微分几何习题及答案解析

、
第一章 曲线论
§2 向量函数
5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r
= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e
为单位向
量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e
具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r
具有固
定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r
=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e
求微商得'r ='λe +
λ'e ，于是r ×'r =2
λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ
≠
0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2
'e ，（因
为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r
具有固
定方向。

6．向量函数)(t r
平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n
，使
)(t r
·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

（
证 若)(t r
平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向
量，且)(t r
·n = 0 。

两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，'
'r 垂直于同一非零向量n
，因而共面，即（
r 'r ''r ）=0 。

反之, 若（r
'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。

若r ×'r =0
，由上题知
)(t r
具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'
r ≠
，则存在数量函数)(t λ、
)(t μ，使''r = r λ+μ'r
①
令n =r ×'r ，则n
≠
0 ，且)(t r ⊥)(t n。

对n =r ×'r 求微商并将①式代入得
'n =r ×''r =μ（r ×'r ）=μ
n ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)
(t r
⊥n ，即)(t r
平行于固定平面。

§3 曲线的概念
3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。

证明 'r
= {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos
=22||||'b
a b
e r k r +=⋅ 为常数，故ϕ为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。

10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。

—
解 'r
= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220
|'|+=⎰ ，所以2
2
b
a s t +=
，
代入原方程得 r ={a cos
2
2
b
a s +, a sin
2
2
b
a s +,
2
2
b
a bs +}
§4 空间曲线
1．求圆柱螺线x =a t cos ，y
=a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。

解 'r
={ -a t sin ,a t cos ,b},''r
={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为
sin cos cos sin sin cos t
a t
a b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .
<
2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、
切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r
(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t
e 0}=t ={0,1,1}，
=)0(''r
{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，
所以切线方程是
1
10z
y x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2
02110z
y x =0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112z
y x =-=
； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1
11-==z
y x 。

…
3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z
= b t 的主法线和z 轴垂直相交。

证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r ⊥''r 知''r 为主法线的方向向量，而''r 0=⋅k
所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是
sin sin cos cos bt
z t t a y t t a x -=-=-
与z 轴有公共点(o,o,bt)。

故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。

4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r
={ -cos αcost,- cos αsint ,
0 }
=⨯⨯=|'''|'
''r r r r
γ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }
…
新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ，cos αsint- sin αcost ，tsin α + cos α }
对于新曲线'r
={-cos αsint+ sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，
sin α }={sin(α-t), cos(α-t), sin α} , ''r
={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是
00
)
sin()
cos(sin )cos()sin(sin sin cos cos cos =--------t a t a a t a t a a t z t a y t a x
即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .
5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

证 方法一：
⇒设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r
具有固定长，所以r ·'r
= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。

"
⇐ 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r ·'r = 0，)(t r
具有固定长，对应的曲线是球面曲线。

方法二：
()r r t =是球面曲线⇔存在定点0r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半
径）使220()r r R -=⇔02()0r r r '-⋅= ，即0()0r r r '-⋅= （﹡）
而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-⋅= 。

可知法平面过球面中心⇔（﹡）成立。

所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

；
7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =
,
⑵ )0)}(3(,3),3({323
a t t a at t t a r +-=。

解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r = ，
}1,cosh ,sinh {'''--=⨯t t a r r ，所以t a t a t a r r r k 23
23cosh 21
)cosh 2(cosh 2|'||'''|==⨯= t
a t a a r r r r r 2
2422cosh 21
cosh 2)'''()''','','(==⨯=
τ 。

⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-=
，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r ，
'r ×''r =}1,2,1{182
22+--t t t a ，2
23
22223)1(31
)
1(2227)1(218|
'||'''|+=++=⨯=t a t a t a r r r k
·
2
2224232)1(31
)1(2182618)'''()''','','(+=+⨯⨯⨯=⨯=t a t a a r r r r r τ 。

8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 3
3t t t r = ，⑴求基本向量γβα ,,；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。

