甘肃省白银市会宁县第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析).doc

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会宁一中2021-2022度第一学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U ={0,1,2,3,4,5,6},集合A ={0,1,2,3},B ={3,4,5},则(∁U A)∩B 等于 A. {3}
B. {4,5}
C. {4,5,6}
D.
{0,1,2}
【答案】B 【解析】 【分析】
首先进行补集运算,然后进行交集运算即可. 【详解】由补集的定义可得:{}4,5,6U C A =, 则(){}4,5U C A B ⋂=. 本题选择B 选项.
【点睛】本题主要考查补集的运算,交集的运算,属于基础题.
2.函数()()ln 1f x x =-的定义域为( )
A. [
)2,1- B. (]2,1-
C. []2,1-
D. ()1,+∞
【答案】A 【解析】
依题意有20
10x x +≥⎧⎨->⎩
,解得[)2,1x ∈-.
3.下列四组函数,表示同一函数的是( )
A. ()()f x x g x ==,
B. ()()2
lg 2lg f x x g x x ==,
C. ()()f x g x ==
D. ()()f x x g x ==
,【答案】D 【解析】
结合同一函数的概念,抓住定义域相等和对应关系相同来判断 【详解】对A ,(
)g x x =
=,()(),f x g x 对应关系不同,排除;
对B ,定义域不同,()f x 中0x ≠,()g x 中0x >,排除;
对C , ()f x 中2x ≥,()g x 中2x ≥或2x -≤,定义域不同,排除; 对D ,(
)g x x ==,()(),f x g x 定义域和对应关系都相同;
故选:D
【点睛】本题考查同一函数的判断方法,掌握两个基本原则:定义域相同,对应关系相同(化简之后的表达式相同),属于基础题 4.已知函数()2
210
30
x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,,且()03f x =,则实数0x 的值为( ) A. -1 B. 1
C. -1或1
D. -1或

13
【答案】C 【解析】 【分析】
结合分段函数解析式进行分类讨论即可求解自变量
【详解】当00x ≥时,002131x x +=⇒=;当0x <时,2
02003113x x x =⇒=⇒=±,则
01x =-
综上所述,0x 的值为-1或1; 故选:C
【点睛】本题考查分段函数中具体函数值的求法,属于基础题 5.定义运算:,,a a b a b b a b
≤⎧*=⎨>⎩,则函数()22x x
f x -=*的值域为
A. R
B. (0,+∞)
C. [1,+∞)
D. (0,1]
【答案】D 【解析】
首先得到函数的解析式,然后结合函数图像确定函数的值域即可. 【详解】由题意可得:()2,222*2
2,22
x x x x
x
x x x f x ----⎧≤==⎨>⎩, 绘制函数图像如图中实线部分所示,观察可得,函数的值域为(]0,1. 本题选择D 选项.
【点睛】本题主要考查指数函数的性质,函数值域的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.函数()()
2
2log 2f x x x =--的单调递减区间是( )
A. ()1-∞-,
B. 12⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦

C. 122⎡⎫⎪⎢⎣⎭

D.
()2+∞,
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复合函数“同增异减”的性质求解即可
【详解】由()()
2
2log 2f x x x =--,外层函数()2log f t t =为增函数,故内层函数
22t x x =--应在符合定义域的基础上求单减区间,优先满足
()()220210x x x x -->⇒-+>,即2x >或1x <-,当1x <-时,t 单调递减;
故选:A
【点睛】本题考查复合函数增减区间的求法,熟记“同增异减”是解题的关键,属于基础题
7.设偶函数()f x 的定义域为R ,当()0x ∈-∞,时,()f x 单调递减,则()2f -、()f π、
()3f -的大小关系是( )
A. ()()()23f f f π<-<-
B. ()()()23f f f π>->-
C. ()()()32f
f f π<-<-
D. ()()()32f
f f π>->-
【答案】D 【解析】 【分析】
由偶函数的性质和函数的增减性辅以图像求解即可 【详解】由题可画出拟合图像(不唯一),如图:
可知,当x 越大,函数值越大,因32π>->-,故()()()32f f f π>->-
故选:D
【点睛】本题考查由函数的增减性与奇偶性解不等式,属于基础题
8.在同一坐标系中,函数1
()x
y a
=与log ()a y x =-(其中0a >且1a ≠)的图象的可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
【详解】对底数a 讨论。

