高中数学2.2.2 对数函数及其性质(一)优秀课件

当 0<n<m<1 时，如图①；当 1<n<m 时，如图②；当
栏
目
0<m<1<n 时，如图③.
开
关
2.2.2（二）
本
课
栏
目 开
2．由于指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的定义域是 R，值域为
关
(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数
函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为 R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数
解 根据反函数的概念，知函数 y＝loga(x－1)(a>0 且
目
开 关
a≠1)的图象经过点(4,1)，∴1＝loga3，∴a＝3.
小结 若函数 y＝f(x)的图象经过点(a，b)，则其反
函数的图象经过点(b，a)．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
跟踪训练 2 已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)
2.2.2（二）
解 (1)根据对数函数的运算性质，有 pH＝－lg [H＋]＝
本 课
lg [H＋]－1＝lg
1 [H＋].
在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，[H1＋]
栏
目 开 关
减小，相应地，lg [H1＋]也减小，即 pH 减小．所以随着
[H＋]的增大，pH 值减小，即溶液中氢离子的浓度越大，
＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位
本 课
是摩尔/升．
栏
目 (1)根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式，说明溶液
开
关 酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7 摩尔/升，
计算纯净水的 pH.
研一研·问题探究、课堂更高效
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2（二）
1. 函数 y＝logax 的图象如图所示，则实数 a 的可能取值是
本 课
(A )
栏
目 A．5
开
B.15
关
1
1
C.e
D.2
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2（二）
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( D )
A．y＝ x2和 y＝( x)2
量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一
本 课
个强度为 I 的声波，分贝的定义是：y＝10lg II0.这里 I0 是
栏 目
人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12w/m2，当 I
开
关
＝I0 时，y＝0，即 dB＝0.
(1)如果 I＝1 w/m2，求相应的分贝值；
(2)70 dB 时声音强度 I 是 60 dB 时声音强度 I′的多少
则 f(x2)－f(x1)＝log21－x2x2－log21－x1x1
课 栏 目 开
＝log2x12－1－x2xx11＝log2xx21·11－－xx21.
关
∵0<x1<x2<1，∴xx21>1，11－－xx21>1.
则 log2xx12·11－－xx12>0，
∴f(x2)>f(x1)．故函数 f(x)在(0,1)上是增函数．
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
本 课
答 对于底数 a>1 的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底
栏
目 开
数越大越靠近 x 轴；对于底数 0<a<1 的对数函数，在(1，
关 ＋∞)区间内，底数越小越靠近 x 轴．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
问题 2 函数 y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如下图所示， 那么 a，b，c 的大小关系如何？
本 课
B．|y|＝|x|和 y3＝x3
栏 目
C．y＝logax2 和 y＝2logax
开
关
D．y＝x 和 y＝logaax
解析 y＝logaax＝xlogaa＝x，即 y＝x，两函数的定义域、 值域都相同．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2（二）
3．若函数 y＝f(x)的定义域是[2,4]，则 y＝f(log 1 x)的定义域
2.2.2（二）
2．2.2 对数函数及其性质(二)
【读一读学习要求，目标更明确】
1．进一步掌握对数函数的图象和性质，利用性质解决一些实
本
课 栏
际问题；2.了解指数函数与对数函数互为反函数，了解它们
目 开
的图象关于直线 y＝x 对称．
关
【看一看学法指导，学习更灵活】
通过类比指数函数与对数函数的性质，了解指数函数与对数
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
问题探究二 反函数的概念
问题 1 在 y＝2x 中，x 是自变量，y 是因变量．若 y 是自变
本 课
量，x 是因变量，x 是 y 的函数吗？
栏 目
答 把 y＝2x 由指数式写成对数式：x＝log2y，对于 y∈
开
关
(0，＋∞)时，通过式子 x＝log2y 可知，x 在 R 中有唯一
开 关
此有对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)和指数函数 y＝ax(a>0，
且 a≠1)互为反函数．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
问题 2 比较函数 y＝2x 与 y＝log2x 的图象及函数 y＝12x 与
y＝log 1 x的图象，能得出两对函数的图象存在怎样的关
本
2
课 栏
本
＝12x＋1，则 f(x)的反函数的图象大致是(
)
课
栏
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
本 课 栏 目 开 关
解析 当 x<0 时，－x>0，
∴f(－x)＝12
－x＋1＝2x＋1.