分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。

解 ⑴ }4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22--=--=t t t t t t t t t r
，
,cos sin 5|)('|t t t r dt ds == （设sintcost>0）， 则}5
4
,sin 53,cos 53{|'|'--==t t r r α， }0,cos 5
3,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ==•
αα
， }0,cos ,{sin |
|t t ==••
ααβ
，
}5
3
,sin 54,cos 54{--=⨯=t t βαγ ，
…
⑵ t t k cos sin 253||==•α ，}0,cos ,sin {cos sin 254
t t t t --=
•γ ，由于•γ 与β 方向相反，所以 t
t cos sin 254
||==•γτ
⑶ 显然以上所得 τ
γβα,,,••
k 满足 βτγβα
-==••
,k ，而
γτακβ
+-=-=
•
}0,sin ,{cos cos sin 51
t t t
t 也满足伏雷内公式 。

9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。

证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线
在任意点的切线方程是)(')(t r t r
λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以
)(')(t r t r λ=，可见r ∥'r ，所以r 具有固定方向，故r ＝)(t r
是直线。

方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t r λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r
λ=，
于是'r ＝λ''r
，从而'r ×''r ＝0 ，所以由曲率的计算公式知曲率k ＝０，所以曲线
为直线。

方法三：设定点为0r ，曲线的方程为r ＝()r s ，则曲线在任意点的切线方程是
()()r s s ρλα-=，由条件切线都过定点0r ，所以0()()r r s s λα-=，两端求导得: ()()s s αλαλκβ'-=+, 即(1)()0s λαλκβ'++= ，而(),()s s αβ无关，所以10λ'+=，
'
可知0,()0s λκ≠∴=，因此曲线是直线。

10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。

证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线
在任意点的密切平面的方程是0))('')('())((=⨯⋅-t r t r t r
ρ，由条件
0))('')('()(=⨯⋅-t r t r t r ，即（r 'r ''r ）=0，所以r 平行于一固定平面，即r ＝)
(t r
是平面曲线。

方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(s r
，则曲线在任意点的密切平面方程是0))((=⋅-γρ s r ，由条件0)(=⋅γ
s r ，两边微分并用伏雷内
公式得 τ-0)(=⋅β s r 。

若0)(=⋅β
s r ,又由0)(=⋅γ s r 可知)(s r ∥)(s r •= α,所以r
＝)(s r 平行于固定方向，这时r ＝)(s r
表示直线,结论成立。

否则0=τ，从而知曲线
是平面曲线。

方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线在任意点的密切平面方程是0))('')('())((=⨯⋅-t r t r t r
ρ，由条件
0))('')('()(=⨯⋅-t r t r t r
，即（r 'r ''r ）=0，所以r ，'r ，''r 共面，若r ∥'r ，则r
＝)(t r
是直线，否则可设''',''''''r r r r r r λμλμ=+∴=+，所以','','''r r r 共面，所以
0=τ，从而知曲线是平面曲线。

11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e
，那么曲线是直线或平面曲线。

证 方法一：根据已知0=⋅e α，若α
是常向量，则k=||•α =0 ，这时曲线是直
线。

否则在0=⋅e α两边微分得•α ·e =０，即 k β ·e =０,所以β ·e =０，又因0=⋅e α，
所以γ ∥e ，而γ 为单位向量，所以可知γ
为常向量，于是0||||==•γτ ，即0=τ，此
曲线为平面曲线。

}
方法二：曲线的方程设为r ＝)(t r
，由条件'r ·e ＝０，两边微分得''r ·e ＝０，'''r ·e
＝０，所以'r ， ''r ，'''r 共面，所以（'r ''r '''r ）＝０。

由挠率的计算公式
可知0=τ，故曲线为平面曲线。

当'r ×''r
＝0 时是直线。

方法三：曲线的方程设为r ＝)(t r
，由条件'r ·e ＝０，两边积分得（p 是常
数）。

因r e p ⋅=是平面的方程，说明曲线r ＝)(t r
在平面上，即曲线是平面曲线，
当'r
有固定方向时为直线。

12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。

证明 设曲线（C ）：r ＝)(s r
的曲率k 为常数,其曲率中心的轨迹（C ）的方程
为：)(1)(s k
s r βρ
+= ，（β 为曲线（C ）的主法向量），对于曲线（C ）两边微分得
γτγτααρ k
k k s =+-+=)(1
)(' ，（α ，γ ，τ分别为曲线（C ）的单位切向量，副法
向量和挠率），βτγτρ
k k 2''-=•
，k |||'|τρ=
，23'''k
τρρ=⨯ α ，曲线（C ）的曲率为k k k k ==⨯=-3
32
3
3|||||
'||'''|ττρρρ 为常数。

