(人教版)数学必修五：3.4《基本不等式(1)》ppt课件

∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
∴当 x>0 时，y＝x＋1x有最小值 2. 当 x<0 时，y＝x＋1x＝－(－x－1x) ≤－2 －x·－1x＝－2(当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号)．∴当 x<0 时，y＝x＋1x有最大值－2. ∴函数 y＝x＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞).
内容a>0，b>0，a＋2 B 是圆的直径，C 是 AB 上一 点，AC＝a，BC＝b，过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连结 AD，BD.由射影定理或三角 形相似可得 CD＝ ab，由 CD 小于或等于 圆的半径a＋2 b，可得不等式 ab≤a＋2 b.当 且仅当点 C 与圆心重合，即当 a＝b 时，等号成立．
[解析] ∵a>2，∴a－2>0. 又∵m＝a＋a－1 2＝(a－2)＋a－1 2＋2，
∴m≥2 a－2×a－1 2＋2＝4，即 m∈[4，＋∞)． 由 b≠0，得 b2≠0，∴2－b2<2，∴22－b2<4，即 n<4，∴n ∈(0,4)． 综上易得 m>n. [答案] m>n [方法总结] 在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条 件，即 a>0，b>0.另外，要拼凑出定理的结构，即问题一端出现 “和式”，另一端出现“积式”，以便于运用基本不等式．
[方法总结] 本题给出了三种解法，都用到了基本不等 式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件， 这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法2通过 消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范 围对另一个变量范围给出限制．
(消去x后，原来x的限制条件，应当由代替它的y来“接 班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)
∴P<Q<R.
利用不等式求函数的最值
下列函数中，最小值为 2 的是( )
A．y＝
x2＋2＋
1 x2＋2
B．y＝lgx＋lg1x(1<x<10) C．y＝3x＋3－x(x∈R)
D．y＝sinx＋si1nx(0<x<π2)
[解析] 利用基本不等式，注意“一正、二定、三相 等”. x2＋2＋ x21＋2≥2，当且仅当 x2＋2＝ x21＋2，即 x2＋2 ＝1 时，等号成立，但 x2＋2≥2>1 显然不成立，∴A 不正确；
若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的 a、b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2. [答案] ①③
[解析] 对于①，ab≤(a＋2 b)2＝1，故①成立；对于②，( a ＋ b)2＝a＋b＋2 ab＝2＋2 ab>2，∴ a＋ b> 2，故②不成 立；对于③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab，
求函数 y＝x＋1x的值域． [错解] ∵y＝x＋1x≥2 x·1x＝2 等号在 x＝1x，即 x＝1 成立， ∴函数的值域是[2，＋∞)．
[辨析] a＋b≥2 ab是在 a>0，b>0 的条件下才成立，题目 中没有限定 x>0，函数的定义域应是(－∞，0)∪(0，＋∞)，因 此应分类讨论．
[正解] 显然函数 y＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当 x>0 时，y＝x＋1x≥2 x·1x＝2(当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号)，
基本不等式应用积 和为 为定 定值 值， ，和 积有 有最 最小 大值 值 “＝”成立的条件
课后精练
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[分析] 要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个 积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行 “1的代换”，也可以“消元”等．
[解析] 解法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
1.基本不等式 当 a>0，b>0 时，a＋2 b≥ ab，这个不等式称为基本不等式， 也可以称为均值不等式． 通常，我们把a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做 正数 a，b 的几何平均数，所以不等式 ab≤a＋2 b(a>0，b>0)可 以表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
