江苏省无锡市2015-2016学年八年级数学下学期期中试题(含解析) 苏科版

江苏省无锡市江阴市华士片2015-2016学年八年级数学下学期期中
试题
一．选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分.）
1．下列各式、、、+1、中分式有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．下列式子为最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．下列有四种说法：
①了解某一天出入扬州市的人口流量用普查方式最容易；
②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件；
③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；
④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件．
其中，正确的说法是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
4．使有意义的x的取值范围是（）
A．B．C．D．
5．如果把分式中的m和n都扩大2倍，那么分式的值（）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
6．下列约分正确的是（）
A．B．
C．D．
7．已知▱ABCD，给出下列条件：①AC=BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC⊥BD，添加其中之一能使□ABCD成为菱形的条件是（）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
8．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
9．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
10．如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1、B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则C n的坐标是（）
A．（﹣×4n，4n）B．（﹣×4n﹣1，4n﹣1）C．（﹣×4n﹣1，4n）D．（﹣×4n，
4n﹣1）
二．填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分.）
11．使分式有意义的x的取值范围是．
12．请写出的一个同类二次根式．
13．分式；的最简公分母是．
14．若矩形ABCD的对角线长为10，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是．
15．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，当点C1在线段CA的延长线上时，则∠CC1A1= °．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．
18．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连结AO，如
果AB=3，AO=2，那么AC的长为．
三．解答题：（本大题共8小题，共54分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）19．计算或化简
（1）
（2）﹣2+2+．
20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．
21．已知，如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，试说明：
（1）△ABC≌△CDF；
（2）BE∥DF．
22．某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了
请根据以上图表信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的m= ，n= ；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为°；
（3）从选择“篮球”选项的60名学生中，随机抽取10名学生作为代表进行投篮测试，则其中某位学生被选中的概率是．
23．在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．郑州市的一个社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．（1）A组的频数是，本次调查样本的容量是；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额不少于300元的户数是多少？
24．某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙、丙3人发现了该图案的以下性质：
甲：这是一个中心对称图形；
乙：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴；
丙：这是一个轴对称图形，且它的对称轴经过5粒棋子．
他们想，若去掉其中的若干个棋子，上述性质能否仍具有呢？例如，去掉图案正中间一粒棋子（如图2，用“×”表示去掉棋子），则甲、乙发现的性质仍具有．
请你帮助他们一起进行探究：
（1）在图3中，请去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质．
（2）在图4中，请去掉4个棋子，使所得图形仅保留丙所发现的性质．
（3）在图5中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙、丙3人所发现的性质．
25．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
（3）如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，顺次连接BD、DE、EG、GB，请你直接写出四边形BDEG面积的最大值．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（﹣2，0）、（0，4）．动点P从O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C以每秒2个单位的速度在y 轴上从点B出发运动到点O停止，点C停止运动时点P也随之停止运动．以CP、CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP的延长线长取点E，使得PE=2．设点P的运动时间为t秒．
（1）求证：四边形ADEC是平行四边形；
（2）以线段PE为对角线作正方形MPNE，点M、N分别在第一、四象限．
①当点M、N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M、N中恰好只有一点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，设▱PCOD的面积为S，直接写出S的取值范围．
2015-2016学年江苏省无锡市江阴市华士片八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分.）
1．下列各式、、、+1、中分式有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】分式的定义．
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解：、+1是分式，
故选：A．
2．下列式子为最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：A．
3．下列有四种说法：
①了解某一天出入扬州市的人口流量用普查方式最容易；
②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件；
③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；
④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件．
其中，正确的说法是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；概率的意义．
【分析】依据实际情况找到正确事件的个数即可．
【解答】解：①了解某一天出入扬州市的人口流量用普查方式花费的劳力太大，估计一下就可以了，不必进行普查．②③④都是对的．
故选D．
4．使有意义的x的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：3x ﹣1≥0，解得x≥．
故选C ．
5．如果把分式中的m 和n 都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A ．不变
B ．扩大2倍
C ．缩小2倍
D ．扩大4倍
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，可得答案．
【解答】解：分式中的m 和n 都扩大2倍，得
分式的值不变，
故选：A ．
6．下列约分正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】约分．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，找出分子与分母的最大公因式，化简即可得出结果．