14．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。

证 设曲线Γ：r =)(s r 与Γ：)(s r r
=点s 与s 一一对应，且对应点的切线平行，
则)(s α =)(s α
±, 两端对s 求微商得ds s d αα ±=, 即ds
s d s k s k )()(ββ ±= ，(这里
k ≠0，若k=||α =0，则β 无定义)，所以β ∥β ，即主法线平行，那么两曲线的副
法线也平行。

.
15．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。

证 设α ,α
分别为曲线Γ、Γ的切向量,β ,β 分别为曲线Γ、Γ的主法向量,
则由已知)()(s s ββ ±=．．．．．① ，而ds
s d ds d αααααα ⋅+⋅=⋅)(＝
ds s d s k k )(βααβ ⋅+⋅ 将①式代入 0)
(=⋅±⋅ds
s d k βααβ 。

所以α ·α ＝常数，故两曲线的切线作固定角。

16.若曲线Γ的主法线是曲线Γ的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为τκ,.求证k=0λ(2κ+2τ) ,其中0λ为常数。

证 设Γ的向量表示为r =)(s r
，则Γ可表示为ρ =)(s r +)(s λ)(s β ， Γ的切向量
'ρ
=α +λ β +λ（－k α +τγ ）
与β 垂直，即'ρ ·β ＝λ ＝０，所以λ为常数，设为0λ，则'ρ
＝（１－0λk ）α +0λτγ .再求微商有''ρ ＝－0λk α ＋（１－0λk ）k β ＋0λτ γ
－0λ2
τβ ，''ρ
·β ＝（１－0λk ）k －0λ2τ＝０，所以有k=0λ(2κ+2τ)。

17．曲线r ={a(t-sint),a(1-cost),4acos 2
t
}在哪点的曲率半径最大。

解 'r
= a{1-cost,sint,-2sin
2t } , ''r = a{sint,cost,-cos 2
t
}, |2
sin |22|'|t r = ,
'r ×''r =}1,2
cos ,2
{sin 2
sin 2}2
cos 4,2
cos 2
sin 2,2
sin 2{22232t
t t a t a t t t a -=--,
| 'r ×''r |=22
sin
222t a , |2
sin
|81|
||'''|3t
a r r r k =⨯=
, |2
sin
|8t a R = , ）
所以在t=(2k+1)π，k 为整数处曲率半径最大。

§5 一般螺线
5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量γ
是常向量.
即γ =0 。

曲线的挠率的绝对值等于|γ |为零，所以曲线为平面曲线。

证法二：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，积分得r ·n
=p ,说明曲线在以n
为法向量的一个平面上,因而为平面直线。

证法三：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，再微分得''r ·n =0 ，'''r ·n
=0 。

所以'r 、''r 、'''r
三向量共面，于是（'r ''r '''r ）= 0 ，由挠率的计算公式知τ=0，
因此曲线为平面曲线。

7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。

证 设一曲线为Γ：r ＝)(s r
，则另一曲线Γ的表达式为：+=)(s r ρ)(s λ)(s γ ，
)(s γ
为曲线Γ在点s 的主法向量，也应为Γ在对应点的副法线的方向向量。

^
'ρ
＝α ＋λ γ －λτβ 与γ 正交，即'ρ ·γ ＝０，于是λ ＝０，λ为常数。

'ρ ＝α －
λτβ ，''ρ
＝k β －λτ β
－λτ（－k α ＋τγ ）也与γ 正交，即''ρ ·γ
＝-λ2τ=0,
而λ
≠０,所以有τ＝０，曲线Γ为平面曲线。

同理曲线Γ为平面曲线。

9．证明曲线r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为0),,(....=r r r
证 βκ =r ，γτκτκβκτκκακκγκτβκ
ακ )2()(3,23....2++-+-+-=++-=r r 2
5333....)(3)2(),,(κτκτκκτκτκκτκκτκτκ -=-=-+=k r r r ＝)(5κ
τκ，其中k ≠0. 曲线r ＝)(s r
为一般螺线的充要条件为κ
τ 为常数,即•)(κτ=0,也就是
0),,(....=r r r 。

方法二： 0),,(....=r r r ，即0),,(=ααα。

曲线r ＝)(s r 为一般螺线，则存在常向量e ，使α·e =常数，所以,0,0,0=⋅=⋅=⋅e e e ααα所以ααα
,,共面，从而（ααα
,,）=0。

