2018-2019版高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布精品学案新人教A版选修2

§2.4 正态分布
学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．
知识点一 正态曲线 思考 函数f (x )＝
12πσ
2
2
()2e
x μσ--
，x ∈R
的图象如图所示．试确定函数f (x )的解析式．
答案 由图可知，该曲线关于直线x ＝72对称，最大值为1102π
，由函数表达式可知，函数
图象的对称轴为x ＝μ， ∴μ＝72，且
12πσ
＝
1102π
，∴σ＝10.
∴f (x )＝1
102π
2(72)200
e
x --
(x ∈R )．
梳理 (1)正态曲线 函数φμ，σ
(x )＝
12πσ
2()2e
x μσ--
，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们
称φ
μ，σ
(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值
1σ
2π
；
④曲线与x 轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：
知识点二 正态分布
一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a
b φ
μ，σ
(x )d x ，则称
随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2
)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2
)． 知识点三 3σ原则
1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6； (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4； (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.
2．通常服从正态分布N (μ，σ2
)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
1．函数φ
μ，σ
(x )中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( × )
2．正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( × ) 3．正态曲线可以关于y 轴对称．( √ )
类型一 正态曲线的图象的应用
例1 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差
解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是1
2π，所以μ＝20.
由
12πσ
＝1
2π，解得σ＝ 2.于是该正态分布密度函数的解析式是f (x )＝1
2π
2
(20)4
e x --，
x ∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.
反思与感悟 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x ＝μ，二是最大值为
12πσ
.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入
f (x )中便可求出相应的解析式．
跟踪训练1 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，
成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )
A ．甲科总体的标准差最小
B ．丙科总体的平均数最小
C ．乙科总体的标准差及平均数都居中
D ．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A
解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.
类型二 利用正态分布的对称性求概率 例2 设X ～N (1,22
)，试求：
(1)P (－1<X ≤3)；(2)P (3<X ≤5)；(3)P (X >5)． 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算
解 因为X ～N (1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P (－1<X ≤3)＝P (1－2<X ≤1＋2) ＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因为P (3<X ≤5)＝P (－3≤X <－1)，
所以P (3<X ≤5)＝1
2[P (－3<X ≤5)－P (－1<X ≤3)]
＝1
2
[P (1－4<X ≤1＋4)－P (1－2<X ≤1＋2)] ＝1
2[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)] ＝1
2×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)P (X >5)＝P (X ≤－3)
＝12[1－P (－3<X ≤5)]＝1
2[1－P (1－4<X ≤1＋4)]＝0.022 8. 引申探究
本例条件不变，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，求c 的值．
解 因为X 服从正态分布N (1,22
)，所以对应的正态曲线关于x ＝1对称．又P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，因此(c ＋1)＋(c －1)2＝1，即c ＝1.
反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x ＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x ＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P (X <a )＝1－P (X ≥a )． ②P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )．
(2)“3σ”法：利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．
跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2
)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2
)， ∴μ＝2，对称轴是x ＝2.
∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ≥4)＝P (ξ≤0)＝0.2， ∴P (0<ξ<4)＝0.6，
∴P (0<ξ<2)＝0.3.故选C. 类型三 正态分布的应用
例3 有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布N (20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用
解 (1)∵X ～N (20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18， μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比大约是68.26%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.74%－95.44%
2＝2.15%.
因此尺寸在24～26 mm 间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个)．
反思与感悟 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3 在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52
)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？ 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 解 ∵成绩服从正态分布N (80,52
)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85，
∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%，设该班有x 人，则x ·34.13%＝17，解得x ≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．
1．设两个正态分布N (μ1，σ2
1)(σ1>0)和N (μ2，σ2
2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A ．μ1<μ2，σ1<σ2
B ．μ1<μ2，σ1>σ2
C ．μ1>μ2，σ1<σ2
D ．μ1>μ2，σ1>σ2
考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A
解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续曲线：当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.
2．正态分布N (0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为( ) A ．P 1＝P 2 B ．P 1＜P 2 C ．P 1＞P 2
D ．不确定
考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线性质的应用 答案 A
解析 根据正态曲线的特点，图象关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等．
3．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，
则μ等于( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．不能确定
考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 C
解析 因为方程x 2
＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P (ξ>4)
＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝1
2
，所以μ＝4. 4．已知服从正态分布N (μ，σ2
)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1 000
名学生的某次考试成绩X 服从正态分布N (90,152
)，则此次考试成绩在区间(60,120]内的学生大约有( )
A ．997人
B ．972人
C ．954人
D ．683人 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C
解析 依题意可知μ＝90，σ＝15，故P (60<X ≤120)＝P (90－2×15<X ≤90＋2×15)＝0.954 4,1 000×0.954 4≈954，故大约有学生954人． 5．设随机变量X ～N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)． (1)求c 的值；(2)求P (－4<X <8)． 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算
解 (1)由X ～N (2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)，
又P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)， 故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2， ∴c ＝2.
