重庆大学自动控制第10章 习题参考答案_作业

10-1 系统的模拟结构图如图10-18所示，建立其状态空间描述。

图10-18 模拟结构图
解：状态变量图如下
系统的状态空间描述为
1115111
()k x x u x T T =-
+- 2221622
1
()k x x x x T T =-
+- 3324()x k x x =-
43x x =
4545441k x x x T T =
- 563655
1k x x x T T =
-
5y x =
写成矩阵形式为
[]111
12
2122
2
3344455
51
000010000000000
01000010
0000010
00
0000
10k T
T k k k T T T T k k u k T T k T T y ⎧⎡⎤--
⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥--⎪⎢⎥
⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥-⎢⎥+⎪⎢
⎥⎢⎥⎨⎢⎥
⎢⎥⎪⎢
⎥⎢⎥-⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎢⎥⎪-⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦
⎪
=⎩x =x x
10-3 有电路如图10-20所示，设输入为i u ，输出为o u ，求以电容电压作为状态变量的状态空间描述。

R R
图10-20 电路图
解：列写动态方程
1112()i c u u R i i -=+
11
1c du c i dt =
222c du c i dt =
1222c c u R i u =+ 2o c u u =
设状态变量11c x u =，22c x u =，输入i u u =，输出2c y u =，则电路的状态空间描述为
[]12
121211111222222121111001R R R R c R c x x R c u
x x R c R c x y x ⎧+⎡⎤
-⎡⎤⎪⎢
⎥⎡⎤⎡⎤⎢
⎥⎪⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦
⎣⎦-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎨
⎣⎦
⎪
⎪⎡⎤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩
= 10-7 证明下列系统是线性定常系统，并求其状态空间描述
(1) 385y y y u ++=; (2) 452y y y y u u +++=+ 解：证明略。

(1) 能控标准型
[]112233123010000108031500x x x x u x x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
能观标准型
[]112233123008510000130001x x x x u x x x y x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2) 能控标准型
[]112233123010000101541120x x x x u x x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
能观标准型
[]112233123001110520140001x x x x u x x x y x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
10-8 已知系统的传递函数，建立其状态空间描述，并画出系统的模拟结构图。

(1) 2231()56
s s G s s s ++=++; (2) 232
23
()331s s G s s s s ++=+++ 解：(1) 能控标准型
[][]112211220
11002201065152x x u
x x x x y b a b b a b b u u
x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=--+=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
模拟结构图
能观标准型
[][]1122110220651520101x x u
x x x x y b u u
x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤
=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(2) 能控标准型
[][]11223311330
220
11020233010000101331321x x x x u x x x x y b a b b a b b a b x b u x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=---+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
模拟结构图:
能观标准型
[]112233123001310320131001x x x x u x x x y x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
模拟结构图
10-10 将下列状态方程化为对角标准形
(2) 0101001161160u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
x x
解：（2）由321
016116(1)(2)(3)06116
λλ
λλλλλλλ--=+++=+++=+，得
特征值为 1,2,3λ=---。

1111
110110101100110161150001x x x λ=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=→=→=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2222
210210102100210261140004x x x λ=-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=→--=→=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3333
310310103100310361130009x x x λ=-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=→--=→=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
11113 2.50.51233411491 1.50.5p p -⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=---=---⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
令 x px =，则
11100 5.5020, 7003 2.5A p Ap b p b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-==-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
10-11 将下列状态方程化为约当标准形。

(2) 412311022711353-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
x x u
解：（2）由241
2det 12(3)(1)0113I A λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=--=⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
，得 特征值为 3, 3, 1λ=。

对应于13λ=的特征向量由下列方程求得，
[]111121311121320110p I A p p p λ--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
解之得
1111p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
对应于23λ=的广义特征向量由下列方程求得，
[]12222232112113211101p I A p p p λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解之得
2100p ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
对应于31λ=的特征向量由下列方程求得，
[]133323333121120112p I A p p p λ--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
解之得
3021p ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则有
1110012102112101011p p --⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
⎣⎦
113108
1030, 5200134A p Ap b p b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
10-12 已知系统的状态空间描述为
1112223311223120100200301523
120 311x x u x x u x x x y x y x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎣
⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪⎣⎦⎩
求其传递函数矩阵。

解：传递函数阵为1()()G s C sI A B -=-
而 1
11
2
0(2)(5)2(5)
01()0
200(1)(5)00
1501
(1)(2)
s s
s s s I A s s s s s s s ----+++⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-=+=-+⎢⎥
⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥-+--+⎣⎦⎣
⎦ 故
(2)(5)2(5)0101201()0(1)(5)00331101(1)(2)23(2)(5)
6(5)1(2)(17)6102s s s G s s s s s s s s s s s s s +++⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∆⎣⎦⎢⎥⎢⎥--+-⎣⎦⎣⎦+++⎡⎤=⎢
⎥+----∆⎣⎦
其中 (1)(2)(5s s s ∆=-++。