广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中考试数学(理)(含答案)

佛山一中2019届高三年级期中考试题
数学（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1. 已知全集
，集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 设命题：若定义域为的函数
不是偶函数，则
，．命题：
在
上是减函数，在
A. 为假
B.
为真 C.
为真 D.
为假
3. 已知，
，则
A. B. C. D.
4. 函数
A. B.
C. D.
5. 已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点，则抛
A.
3 B.
3 C.
3 D. 23
6. 已知，为平面上的单位向量，与的起点均为坐标原点，与的夹角为面区域D 由所有满足的点P 组成，那么平面区域D 的
A.
B.
C.
D.
7. 设命题p ：实数,x y 满足||||1+≤x y ，q ：实数x ，y 满足2
111⎧≤-⎪⎪
≥-⎨⎪≥-⎪⎩
y x y x y ，则p 是q
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要
条件
8. 若实数a ，b ，c ，d 满足222
(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22
()()a c b d -+-的最小值
A.
2
B. 2
C. 22
D. 8
9. 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
10. 已知点A ，F ，P 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点、右焦点以及右支上的动
点，若2PFA PAF ∠=∠恒成立，则双曲线的离心率为
A. 2
B. 3
C. 2
D. 13+11. 设，若函数
在区间
上有三个零点，则实数的取值
A. B.
C.
D.
12. 设实数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-及()()f x f x =--，且在[0,1]上有2()f x x =，则
120192f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭________．
14. △ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b ＝3，c ＝2． O 为△ABC 的外心，________．
15. 已知点(1,2)P -及圆22(3)(4)4x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则||||PQ QT +的值为________．
16. 函数2
π
()4cos
cos()2sin |ln(1)|22
x f x x x x =---+的零点个数为________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. （本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4．
（1）求∠ACP ； （2）若△APB 的面积是
，求
．
18. （本小题满分12分）设抛物线2
4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8=AB ． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点． （1）证明：AE ⊥PD ；
（2）若PA ＝AB ＝2，求二面角E -AF -C 余弦值．
20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率1
2
e =，过焦点且垂直于x
轴的直线被椭圆截得的线段长为3． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为
1
2
的动直线l 与椭圆交于A ,B 两点，在平面上是否存在定点P ，使得当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，斜率之和是与l 无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分12分）设函数2
1()4ln (4)2
f x x ax a x =-+-，其中a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 存在极值，对于任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得
12012()()()(),f x f x f x x x '-=⋅-
试判断12x x +与02x 的大小关系并给出证明．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. （本小题满分10分）已知曲线1C 的参数方程1123x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线222
12
3s :in C ρθ
=+． (1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； (2)若1C 与2C 相交于A 、B 两点，设点(1,0)F ，求11||||
FA FB +的值．
23. （本小题满分10分）已知函数()|1||1|f x x x =++-．
(1)若0x R ∃∈，使得不等式0()f x m ≤成立，求实数m 的最小值M ； (2)在(1)的条件下，若正数a ，b 满足3a b m +=，求
11
2a a b
+
+的最小值． 佛山一中2019届高三年级期中考数学（理科）答案
一、选择题
二、填空题 13.14
- 14.
52
15. 4316. 2
三、解答题 17. （1）在中，因为
，
，
，
由余弦定理得，…………………………2分
所以，
整理得，
解得．所以
．…………………………………………………………………4分
所以是等边三角形．
所以．………………………………………………………………………………5分 （2）由于是
的外角，
所以．……………………………………………………………………………6分
因为的面积是
，
所以．………………………………………………………7分
所以．………………………………………………………………………………………8分 在
中，
所以．…………………………………………………………………………………10分
在中，由正弦定理得
，…………………………………11分
所以
．……………………………………………………12分
18. (1)设1221(,),(,)A y x y x B ，由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．…………………1分
由2(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． (2)
2
16160k ∆=+>，故1222
24
k
x k x ++=．…………………………………………………………3分 所以122244
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．…………………………………………4分
由题设知22
44
8k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =．……………………………………………5分 因此l 的方程为1y x =-．……………………………………………………………………………6分 (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，
所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．……………………………………8分
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则0022
0005,(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪
⎨-++=
+⎪⎩……………………………10分 解得00
3,2x y =⎧⎨=⎩或0011,
6.x y =⎧⎨=-⎩……………………………………………………………………………11分
因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=．……………………12分
19. （1）因为四棱锥
，底面为菱形，
，，分别是
，
的中点，
所以是等边三角形，
所以，…………………………………………1分
又因为在菱形中，
， 所以，…………………………………………2分
因为，
，所以
， (3)
分 因为，所以
，………………………………………………………
4分 因为，所以
． (5)
分
（2）由（）知，，两两垂直，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，分别为，
的中点，，所以
，
，，，，
，
，………………………………………………
……6分
所以，，………………………………………………………7分
设平面的一个法向量为，则
取，得，……………………………………………………………………9分因为，，，所以，
所以为平面的一个法向量．又，………………………………11分所以．
因为二面角为锐角，
所以所求二面角的余弦值为． (12)
分
20.(1) 设椭圆的半焦距为c，则222
c a b
=-，且
1
2
c
e
a
==．由22
22
,
1,
x c
x y
a b
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得
2
b
y
a
=±． (2)
分
依题意，
2
2
3
b
a
=，于是椭圆的方程为
22
1
43
x y
+=． (4)
分
(2)设
1122
11
,,,
22
A x x t
B x x t
⎛⎫⎛⎫
++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，设
1
:
2
l y x t
=+，与椭圆方程联立得2230.