如果a>1,则指数函数单调递减,对数函数递减,没有选项符合。

当0<a<1,则指数函数递增,对数函数递减, 故选择C
9.设25a b m ==,且11
2a b
+=,则m = ( ) 10 B. 10
C. 20
D. 100
【答案】A 【解析】 【分析】
将指数式化为对数值,然后利用对数运算公式化简11
2a b
+=,由此求得m 的值. 【




25a b m
==得
25log ,log a m b m
==,


11
log 2log 5log 102m m m a b
+=+==,210,10m m == A. 【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化,考查对数运算,属于基础题. 【此处有视频,请去附件查看】
10.已知()()2131
1
x a x a x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩,,,若()f x 在R 上单调递减,那么a 的取值范围是
( )
A. ()01,
B. 102⎛
⎫ ⎪⎝⎭

C. 114⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D.
1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭
, 【答案】D
【解析】 【分析】
根据减函数性质求解,函数应在每一段都是减函数,结合临界点建立不等关系即可求解
【详解】
()()21311x a x a x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩
,,是R 上的减函数,故满足()1210012113a a a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪-⨯+≥⎩

解得1142a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
,;
故选:D
【点睛】本题考查由函数的增减性确定参数取值范围问题,分段函数若要满足是增(减)函数,则每一段必须符合增(减)函数性质,同时要注意结合临界点的取值建立不等关系,属于中档题
11.函数()3log 3f x x x =+-的
零点所在的区间是( )
A. ()0,2
B. 1,2
C. ()2,3
D. ()3,4
【答案】C 【解析】
由于3(2)log 210,(3)10f f =-=,故选C
12.已知()f x 是R 上的偶函数,且在(]
,0-∞是减函数,若()30f =,则不等式()()
0f x f x x
+-<的解集是 ( )
A. ()(),33,-∞-⋃+∞
B. ()()3,03,-⋃+∞
C. ()(),30,3-∞-⋃
D. ()()3,00,3-⋃
【答案】C 【解析】
因为y =f (x )为偶函数,所以
()()
0f x f x x
+-<等价为
()20f x x
<,
所以不等式等价为{x >0f (x )<0或{x <0f (x )>0.
因为函数y =f (x )为偶函数,且在(−∞,0]上是减函数,又f (3)=0, 所以f (x )在[0,+∞)是增函数,则对应的图象如图:
所以解得x <−3或0<x <3,
即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3). 故选:C.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知()x
f e
x =,则()5f 等于__________.
【答案】ln 5 【解析】 【分析】
可根据函数对应关系进行求解
【详解】由函数的对应关系,当5x e =时,ln5x =,由()x
f e x =可得()ln 5x
f e =
故答案为:ln 5
【点睛】本题考查具体函数值的求法,属于基础题
14.函数log (23)4a y x =-+的图像恒过定点A ,且点A 在幂函数()f x 的图像上,则
(3)f =__________.
【答案】9 【解析】
log 10,a =∴当231x -=,即2x =时,4,y =∴点定点A 的坐标是()2,4P ,幂函数()f x x α=图象过点()2,4A ,42α∴=,
解得2α=,∴幂函数为()2f x x =,则()39f =,故答案为9.
15.如果函数()()2
232f x x a x =+-+在区间(]4-∞,
上是单调减函数,那么实数a 的取值范围是______.
【答案】1a ≤- 【解析】 【分析】
先求二次函数的对称轴,再由对称轴和4的大小关系建立不等式进行求解
【详解】()()2232f x x a x =+-+的对称轴为3x a =-,若要满足函数在区间(]
4-∞,
上是单调减函数,则需满足34a -≥,即1a ≤- 故答案为:1a ≤-
【点睛】本题考查二次函数的增减性与对称轴的关系,明确在对称轴处增减性发生变化是解题关键,属于基础题
16.直线y a =与曲线2
y x x =-有四个交点,则a 的取值范围为________.
【答案】104⎛⎫
⎪⎝⎭
-, 【解析】 【分析】
可先判断函数的奇偶性,再结合二次函数性质画出图形,采用数形结合方法即可求解 【详解】由题2
y x x =-可知,函数为偶函数,当0x >时,2
y x x ,画出函数图像,
再根据函数为偶函数,根据对称性画出另一半函数图像,如图:
函数()2
y f x x x ==-的最小值为:111224f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,要使函数图像与y a =有四个
交点,则需满足104a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
-,
故答案为:104⎛⎫
⎪⎝⎭
-
, 【点睛】本题考查由函数交点个数求解参数问题,数形结合的思想,属于中档题
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知集合{}
123A x a x a =-≤≤+,{}
14B x x =-≤≤,全集U =R . (1)当1a =时,求()
U C A B ;
(2)若A B ⊆,求实数a 的取值范围.
【答案】(1){}
()45U C A B x x x ⋃=≤>或;(2)4a 或1
02
a ≤≤.
【解析】 【分析】
(1)当1a =时,根据补集和并集的概念和运算,求得()
U C A B .
(2)由于A B ⊆,故将集合A 分为A =∅,和A ≠∅两种情况列不等式,解不等式求得a 的取值范围.
【详解】(1)当1a =时,集合{}
05A x x =≤≤,{}
14B x x =-≤≤,
{}()45U C A B x x x ⋃=≤>或.
(2)若A B ⊆,则①A =∅时,123a a ->+,∴4a