反之，若（ααα ,,）=0，则α 平行于固定平面，设固定平面的法矢为e ，则有0=⋅e α，从而α·e = p (常数)，所以r ＝)(s r 为一般螺线。

方法三：曲线r ＝)(s r
为一般螺线⇔存在常向量e 使e β⊥，即0e ββ
⋅=⇔平行于固定平面（以e 为法向量的平面）r ⇔平行于一固定平面(,,)0r r r ⇔= 。

方法四：""⇒设r ＝)(s r
为一般螺线，存在常向量e 使e α⋅=常数，即r e ⋅=常
数，连续三次求微商得0,0r e r e ⋅=⋅=，0r e ⋅= ，所以0),,(....=r r r 。

）
""⇐因为0),,(....=r r r ，所以r 平行于固定平面，设固定平面的法矢为n （常向
量），则r n ⊥，而,r n ββ∴⊥，所以曲线为一般螺线。

11．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则Γ也为一般螺线。

证 设曲线Γ：r =)(s r 与Γ：)(s r r
=点建立了一一对应，使它们对应点的切线平行，则适当选择参数可使)(s α =)(s α , 两端对s 求微商得ds
s d αα =, 即
ds s d s k s k )()(ββ = ，这里0 ds
s d ，所以有β =β ，即主法线平行，从而)(s γ =)(s γ ，
即两曲线的副法线也平行。

且,ds s d κκ= 或ds
s d =κκ。

)(s γ =)(s γ
两边对s 求微商得ds s d s s )()(βτβτ -=-，于是 ,ds s d ττ=或ds s d =ττ，所以，ττκκ= 或τ
κτκ=。

"
第二章 曲面论。

￥
§２ 曲面的第一基本形式
1. 求双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.
解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==
2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=⋅=
,
∴ I = +++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。

２．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12==u r E
，0=⋅=v u r r F ，
222b u r G v +==
，∴ I =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。

３．在第一基本形式为I =222sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。

…
解 由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2ds 得
=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的
弧长为|sinh sinh ||cosh |122
1
v v vdv v v -=⎰。

4．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。

分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变
量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，22a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，
0=v F ，2a G =。

曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为ϕ，则有
cos ϕ=
22
222211a a v
G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。

6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的
正交轨线的微分方程为E δu + F δv = 0 .
,
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .
8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .
证 用分别用δ、*δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*δu ＝０，*δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得
2
22
222)()(ds
v G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 22)()(+=+。

展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2dv ,而EG-2F >0，消去EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .
9．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，
求曲面上三条曲线u = a ±v, v =1相交所成的三角形的面积。

解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。

曲线围城的三角形的面积是
S=⎰⎰⎰⎰+++--1
2
2
1
2
2
a
u a
a
a
u dv du a u dv du a u
=2⎰⎰+102
2
a
u a dv du a u =2du a u a u
a
⎰+-0
22)1(
=a
a u u a a u u a u a
02222223
22|)]ln()(32[++++++-
：
=)]21ln(3
2
2[
2++-a 。

11.证明螺面r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r ={tcos ϑ,tsin ϑ,12-t } (t>1, 0<ϑ<2π)之间可建立等距映射 ϑ=arctgu + v , t=12+u .
分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射ϑ = arctgu + v , t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明 螺面的第一基本形式为I=22du +2 dudv+(2u +1)2dv , 旋转曲面的第一
基本形式为I=ϑd t dt t t 222
2
)1
1(+-+ ,在旋转曲面上作一参数变换ϑ =arctgu + v , t =12+u , 则其第一基本形式为:
2
222
222)11)(1(1)11(2dv du u
u du u u u u +++++++
=2
222
222)1(211)11(dv u dudv du u
du u u +++++++=22du +2 dudv+(2u +1)2dv = I . 所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ϑ =arctgu + v , t =12+u .
)
§3曲面的第二基本形式
1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r
={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r
={-sinhusinv,sinhucosv,0},
vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F ⋅==0,2v r G
==cosh 2u. 所以I = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .
n =
2F EG r r v u -⨯ =
}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1
2v u v u v u u
--,
L=11
sinh cosh 2
-=+-u , M=0, N=
1
sinh cosh 2
+u =1 .
!
所以II = -2du +2dv 。