解法三：(配凑法)由1x＋9y＝1 得，y＋9x＝xy， ∴ (x － 1)(y － 9) ＝ 9. ∴ x ＋ y ＝ 10 ＋ (x － 1) ＋ (y － 9)≥10 ＋ 2 x－1y－9＝16. 当且仅当 x－1＝y－9 时取等号． 又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
1.如果x＋y＝1，则2x2＋y2的最小值是________． 2 ． 由 不 等 式 性 质 可 知 ， 对 任 意 a ， b∈R ， (a － b)2________0 ， 因 此 a2 ＋ b2________2ab ， 当 且 仅 当 ________ 时，取等号． [答案] 1. 2.≥ ≥ a＝b
lgx＋lg1x≥2，当且仅当 lgx＝lg1x， 即 x＝10 或110时，等号成立，而 1<x<10，故等号不成立， ∴B 不正确；
3x＋3－x≥2，当且仅当 3x＝3－x，即 x＝0 时取等号，∴C 正 确；sinx＋si1nx≥2，当且仅当 sinx＝±1 时取等号，而 0<x<π2， 等号不成立，∴D 不正确．
一转化后利用基本不等式求最值
求 y＝ xx2＋2＋21的最小值． [分析] 本题考查均值不等式的应用条件．考虑到 x2＋2 与 x2＋1 的关系，先将函数解析式转化为 y＝ x2＋1＋ x21＋1，换 元后应用基本不等式求最小值．
[解析] ∵y＝x2＋x21＋＋11＝ x2＋1＋ x21＋1，
令 t＝ x2＋1≥1，
解法二：(消元法)由1x＋9y＝1，得 x＝y－y 9. ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. x＋y＝y－y 9＋y＝y＋y－y－9＋9 9＝y＋y－9 9＋1＝(y－9)＋y－9 9 ＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴y－9＋y－9 9≥2 y－9·y－9 9＝6. 当且仅当 y－9＝y－9 9，即 y＝12 时取等号，此时，x＝4， ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋2 b，则 P， Q，R 的大小关系是________．
[答案] P<Q<R [解析] ∵a>b>1，∴lga>lgb>0，
∴Q＝12(lga＋lgb)> lga·lgb＝P；Q＝12(lga＋lgb)＝lg a＋ lg b＝lg ab<lga＋2 b＝R.
[答案] C
设函数 f(x)＝2x＋1x－1(x<0)，则 f(x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
[答案] A
[解析] ∵x<0，∴f(x)＝2x＋1x－1 ≤－2 －2x－1x－1 ＝－2 2－1， 等号在－2x＝－1x，即 x＝－ 22时成立． ∴f(x)有最大值.
(2)二定，即 xy(或 x＋y)是定值； (3)三相等，x 与 y 必须能够相等．可理解为①当 a＝b 时， 必取“＝”号；②当取到“＝”号时，必有 a＝b.否则不能用基 本不等式求最值．
函数 f(x)＝x＋4x的值域是( )
A．[4，＋∞)
B．(4，＋∞)
C．R
D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
∴y＝t＋1t ≥2
1 t·t .
当 t＝1，即 x＝0 时，ymin＝2.
[方法总结] 对于 y＝x＋kx(k>0)形式的不等式求最小值常 有两种思路：均值不等式和函数的单调性．当 x 能取 k时，用
均值不等式；当 x 不能取 k时，用函数的单调性．
求函数 y＝x22＋x 1的值域． [解析] 当 x>0 时，y＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x＋1x≥2，∴0<x＋1 1x≤12，当且仅当 x＝1 时，等号成立， ∴0<y≤1；当 x<0 时，y＝x22＋x 1＝x＋2 1x.
基本不等式的代数解释： ∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， ∴a＋2 b≥ ab.
基本不等式的数列解释： 如果把a＋2 b看作是正数 a，b 的等差中项， ab看作是正数 a，b 的等比中项，那么该定理可叙述为：两个正数的等差中项 不小于它们的等比中项．
由①知，ab≤1，∴2ab≤2，∴－2ab≥－2，即 4－2ab≥2， 故③成立．
2．利用基本不等式求函数的最值 已知 x，y 都是正数， (1)如果 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P； (2)如果 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，xy 有最大值14S2. 注意：利用基本不等式求函数最值时，必须满足三条： (1)一正，即 x，y 都是正数；
[答案] D [解析] 当 x>0 时，y≥2
x·4x＝4；当 x<0 时，y≤－
2 －x·－4x＝－4.
课堂典例探究
一利用基本不等式比较实数大小
已知 m＝a＋a－1 2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则 m， n 之间的大小关系是________．
[分析] 解答本题先根据不等式求出m的取值范围，然后 根据指数函数性质求出n的取值范围，进而比较m，n的大小．