②A ≠∅,则4a ≥-且11a -≥-,234a +≤,∴102a ≤≤,
综上所述,4a
或102
a ≤≤.
【点睛】本小题主要考查集合补集和并集的概念及运算,考查根据集合的包含关系求参数,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题. 18.计算下列各式的值:
(1)
5log 3231
lg 25lg 2log 9log 252
++⨯-;
(2)()
21
0.5
23
2
3
341350.00889505--
-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-+÷⨯
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
. 【答案】(1)72-;(2)1
9
【解析】 【分析】
结合指数和对数的基本运算化简求值即可
【详解】(1)原式17
lg 22322
=+--=- (2)原式
2
21
32
8491
27955
-
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝

47171
252
9399
=-+=-+=
【点睛】本题考查指数与对数的基本运算性质,熟记公式,熟练运用对数的化简式,对数恒等式,正分数指数幂,负分数指数幂的化简是最基本的要求,属于基础题
19.已知函数()
m
f x x
x
=+,且此函数图像过点()
15,.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数()
f x在[]
2+∞
,上的单调性?并证明你的结论.
【答案】(1)4
m=;(2)在[)
2+∞
,是增函数,见解析
【解析】
【分析】
(1)将()
15,点代入即可求解;
(2)利用函数增减性的定义进行证明即可判断
【详解】(1)∵()
f x过点()
15,,∴154
m m
+=⇒=.
(2)任意取12
2x x
≤≤则()()
()()
1212
1212
1212
4
44x x x x
f x f x x x
x x x x
--
-=+--=,
∵12
2x x x
≤≤,∴
12
x x
-<,
12
4
x x>,∴()()
12
f x f x
-<,
∴()
f x在[)
2+∞
,是增函数.
【点睛】本题考查函数解析式的求法,函数增减性的证明,属于基础题
20.已知()
f x是定义在R上的偶函数,且0
x≥时,()()
2
log1
f x x
=+.
(1)求函数()
f x解析式;
(2)若()()
250
f a f a
---<,求a的取值范围.
【答案】(1)()
()()
()()
2
2
log10
log10
x x
f x
x x
⎧+≥