2. 计算抛物面在原点的2
2212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.
解 曲面的向量表示为}22
5,,{2
2
212121x x x x x x r ++= , }0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r
, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r
, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,
I=2221dx dx +, II=2
22121245dx dx dx dx ++.
3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞<u,v<∞处处有EN-2FM+GL=0。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==
，uu r ={0,0,0},
^
uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E
，0=⋅=v u r r F ，
222b u r G v +==
， L= 0, M =
2
2
b
u b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .
4. 求出抛物面)(2
1
22by ax z +=
在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y
,},0,0{a r xx = ,}0,0,0{=xy r },0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2
22
2dy dx bdy adx k n ++=.
6. 利用法曲率公式I
II
k n =,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。

证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R 的倒数1/R 。

即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv
R Gdv
Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1
222
222=++++==或-R 1，所以)1(R G N F M E L ===，即第一、第二类基本量成比例。

>
8. 求曲面2xy z =的渐近线.
解 曲面的向量表示为},,{2xy y x r = ,},,0,1{2y r x +
}0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r ,
22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===⋅=++===
.
4
2
2
4
2
2
412,412,0y
y x x N y
y x y M L ++=
++=
=.
渐近线的微分方程为222Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.
证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.
方法二：任取曲线:()r r s Γ=，它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+，
]
()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+，t ρβ=，(1)s t t t ρρκακγ⨯=-+-
在曲线Γ上，t = 0 , s t ρργ⨯=,曲面的单位法向量s n EG γ==-，即n γ=，
所以曲线Γ在它的主法线曲面上是渐近线.
11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线. 解
}
,cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==
，
uu
r ={0,0,0}，
vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E
，0=⋅=v u r r F ，
222b u r G v +==
， L=0, M=
2
2
b
u b +- , N=0,曲率线的微分方程为:
00
012
2222
2=+-+-b u b b u du dudv dv ,即du b
u dv 2
2
1+±=,积分得两族曲率线方程:
222122)ln()ln(c u b u v c b u u v +-+=+++=和.
12.求双曲面z=axy 上的曲率线.
解 ,1,0,1,,12
2
2
2
2222222y
a x a a M L x a G y x a F y a E ++==+==+=N=0 .
}
由0
10
112
2
2
222
222
22
2
2
y
a x a a x a y x a x a dx dxdy dy ++++-=0得222222)1()1(dy x a dx y a +=+,积分
得两族曲率线为c y a ay x a ax +++±=++)1ln()1ln(2222.
13.求曲面}2
),(2),(2{uv
v u b v u a r +-= 上的曲率线的方程.
解 ,0,4
,4,42
2222222=++=++-=++=
L u b a G uv b a F v b a E M=
2
2F
EG ab
-,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:
积分得,)()(22222222du v b a dv u b a ++=++:
c v b a v u b a u ++++±=+++)ln()ln(222222 .
14.给出曲面上一曲率线L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L 是一平面曲线.
证法一：因 L 是曲率线,所以沿L 有r d n d n
κ-=,又沿L 有γ •n =常数,求微商
)
得正交与而γγγ r d n d n n n ////,0=⋅+⋅,所以0=⋅n γ,即-τβ ·n =0,则有τ=0,或β ·n
=0 .
若τ=0, 则L 是平面曲线；若β ·n
=0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿L ，n κ=0 ，
这时d n =0 ，n 为常向量，而当L 是渐近线时，γ =±n
，所以γ 为常向量，L 是一
平面曲线.
证法二：若γ ⊥n ，则因n ⊥dr ‖α ，所以n ‖β ，所以d n
‖β，由伏雷
内公式知d n ‖（κατβ-+）而L 是曲率线，所以沿L 有d n
‖α，所以有τ=0,从
而曲线为平面曲线；
若γ 不垂直于n ， 则有γ •n
=常数,求微商得0,n n γγ⋅+⋅=因为L 是曲率线，
所
以沿L 有dn ‖dr ⊥γ ，所以0n γ⋅=，所以0=⋅n γ，即-τβ ·n =0 ，若τ=0，则问题得证；否则β ·n =0 ，则因0n α⋅=，有n
‖γ ，dn ‖d γ‖（-τβ ）‖α ，矛盾。

