微分几何课后习题答案

微分几何课后习题答案
微分几何课后习题答案
微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几
何性质。

在学习微分几何的过程中，课后习题是巩固知识、提高理解能力的重
要途径。

本文将针对微分几何课后习题给出一些答案，并解析其中的一些关键
思路和方法。

一、曲线的参数化
1. 给定曲线的参数方程为：
x = t^2
y = t^3
求曲线的切向量和法向量。

解析：
曲线的切向量是曲线在某一点上的切线的方向，可以通过对参数方程求导得到。

对x和y分别求导，得到：
dx/dt = 2t
dy/dt = 3t^2
所以切向量为：
T = (dx/dt, dy/dt) = (2t, 3t^2)
曲线的法向量与切向量垂直，可以通过将切向量逆时针旋转90度得到。

所以法向量为：
N = (-dy/dt, dx/dt) = (-3t^2, 2t)
二、曲线的长度
2. 计算曲线的长度：
x = e^t
y = e^(-t)
解析：
曲线的长度可以通过积分求解。

首先计算曲线的切向量：
dx/dt = e^t
dy/dt = -e^(-t)
曲线的长度可以表示为：
L = ∫√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt
= ∫√(e^t)^2 + (-e^(-t))^2 dt
= ∫√(e^2t + e^(-2t)) dt
这是一个积分问题，可以通过换元法解决。

令u = e^t，那么du = e^t dt。

将u代入上式，得到：
L = ∫√(u^2 + u^(-2)) du
= ∫√(u^4 + 1) du
这是一个较为复杂的积分，可以通过换元法或者级数展开法求解。

三、曲面的法向量
3. 给定曲面的参数方程为：
x = u + v
y = u - v
z = u^2 - v^2
求曲面的法向量。

解析：
曲面的法向量可以通过对参数方程中的u和v分别求偏导得到。

对x、y、z分别对u求偏导，得到：
∂x/∂u = 1
∂y/∂u = 1
∂z/∂u = 2u
对x、y、z分别对v求偏导，得到：
∂x/∂v = 1
∂y/∂v = -1
∂z/∂v = -2v
所以曲面的法向量为：
N = (∂z/∂u, ∂z/∂v, -∂x/∂u * ∂y/∂v + ∂y/∂u * ∂x/∂v) = (2u, -2v, 2)
四、曲面的曲率
4. 给定曲面的参数方程为：
x = u^2
y = v^2
z = u + v
求曲面的曲率。

解析：
曲面的曲率可以通过计算曲面的一、二阶偏导数来求解。

首先计算曲面的一阶偏导数：
∂x/∂u = 2u
∂x/∂v = 0
∂y/∂u = 0
∂y/∂v = 2v
∂z/∂u = 1
∂z/∂v = 1
然后计算曲面的二阶偏导数：
∂^2x/∂u^2 = 2
∂^2x/∂v^2 = 0
∂^2y/∂u^2 = 0
∂^2y/∂v^2 = 2
∂^2z/∂u^2 = 0
∂^2z/∂v^2 = 0
最后，根据曲率的定义公式计算曲率：
K = |(∂^2x/∂u^2 * ∂^2y/∂v^2 - ∂^2x/∂v^2 * ∂^2y/∂u^2) / (1 +
(∂x/∂u)^2 + (∂y/∂u)^2)^(3/2)|
将上述计算结果代入公式中，即可得到曲面的曲率。

通过以上的习题解析，我们可以看到微分几何中的一些基本概念和计算方法。

希望这些答案和解析能够帮助读者更好地理解微分几何的知识，并在课后习题中得到更好的应用和巩固。