高中数学第二章2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质一学案含解析新人教A版必修1

2.2.2 对数函数及其性质(一)

学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．

知识点一对数函数的概念

思考已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？

答案由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x，y分别表示自变量、因变量．上式可改为y＝log2x，x∈(0，＋∞)．

梳理一般地，把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

知识点二对数函数的图象与性质

对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

1．由y＝log a x，得x＝a y，所以x>0.( √)

2．y＝2log2x是对数函数．( ×)

3．y＝a x与y＝log a x的单调区间相同．( ×)

4．由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0)．( √ )

类型一 对数函数的定义域的应用 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x

)． 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域

解 (1)由⎩

⎪⎨

⎪⎧

3－x >0，

3＋x >0，得－3<x <3，

∴函数的定义域是{x |－3<x <3}． (2)由16－4x

>0，得4x <16＝42

， 由指数函数的单调性得x <2，

∴函数y ＝log 2(16－4x

)的定义域为{x |x <2}． 引申探究

1．把本例(1)中的函数改为y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)，求定义域．

解 由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －3>0，

x ＋3>0，得x >3.

∴函数y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)的定义域为{x |x >3}．

2．求函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？

解 (x ＋3)(x －3)>0，即⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋3>0，x －3>0

或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋3<0，

x －3<0，

解得x <－3或x >3.

∴函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域为{x |x <－3或x >3}．

相比引申探究1，函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y ＝log a [(x ＋3)·(x －3)]，要使对数有意义，只需(x ＋3)与(x －3)同号，而对于y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)，要使对数有意义，必须(x －3)与(x ＋3)同时大于0.

反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变． 跟踪训练1 求下列函数的定义域． (1)y ＝

x 2－4

x ＋

； (2)y ＝log (x ＋1)(16－4x

)； 考点 对数函数的定义域

题点 对数函数的定义域

解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2

－4≥0，x ＋3>0，

x ＋3≠1，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，

即－3<x <－2或x ≥2，

故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪

⎧

16－4x

>0，x ＋1>0，

x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪

⎧

x <2，x >－1，x ≠0，

所以－1<x <2，且x ≠0，

故所求函数的定义域为{x |－1<x <2，且x ≠0}． 类型二 对数函数单调性的应用 命题角度1 比较同底对数值的大小 例2 比较下列各组数中两个值的大小． (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8，log 0.32.7；

(3)log a 5.1，log a 5.9(a >0，且a ≠1)． 考点 对数值大小比较 题点 对数值大小比较

解 (1)考察对数函数y ＝log 2x ， 因为它的底数2>1，

所以它在(0，＋∞)上是增函数， 又3.4＜8.5， 于是log 23.4<log 28.5.

(2)考察对数函数y ＝log 0.3x ，因为它的底数0<0.3<1， 所以它在(0，＋∞)上是减函数， 又1.8＜2.7，

于是log 0.31.8>log 0.32.7.

(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又5.1＜5.9，

于是log a 5.1<log a 5.9；

当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，

又5.1＜5.9，

于是log a5.1>log a5.9.

综上，当a＞1时，log a5.1＜log a5.9，

当0＜a＜1时，log a5.1＞log a5.9.

反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24，即1<log23<2，从而借助中间值比较大小．

跟踪训练2 设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则( )

A．a＞b＞c B．a＞c＞b

C．b＞a＞c D．b＞c＞a

考点对数值大小比较

题点对数值大小比较

答案 A

解析∵a＝log3π＞1，b＝1

2

log23，

其中log22<log23<log24，

则1

2

＜b＜1，c＝

1

2

log32＜

1

2

，∴a＞b＞c.

命题角度2 求y＝log a f x型的函数值域

例3 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．

考点对数函数的值域

题点对数函数的值域

答案(0，＋∞)

解析f(x)的定义域为R.

∵3x>0，∴3x＋1>1.

∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，

∴log2(3x＋1)>log21＝0.

即f(x)的值域为(0，＋∞)．

反思与感悟在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝log a f(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝log a x的单调性求出log a f(x)的取值范围．

跟踪训练3 已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．

考点对数函数的值域