15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。

证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。

\
16．求正螺面的主曲率。

解 设正螺面的向量表示为r ={u v cos ,u v sin ,bv}.
解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，
vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E
，0=⋅=v u r r F ，
222b u r G v +==
， L= 0, M =
2
2
b
u b +- , N = 0,代入主曲率公式
（EG-2
F ）2N
κ-（LG-2FM+EN ）N κ+ LN-2
M = 0 得2N
κ=2
222
)
(a u a +。

所以主曲率为 2
22
221,a u a
a u a +-=+=
κκ 。

17．确定抛物面z=a(22y x +)在（0，0）点的主曲率.
解 曲面方程即{0,0,2}yy r a =，22{,,()}r x y a x y =+，{1,0,2}x r ax ={0,1,2}y r ay =，{0,0,2}xx r a =，{0,0,0},xy r ={0,0,2}yy r a = 。

在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 , ，
N=2a .所以2
N κ-4a N κ+42a =0 ，两主曲率分别为 1κ = 2 a , 2κ= 2 a .
18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1κ 、2κ，任给一方向ϑ及与其正交的方向ϑ+2
π
，则这两方向的法曲率分别为ϑκϑκϑκ2221sin cos )(+=n ，
ϑκϑκπϑκπϑκπϑκ22212221cos sin )2(sin )2(cos )2(+=+++=+n ，即
+)(ϑκn 21)2(κκπϑκ+=+n 为常数。

19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数. 证 由ϑκϑκκ2221sin cos +=n 得 2
1
2κκϑ-
=tg ,即渐进方向为 211κκϑ-
=arctg ,2ϑ=-2
1κκ
-arctg .又-2ϑ+1ϑ=21ϑ 为常数,所以为1ϑ为常数,即2
1
κκ为常数. …
23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.
证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点.
若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线
网.
若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向ϑ满足212κκϑ-=tg =1, 即1ϑ=π/4,2ϑ=- π/4, 两渐近线的夹角为2π,即渐近曲线网构成正交网. 证法二：020H LG FM NE =∴-+=渐近线方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++= 所以2()20du du L M N dv dv
++=，所以2,du u N du u M dv v L dv v L δδδδ=+=- ，所以()[()]du u du u Edu u F du v dv u Gdv v dv v E F G dv v dv v
δδδδδδδδδ+++=+++ =2[()]0N M dv v E F G L L
δ+-+= ，所以渐近网为正交网。

* 证法三：0M ≠121()02H κκ=+= ，所以高斯曲率120K κκ=≤ ，所以
2LN M -≤0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。

所以曲面上存在两族渐近线。

取曲面上的两族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若
0M ≠ ，则020H LG FM NE =∴-+= ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为正交网。

26．两个曲面1S 、2S 交于一条曲线（C ），而且（C ）是1S 的一条曲率线，则
（C ）也是2S 的一条曲率线的充要条件为1S 、2S 沿着（C ）相交成固定角。

证 两个曲面1S 、2S 交于曲线（C ），1n 、2n 分别为1S 、2S 的法向量，则沿
交线（C ），1n 与2n 成固定角的充要条件为1n ·2n =常数，这等价于d(1n ·2n )=0,
即
d 1n ·2n +1n ·d 2n =0 ,而（C ）是1S 的一条曲率线，因此d 1n 与（C ）的切向量d r 共
线，则与2n 正交，即d 1n ·2n =0，于是1n ·d 2n =0，又d 2n ⊥2n ，所以1n · d 2n = d 1n ·2n =0的充要条件为d 2n r 2S 纹面和可展曲面
1. 证明曲面r =}3
2,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面. 证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u =},2,{432u u u ，()b u =}3
2,,31{2u u ，则r =()a u + v ()b u ，且()b u ≠0，这是直纹面的方程 ，它满足
(',,')a b b =2
32264123
340
13u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。

￥
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

（略）
2。

证明曲面r ={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v + u ()b v ，其中()a v ={cosv-vsinv,
sinv+vcosv, 2v}，()b v ={-sinv, cosv,1} ，易见()
b v ≠0，所以曲面为直纹面，
又因为(',,')a b b =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0
v v v v v v v
v v v ------=0，所以所给曲面为可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