(2)P (－4<X ≤8)＝P (2－2×3<X ≤2＋2×3)＝0.954 4.
1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这两个特点． ①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2
.
一、选择题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φ
μ，σ
(x )＝
18π
2
(10)8
e
x --，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A ．10与8
B ．10与2
C ．8与10
D ．2与10
考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 B
解析 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2
＝4，即σ＝2.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2
)(σ>0)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)等于( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68
D ．0.84
考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 A
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，∴μ＝2， ∵P (ξ≤4)＝0.84，
∴P (ξ≥4)＝1－0.84＝0.16， ∴P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.16.
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32
)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2
)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%
D ．31.74%
考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 B
解析 由正态分布的概率公式，知P (－3<ξ≤3)＝0.682 6，P (－6<ξ≤6)＝0.954 4， 故P (3<ξ≤6)＝P (－6<ξ≤6)－P (－3<ξ≤3)2
＝
0.954 4－0.682 6
2
＝0.135 9＝13.59%，故选
B.
4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4)
A ．2 386
B ．2 718
C ．4 772
D ．3 413 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 D
解析 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6， ∴P (0≤X ≤1)＝1
2
×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3.
∴落在阴影部分的点的个数x 的估计值为x 10 000＝S
1，∴x ＝10 000×0.341 3＝3 413，故选
D.
5．设X ～N (μ1，σ2
1)，Y ～N (μ2，σ2
2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)
B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)
C ．对任意正数t ，P (X ≤t )>P (Y ≤t )
D ．对任意正数t ，P (X ≥t )>P (Y ≥t ) 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 C
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；
P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；
当t 为任意正数时，由题图可知P (X ≤t )>P (Y ≤t )， 而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )， ∴P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 正确，D 错．
6．如果正态总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态
总体的均值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点正态分布的概念及性质
题点求正态分布的均值或方差
答案 B
解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.
7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间( )
A ．(90,110]
B ．(95,125]
C ．(100,120]
D ．(105,115] 考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 C
解析 ∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41,60×0.954 4≈57,60×0.997 4≈60.
8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A ．1 500名
B ．1 700名
C ．4 500名
D ．8 000名
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
答案 A
解析 因为理科生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12
[1－P (88<X ≤108)]＝12[1－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12
×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以0.158 7×9 450≈1 500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名．
二、填空题
9．已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为 ． 考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
答案 1
解析 ∵X 服从正态分布N (a,4)，∴正态曲线关于直线x ＝a 对称，又P (X ≤1)＝0.5，故a ＝1.
10．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4<X <8)＝0.3，则P (X <0)＝ .
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 0.2
解析 概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.
11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为
12π，则总体落入区间(0,2]内的概率为 ．
考点 正态分布的概念及性质
题点 正态分布下的概率计算
答案 0.477 2
解析 正态分布密度函数是f (x )＝12πσ22()2e x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则
μ＝0，
∵f (x )的最大值为f (μ)＝1
2πσ＝1
2π，∴σ＝1， ∴P (0<X ≤2)＝12P (－2<X ≤2)＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝12
×0.954 4＝0.477 2. 三、解答题
12．已知随机变量X ～N (μ，σ2
)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72<X ≤88)＝0.682 6.
(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P (64＜X ≤72)．
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，
在(80，＋∞)上是减函数，
所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.
又P (72<X ≤88)＝0.682 6.
结合P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.
(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)
＝P (64<X ≤96)
＝0.954 4.
又因为P (X ≤64)＝P (X >96)， 所以P (X ≤64)＝12
×(1－0.954 4) ＝12×0.045 6＝0.022 8.
所以P (X >64)＝0.977 2.
又P (X ≤72)＝12
[1－P (72<X ≤88)] ＝12
×(1－0.682 6)＝0.158 7， 所以P (X >72)＝0.841 3，
P (64<X ≤72)
＝P (X >64)－P (X >72)
＝0.135 9.
13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X (分钟)服从正态分布N (5,1)；
第二条路线较长不拥挤，X 服从正态分布N (6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X ～N (5,1)，能及时到达的概率
P 1＝P (X ≤7)
＝P (X ≤5)＋P (5<X ≤7)
＝12＋12
P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)． 若选第二条路线，即X ～N (6,0.16)，能及时到达的概率
P 2＝P (X ≤7)
＝P (X ≤6)＋P (6<X ≤7)
＝12＋12
P (μ－2.5σ<X ≤μ＋2.5σ)． 因为P 1<P 2，所以应选第二条路线．
同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
四、探究与拓展
14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22
)，
且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为 ．
考点 正态分布的应用
题点正态分布的实际应用
答案683
解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.
15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8<Z≤212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
(附：150≈12.2)
考点正态分布的应用
题点正态分布的综合应用
解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，
从而P(187.8<Z≤212.2)＝P(200－12.2<Z≤200＋12.2)＝0.682 6.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2]的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，
所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。