=⎨
-+<
⎪⎩


;(2)
7
2
⎛⎫
-∞

⎝⎭

【解析】
【分析】
(1)由偶函数性质,可先假设0
x<,则0
x
->,将x
-代入大于零的区间对应的表达式,
结合函数解析式和奇偶性化简即可求得;
(2)结合函数的增减性和奇偶性,由对称条件解不等式即可
【详解】(1)设0x <,则0x ->,∴()()()2log 1f x x f x -=-+= ∴0x <时,()()2log 1f x x =-+
∴()()()()()22
log 10log 10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩,,
(2)∵()()2log 1f x x =+在[
)0+∞,
上为增函数,∴()f x 在(),0-∞上为减函数. 由于()()25f a f a -<-,∴25a a -<-,∴7
2
a <. ∴a 的取值范围是72⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
,.
【点睛】本题考查由奇偶性求解解析式,根据函数的奇偶性和增减性解不等式,属于中档题 21.函数2
()1ax b
f x x +=
+是定义在()1,1-上的奇函数,且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式;.
(2)若()f x 在()1,1-上是增函数,求使()
2
(1)10f m f m -+-<成立的实数m 的取值范
围.
【答案】(1) 2
()1x
f x x
=+,(1,1)x ∈-
. (2) (. 【解析】 【分析】
(1)根据奇函数的定义得到()00f =,由此求得b 的值,再结合12
25
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭列方程求得a 的值,由此求得()f x 的解析式.(2)利用函数的奇偶性化简()(
)2
110f m f m
-+-<,
得到()()
2
11f m f m -<-,再根据函数的定义域和单调性列不等式组,解不等式组求得m
的取值范围.
【详解】解:(1)∵函数()2
1ax b
f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数, ∴()00,f =,∴0b =,
∴()2
1ax
f x x =
+,()1,1x ∈-, 又因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即21225112a
=⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
,所以1a =, 经检验,()2
1x
f x x =+(()1,1x ∈-)是奇函数, ∴()2
1x
f x x
=
+,()1,1x ∈-. (2)因为()f x 在()1,1-上是奇函数,所以(
)()
2
2
11f m f m
-=--.
因为()(
)2
110f m f m
-+-<,所以()()
2
110f m f m
---<,
即()()
2
11f m f m -<-,
又因为()f x 在()1,1-上是增函数,
所以221121
1110211100m m m m m m m m m ⎧⎧-<--⎪⎪
-<-<⇒<<⎨⎨⎪⎪-<-<<<<<⎩⎩或或,
所以不等式的解集为(.
【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数解析式,考查函数的单调性,考查函数不等式的求解策略,属于中档题.
22.已知函数()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,函数()g x 的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称.
(1)若(
)
2
21g mx x ++的定义域为R ,求实数m 的取值范围;
(2)当[]11x ∈-,时,求函数()()2
23y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值()h a .
【答案】(1)()1m ∈+∞,;(2)()2742132213
14
2a a h a a a a a ⎧
⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪
⎪-<⎪⎩,,,
【解析】 【分析】
(1)根据指数函数和对数函数互为一对反函数即可求解()g x ,再结合一元二次不等式恒成立问题转化即可;
(2)采用换元法,令11222x
t t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,,,函数可转化为关于t

二次函数,再对a 与对
称轴的关系进行分类讨论,可进一步求解函数最值
【详解】(1)()12
log g x x =,
()(
)
22
12
21log 21g mx x mx x ++=++定义域为R , ∴2210mx x ++>恒成立,所以0440m m >⎧⎨
∆=-<⎩

,故()1
m ∈+∞, (2)令11222x
t t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,,,()222
233y t at t a a =-+=-+-, 当2a >时,可得,2t =时,min 74y a =-. 当
1
22
a ≤≤时,得t a =时,2min 3y a =-; 当12
a <
时,得12t =时,min 13
4y a =-, ∴()27421
32213
14
2a a h a a a a a ⎧
⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪
⎪-<⎪⎩,,,.
【点睛】本题考查反函数的求法,复合函数定义域的求法,一元二次不等式恒成立问题的转化,含参二次函数在给定区间最值的求法,属于难题。

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