x tx t
++-=
则
有
21212, 3.x x t x x t +=-=-……………………………………………………………………………6分
直线PA,PB 的斜率之和
122
11222
11()()22()()3232.3
PA PB
m x t m x n x t m x k k m x m x n m t mn t mt m ⎛⎫⎛⎫---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=
--⎛⎫-+-
⎪⎝⎭=++-…………………9分
当3,232n m mn ==时斜率的和恒为0，解得1,1,
33..22
m m n n ==-⎧⎧⎪⎪
∨⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩…………………………………11分
综上所述，所有满足条件的定点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
．…………………………………12分
21.解 （1）函数f (x )的导函数4(4)(1)()(4),ax x f x ax a x x
-++'=
-+-=………………2分 情形一 a ⩽0．此时()0f x '>，于是f (x )在+
上单调递增；……………………………………3分
情形二 a >0．此时f (x )在40,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减．………………………4分
（2）函数f (x )存在极值，因此a >0．根据题意，有
12120121212()()ln ln 1
()4()(4),2
f x f x x x f x a x x a x x x x --'=
=⋅-++---…………5分
而
121212
8(4),22x x x x f a a x x ++⎛⎫'=-⋅+- ⎪+⎝⎭…………6分
故只需要比较
1212ln ln x x x x --与12
2
x x +的大小．
令2(1)
()ln 1
t g t t t -=-+，则222
14(1)()(1)(1)t g t t t t t -'=-=++．当1t >时，()0g t '>，故()g t 在(1,＋∞)上单调递增．因此，当1t >时，()(1)0g t g >=．
于是，21
212121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，即121212ln ln 2x x x x x x ->-+．………………………………………………9分
于
是
120(),2x x f x f +⎛⎫
''> ⎪⎝⎭
………………………………………………………………………………10分
又()0f x '>在+
上单调递减，因此12
0,2
x x x +<
进而1202x x x +>．
……………………………12分
22.解：(1)∵曲线1C 的参数方程为11232
x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，22233t x t y =-⎧⎪∴⎨=⎪⎩，330x y -=，
∴曲线1C 的普通方程为3(1)y x =-．…………………………………………………………………2分
∵曲线2C ：2
2
12
3sin ρθ
=+，2223sin 12ρρθ∴+=，2223()12x y y ∴++=，223412x y ∴+=， ∴
曲
线
2
C 的
直
角
坐
标
方
程
为
22
143
x y +=．………………………………………………………………5分
Ⅱ由题意可设，与A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将1C 的参数方程代入的直角坐标方程
22
143x y +=，化简整理得，254120t t +-=，121245125t t t t ⎧
+=-⎪⎪∴⎨
⎪⋅=-
⎪⎩
，…………………………………7分
1212||||
11||||||||||||||||
t t FA FB FA FB FA FB t t ++∴
+==
⋅⋅，
121205
t t ⋅=-
<，
221212121241216
||||||()4()4()555
t t t t t t t t ∴+=-=+-⋅=---=，
16
114512||||3
5
FA FB ∴+==．……………………………………………………………………………10分
23.解：(1)由题意，不等式|1||1|x x m ++-≤有解，即(|1||1|)min m x x M ≥++-=．…………1分
|1||1||(1)(1)|2x x x x ++-≥+--=，………………………………………………………………
…3分
当且仅当(1)(1)011x x x +-≤⇒-≤≤时取等号，
2M ∴=． (5)
分
由
得32a b +=，
11111111
(3)()[2()]()22222121(11)(221)2222a b a a b a a b a a b a a b
a a
b a b a ∴
+=++=+++++++=+++≥+=+， (8)
分 当且仅当21
22
a a
b a b a b a +=⇒==+时取等号，………………………………………………………9分 故11()22min a a b
+=+．…………………………………………………………………………………10分。