2.2.2（二）
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
又 f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴当 x<0 时，f(x)＝－2x－1，
本 间有什么关系？单调性有什么关系？
课 栏
答 函数 y＝ax 和 y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于直线
目
开 关
y＝x 对称；
单调性相同．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
例 2 函数 y＝loga(x－1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图象经
本
过点(1,4)，求 a 的值．
课 栏
lgII′0 ＝6，∴II′0 ＝106.
I ∴I′I ＝II′0 ＝110076＝10，即 I＝10I′.
I0
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
本 课
答 (1)I＝1 w/m2，相应的分贝值为 120 dB；
栏
目 (2)70 dB 时声音强度 I 是 60 dB 时声音强度 I′的 10 倍．
系？单调性有怎样的关系？
目 开 关
答 函数 y＝2x 与 y＝log2x 的图象及函数 y＝12x 与 y
＝log 1 x的图象都关于直线 y＝x 对称．底数相同时，
2
单调性相同．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
问题 3 当 a>0，a≠1 时，函数 y＝ax 与 y＝logax 的图象之
证明 设 x1、x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，
本
则 f(x1)－f(x2)＝log2(x21＋1)－log2(x22＋1)，
课 栏
∵0<x1<x2，∴x21＋1<x22＋1.
目 开
又∵y＝log2x 在(0，＋∞)上是增函数，
关
∴log2(x21＋1)<log2(x22＋1)，即 f(x1)<f(x2)．
开 关
2．指数函数 y＝3x 的图象与对数函数 y＝log3x(x>0)的图象关
于直线____y_＝__x______对称.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
问题探究一 底数大小与函数图象的关系
本 问题 1 观察下图所示函数 y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，
课 栏
y＝log0.1x 图象，你能得出什么结论？
2
是( C )
本 课 栏
A．[12，1]
目 开 关
C．[116，14]
B．[4,16] D．[2,4]
解析 由题意得：2≤log 1 x≤4，所以(12)2≥x≥(12)4，
2
即116≤x≤14.
2.2.2（二）
1．函数 y＝logmx 与 y＝lognx 中 m、n 的大小与图象的位置
关系．
本 课
∴函数 f(x)＝log2(x2＋1)在(0，＋∞)上是增函数．
小结 证明函数的单调性只能利用单调函数的定义，
这与判断函数的单调性是有区别的．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
跟踪训练 3 求证：函数 f(x)＝log21－x x在(0,1)上是增函数． 证明 设 0<x1<x2<1，
本
本
课 栏 目
即 f(x)＝12x＋1，x>0，
开 关
－2x－1，x<0，
f(x)的图象如图． 由函数及其反函数图象之间的关系可知其反函数的图
象应为 A.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
问题探究三 对数函数的单调性
例 3 证明函数 f(x)＝log2(x2＋1)在(0，＋∞)上是增函数．
函数互为反函数及图象间的对称关系，进一步培养学生的数
形结合思想，让学生养成善于观察、归纳的好习惯.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2（二）
本 课 栏 目
1．对数函数 y＝logax (a>0 且 a≠1)和指数函数 _____y_＝__a_x_(_a_>_0__且__a_≠__1_)_______互为反函数．
溶液的酸碱度就越小．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
(2)当[H＋]＝10－7 时，pH＝－lg 10－7＝7，所以纯净水的
本 课
pH 是 7.
栏
目 开
小结 本例中，利用对数函数的单调性及反比例函数的
关
单调性，解释了生活实际中的现象．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
跟踪训练 1 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音
y＝ax 的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．
本 课 栏 目 开 关
答 由图象可知 a>1，b，c 都大于 0 且小于 1，由于 y ＝logbx 的图象在(1，＋∞)上比 y＝logcx 的图象靠近 x 轴， 所以 b<c，因此 a，b，c 的大小关系为 0<b<c<1<a.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
例 1 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的．pH 的计算公式为 pH
倍？
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
解 (1)∵I＝1 w/m2，
∴y＝10lg II0＝10lg 101－12＝10lg 1012
本 ＝10×12lg 10＝120(dB)．
课 栏 目
(2)由 70＝10lg
I ，即 I0
lg
II0＝7，Βιβλιοθήκη 开关∴I I0
＝107，又
60＝10lg
I′，即 I0
确定的值和它对应，因此，可以说若 y 是自变量，x 是
因变量，x 是 y 的函数．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
小结 x＝log2y(y∈(0，＋∞))是函数 y＝2x(x∈R)的反函数．x
本 课
＝log2y 习惯写成 y＝log2x，所以对数函数 y＝log2x(x∈(0，
栏 目
＋∞))是指数函数 y＝2x(x∈R)的反函数．反过来也成立．因