（略）
3．证明正螺面r
={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面。

证法一：原曲面的方程可改写为 r =()a u + v ()b u ，其中
()a u ={0,0,au+b},()b u ={cosu,sinu,0}.易见()
b u ≠0, 所以曲面为直纹面, 又因
为(',,')a b b =00cos sin 0sin cos 0
a u u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

（略）
—
4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。

证 挠曲线（C ）:()a a s =的主法线曲面为 1():()()s r a s v s β=+,因为
(,,)a ββ=(,,)0αβκατγτ-+=≠，故1():()()s r a s v s β=+不是可展曲面。

挠曲线（C ）:()a a s =的副法线曲面为 2():()()S r a s v s γ=+，因为(,,)a γγ=(,,)0αγτβτ-=≠，故2():()()S r a s v s γ=+不是可展曲面。

7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。

证 柱面1()S 的方程可写为 r =()a u + v 0b ，（0b ≠0 为常向量）因为
(',,')a b b =0(',,0)0a b =。

故1()S 是可展曲面。

锥面2()S 的方程可写为 r
=0a + v ()b u （0a 为常向量），因为(',,')a b b =(0,,')b b =0，故2()S 是可展曲面。

曲线（C ）:()a a s =的切线曲面为 3():()()S r a s v s α=+。

因为(',,')a b b =(,,')0ααα=，故3():()()S r a s v s α=+是可展曲面。

§5 曲面的基本定理
8．求证第一基本形式为22
2
222()du dv ds u v c +=++的曲面有常高斯曲率 。

证 因为222
1,0()E G F u v c ===++ ，所以
]
u v K =+=-()22222222222222()2()[]()()v c u u c v u v c u v c u v c -+--+-+++++++=4c 故所给曲面有常高斯曲率 。

§6 曲面上的测底线
2．证明球面r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率
sin ,n d udv ds ds
θκ=- 其中θ表示曲线与经线的交角。

证 易求出E=2a , F=0,G=2a 2cos u ,因此
g d k ds θθθ==221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ∂+∂=sin sin
cos d u ds a u θθ-，而1cos dv sin ds a u θθ==，故 sin g d dv k u ds ds θ=-。

3．求位于半径为R 的球面上半径为a 的圆的测地曲率.
解法一：因为sin ,(,)n n κκθθβ=±=∠，而1,sin a κθ==
n κ=。

解法二：半径为a 的圆的曲率为1a κ=
，圆上每一点处的法曲率1n R κ=±，由
222n g κκκ=+知，2222222g n R a R a κκκ-=-= ，所以g κ= 。

解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为a 的纬圆的测地曲率。

由1题知所求即为v-线的测地曲率：
gv k =Γ
因为所考虑纬圆的半径为a ，所以cos ,sin R u a u ===
所以v g Ra
κ=- 。

4．求位于正螺面r ={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线00():{cos ,sin ,}
C r u v u v av =（0u =常数）的测地曲率。

解 易计算出E=1，F=0，G=22a u +，而（C ）是一条v-曲线：u=0u ,于是由
22
221ln()2gv a u u u a u κ∂+===∂+，可知（C ）的测地曲率为0220gv u a u κ=+。

7．求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 。

证 设旋转曲面为(S)，{()cos ,()sin ,()}(()0)r t t t t ϕθϕθψϕ=，则易计算出E= '2'22,0,F G ϕψϕ+==,于是子午线（t —曲线）的测地曲率为
'2'21ln()0
2gt k ϕψϕθ∂+==-=∂，故子午线是测地线。

又平行圆（θ-曲线）的测地曲率为
2
g k θ=== 。

所以0g k θ=的充要条件是'()0t ϕ= ，即{'()cos ,'()sin ,'()}{0,0,'()}t r t t t t ϕθϕθψψ== 故平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 。

8．求证 ⑴ 如果测地线同时为渐近线，则它是直线；
⑵如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线。

证 ⑴因为所给曲线是测地线，所以0g k =； 又因为所给曲线是渐近线，所以
0n k =，而222n g
k k k =+ ，所以k=0，故所给曲线是直线。

⑵ 方法一：因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有n ‖β，n ‖α，
而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线。

方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有n ‖β，所以β‖dn ，又因曲
线是曲率线，所以dn ‖dr ‖α ，所以()κατγ-+‖α ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线。

