2﹣4=﹣4|x+1|，
令f(x）＞﹣1,即2｜x+1｜﹣2＞﹣1，解得x＜﹣或x＞．
∴f(f（x））=2｜f（x）+1｜﹣2=2f（x）=4|x+1｜﹣4，
作出y=f（f（x）)和y=mx的函数图象如图所示：
∵f(f（x))=mx有四个解，
∴0＜m＜，
故答案为:（0，）．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
15．已知集合A=｛x｜1≤x≤2｝，B=｛x｜m≤x≤m+3}．
（1)当m=2时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．
【考点】1D：并集及其运算；18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】（1)m=2时,可以求出集合B，然后进行并集的运算即可；
（2)根据A⊆B便可得出，解该不等式组即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：（1)当m=2时，B=｛x|2≤x≤5};
∴A∪B={x|1≤x≤2｝∪｛x|2≤x≤5｝={x｜1≤x≤5｝；
（2）∵A⊆B;
∴；
解得﹣1≤m≤1；
∴实数m的取值范围为．
16．已知复数z=（m2+3m﹣4）+（m2﹣2m﹣24）i（m∈R)．
(1）若复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m的值；
(2）若复数z为纯虚数，求实数m的值．
【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】(1）复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，可得m2+3m﹣4=m2﹣2m﹣24,解得 m．（2）复数z为纯虚数，可得．
【解答】解：（1）∵复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，
∴m2+3m﹣4=m2﹣2m﹣24,…．…．
解得 m=﹣4…。

…．
（2）∵复数z为纯虚数，∴…．…．…
….。

…．
解得m=1…．
17．沭阳县某水果店销售某种水果，经市场调查,该水果每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x近似满足关系式y=10（7﹣x)﹣，其中3＜x＜7，a为常数，已知销售价格定为4元/千克时，每日可销售出该水果32千克．
（1）求实数a的值；
（2)若该水果的成本价格为3元/千克，要使得该水果店每日销售该水果获得最大利润,请你确定销售价格x的值，并求出最大利润．
【考点】5D：函数模型的选择与应用．
【分析】（1）利用方程,代入数据求解即可．
（2）求出销售量为（3＜x＜7），设利润为L(x)，则
，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解 (1）由题意知当x=4时，y=32,
所以得…．
解得 a=﹣2…．…
（2）由（1）知销售量为（3＜x＜7）,
设利润为L（x），则
得 L(x）=﹣10x2+100x﹣208(3＜x＜7)．…
即L（x）=﹣10（x﹣5）2+42
所以当x=5时，利润L(x）最大，最大值为42．…
答:当销售价格定为5元/千克时,日获得利润最大为42元．…
18．（1）已知椭圆方程为=1,点．
i．若关于原点对称的两点A1（﹣2，0),B1（2，0），记直线PA1，PB1的斜率分别为
，试计算的值；
ii．若关于原点对称的两点,记直线PA2，PB2的斜率分别为，试计算的值；（2）根据上题结论探究:若M，N是椭圆=1(a＞b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM，QN的斜率都存在，并分别记为k QM，k QN，试猜想k QM•k QN 的值，并加以证明．
【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题;KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】(1）i．求出直线PA1，PB1的斜率分别为,计算求解即可．
ii．求解直线PA2，PB2的斜率分别为,然后求解的值即可．
（2)猜想，设点M（m，n），则点N（﹣m,﹣n），从而，设点Q（x，y），求出斜率，然后代入化简求解即可．
【解答】解：（1）i．因为
，
所以…．
ii．因为，
所以…。

.
(2)猜想…。

.…
证明：设点M（m，n），则点N（﹣m，﹣n）,从而，设点Q(x，y)，由，…
得,（*）
由，，…。

.…
代入（＊）式得
所以…
19．已知函数f(x）=log3为其定义域内的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式f（x）＞1的解集；
（3）证明：为无理数．
【考点】FD:反证法的应用；7E：其他不等式的解法．
【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出a的值，
（2）根据对数函数的性质，并注意对数函数的定义域，
(3）利用反证法证明即可．
【解答】解（1）因为f（x）为其定义域内奇函数，
所以 f(x）+f（﹣x）=0，
即…．…．…。

…．即…。

.…．
所以 1﹣x2=a2﹣x2⇒a=±1…．…
当a=﹣1时，对数无意义，故舍去，
所以a=1…6分
（2）的定义域为（﹣1,1）…
由f（x）＞1,得，
∴…．…．
又因为f（x）的定义域为（﹣1，1）
所以f（x）＞1得解集为…
（3）证明：（log32＞0）…..…．
假设log32为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的,
设（其中m，n为两个互质的正整数）…．…
得，即3n=2m(*），
因为m，n为两个互质的正整数，
所以3m为奇数，2n为偶数，显然奇数不等于偶数，
所以（＊）式不成立…
所以假设不成立，
所以为无理数…
20．已知a∈R，函数．
（1）当a=1时，解不等式f（x)＞4；
（2）若f（x）＞2﹣x在x∈恒成立，求a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）﹣2(a﹣4）x+2a﹣5=0在区间（﹣2,0)内的解恰有一个，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．
【分析】（1)将a=1代入f(x），解不等式即可;
（2)问题转化为在恒成立，令，根据函数的单调性求出a 的范围即可；
（3）问题转化为（x﹣1）=0,通过讨论a的范围,结合方程解的个数，确定a的范围即可．【解答】解:（1）当a=1时，,
由f(x）＞4得，…。

.
所以,
即不等式的解集是（0，1）．…
（2）因为f（x）＞2﹣x在恒成立，
即在恒成立，
即在恒成立，
即在恒成立…。

令，由在恒成立，
所以g（x）在区间单调递增,…
所以g(x）的最小值为，
所以，即…。

…．…
（3）由题意得
所以，
即（a﹣4）x2+（2a﹣5）x﹣1=0，
即（x﹣1)=0…．
①当a=4时，x=﹣1∈（﹣2，0），满足题意；…．
②当a≠4时，
i．，即a=3，满足题意；…
ii．或解或a＞4。

从而…。