方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲线曲面的法线曲面是可展曲面。

从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是可展曲面，因此该曲线一定是平面曲线。

方法四：设Γ是测地线，所以Γ的主法向量β‖n （曲面的单位法向量），所以Γ的副法向量γ⊥n ；即曲线Γ在每点处的副法向量与曲面在该点的法向量成定角，因Γ是曲率线，所以由P 114习题14知，曲线Γ是平面曲线。

10．求正螺面r ={ucosv,usin,av}上的测地线。

解 易计算出E=1，F=0，G=22a u +，所以测地线的微分方程化为
22,d u dv tg du a u du θθθ=-=+，对第一式积分得sin h =（常 数）。

于是
tg θ=，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为
v h = 。

11．利用刘维尔公式证明：⑴平面上的测地线为直线；⑵圆柱面上的测地线为 圆柱螺线。

证 ⑴方法一：由于曲面的第一基本形式可写为22du dv I =+，所以由利乌维 公式可知，平面上的测地线的微分方程为
0,0,d d dv tg du dv du
θθθ===，于是有θ=常数，v utg c θ=+，故测地线为直线。

方法二：取平面直角坐标系xoy ， 平面方程为{,,0}r x y =，可得1,0,1E F G ===，所以 22dx dy I =+。

由刘维尔公式，对平面上的测地线有：
g d d ds ds θθκθθ=+= = 0 所以测地线的（相对曲率）r d k ds θ=
= 0 ，所以测地线是直线。

方法三： 如方法二得0d ds
θ=，所以0θθ=是常数，所以 0000cos ,cos ,sin ,sin dx dy x s y s ds ds θθθθ==== 即测地线方程
是
0v u K ⎧⎫⎡⎤⎪=+=⎬⎪⎭
00cos sin x s y s θθ=⎧⎨=⎩ ，所以测地线是直线。

⑵ 证法一：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===。

所以测地线的微分方程为
g d d ds ds θθκθθ== = 0
，,du dv ds ds θθ== ，所以θ=常数，0,0,d d dv atg du dv du θθθ===，()v atg u c θ=+，即圆柱面上的测地线为{cos ,sin ,}.r a u a u bu c =+。

其中b atg θ=，这正是圆柱面上的圆柱螺线。

因此得证。

证法二：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===。

所以
测地线的微分方程为0,g d d ds ds du dv ds ds θθκθθθθ⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
所以0001cos ,sin du dv ds a ds θθθθ===是常数， ，0102cos ,sin u S C v s C a
θθ=+=+ 。

所以测地线为：001102cos cos {cos(),sin(),sin }r a s C a s C s C a a
θθθ=+++ （C 1 ,C 2为常数）。

因为0{sin }r θ'=…，…，与z 周成定角，所以测地线为圆柱螺线：
00θ=时为112{cos(),sin(),}s
s r a C a C C a a
=++是纬圆；
02
πθ=
时为112{cos ,sin ,}r a C a C s C =+是直母线。

12．证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线。

证法一： 因为所给曲面曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有n β=±，从而()n κατγ=±-+，又因为曲线是平面曲线，所以0τ=，从而n κα=±。

因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线。

证法二：设曲面上非直线的曲线Γ为测地线且为平面曲线。

因为Γ为测地线，所以它的主法线是曲面的法线，又因Γ为平面曲线，所以Γ的主法线曲面是可展曲面，于是曲面沿Γ的法线组成曲面是可展曲面，所以Γ为曲率线。

15．证明：若曲面上两族测地线交于定角，则曲面是可展曲面。

证法一： 取一族测地线为u-曲线，与其正交的测地平行线为v-曲线，在曲面上建半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可写为222(,)ds du G u v dv =+，由于两族测地线交于定角（设为ϑ），所以对另一族测地线来说应有
0sin 02u G d ds G θθθ==-= ，所以0G u ∂=∂ ，这说明G 仅与v 有关，于是曲面的第一基本形式可写为222()ds du G v dv =+，作参数变
换,u u v == ，则曲面的第一基本形式化为 22du dv I =+ ，这与平面的第一基本形式一致。

因此所给曲面与平面是等距的，故为可展曲面。

证法二：同上得到曲面的第一基本形式为222()ds du G v dv =+，所以曲面的高斯
曲率0v u K ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪=+=⎬⎪⎭
，所以曲面为可展曲面。

证法三：同17题利用高斯--泼涅公式证明曲面的高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面。

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