【解答】解：A 、=a 4
，故本选项错误； B 、不能化简，故本选项错误；
C 、不能化简，故本选项错误；
D 、=﹣=﹣1，故本选项正确．
故选D ．
7．已知▱ABCD ，给出下列条件：①AC=BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC⊥BD，添加其中之一能使□ABCD 成为菱形的条件是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
【考点】菱形的判定．
【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
①若AC=BD，可得四边形ABCD是矩形，故①错误，
②中∠BAD=90°，得到一矩形，不是菱形，所以②错误，
③中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以③成立，
④若AC⊥BD，则可得其为菱形，④成立，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：A．
9．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【考点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；
B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确；
C、测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误；
D、在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD，
∴∠CAO=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1、B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则C n的坐标是（）
A．（﹣×4n，4n）B．（﹣×4n﹣1，4n﹣1）C．（﹣×4n﹣1，4n）D．（﹣×4n，
4n﹣1）
【考点】一次函数综合题；平行四边形的性质．
【分析】先求出直线l的解析式为y=x，设B点坐标为（x，1），根据直线l经过点B，
求出B点坐标为（，1），解Rt△A1AB，得出AA1=3，OA1=4，由平行四边形的性质得出
A1C1=AB=，则C1点的坐标为（﹣，4），即（﹣×40，41）；根据直线l经过点B1，求
出B1点坐标为（4，4），解Rt△A2A1B1，得出A1A2=12，OA2=16，由平行四边形的性质得出
A2C2=A1B1=4，则C2点的坐标为（﹣4，16），即（﹣×41，42）；同理，可得C3点的
坐标为（﹣16，64），即（﹣×42，43）；进而得出规律，求得C n的坐标是（﹣×4n ﹣1，4n）．
【解答】解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，
∴直线l的解析式为y=x．
∵AB⊥y轴，点A（0，1），
∴可设B点坐标为（x，1），
将B（x，1）代入y=x，得1=x，解得x=，
∴B点坐标为（，1），AB=．在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°﹣60°=30°，∠A1AB=90°，
∴AA1=AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4，
∵▱ABA1C1中，A1C1=AB=，
∴C1点的坐标为（﹣，4），即（﹣×40，41）；
由x=4，解得x=4，
∴B1点坐标为（4，4），A1B1=4．
在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，
∴A1A2=A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，
∵▱A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4，
∴C2点的坐标为（﹣4，16），即（﹣×41，42）；
同理，可得C3点的坐标为（﹣16，64），即（﹣×42，43）；
以此类推，则C n的坐标是（﹣×4n﹣1，4n）．
故选C．
二．填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分.）
11．使分式有意义的x的取值范围是x≠3．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
【解答】解：分式有意义，则x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
12．请写出的一个同类二次根式2（答案不唯一）．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的概念，被开方数相同相同的根式称为同类二次根式，所以本题
只要是被开方数为2的二次根式即的一个同类二次根式，答案不唯一．
【解答】解：根据同类二次根式的定义，例如：2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
13．分式；的最简公分母是6x3y（x﹣y）．
【考点】最简公分母．
【分析】根据确定最简公分母的方法即可得出答案．
【解答】解：分式，的最简公分母是6x3y（x﹣y）；
故答案为：6x3y（x﹣y）．
14．若矩形ABCD的对角线长为10，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是20 ．
【考点】中点四边形．
【分析】根据三角形的中位线定理可以得到四边形EFGH的四边分别是对角线的一半，然后根据矩形的对角线相等即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线长为10，
∴AC=BD=10
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=AC=×10=5
EH=GF=BD=×10=5
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=5+5+5+5=20．
故答案为：20
15．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 5 ．【考点】概率的意义．
【分析】根据概率的意义解答即可．
【解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，
则事件A平均每100次发生的次数为：100×=5．
故答案为：5．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，当点C1在线段CA的延长线上时，则∠CC1A1= 60 °．
【考点】旋转的性质．
【分析】直接利用旋转的性质得出对应线段以及对应角，得出∠C=∠BC1C=30°，进而得出∠CC1A1的度数．
【解答】解：∵∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点C1在线段CA的延长线上，
∴BC=BC1，∠C=∠A1C1B=30°，
∴∠C=∠BC1C=30°，
∴∠CC1A1=60°．
故答案为：60．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP×BC=AB×AC，
∴AP×BC=AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==10，
∵AB=6，AC=8，
∴10AP=6×8，
∴AP=
∴AM=，
故答案为：．
18．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连结AO，如
果AB=3，AO=2，那么AC的长为7 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】如图在CA上截取CM=AB，连接OM，只要证明△ABO≌△MCO得△OAM是等腰直角三角形，求出AM即可解决问题．
【解答】解：如图在CA上截取CM=AB，连接OM，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠ABO+∠AKB=90°，∠OCM+∠OKC=90°，∠AKB=∠OKC，
∴∠ABO=∠OCM，
在△ABO和△MCO中，
，
∴△ABO≌△MCO，
∴AO=MO，∠AOB=∠COM，
∴∠AOM=∠BOC=90°，
∵AO=OM=2，AB=CM=3，
∴AM==4，
∴AC=AM+CM=4+3=7
故答案为：7．
三．解答题：（本大题共8小题，共54分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）19．计算或化简
（1）
（2）﹣2+2+．
【考点】实数的运算．
【分析】（1）原式利用算术平方根定义，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果；
（2）原式化简后合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=3+﹣1+1=4；
（2）原式=4﹣2++4=3+4．
20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）让三角形的各顶点都绕点A顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可．（2）根据△ABC的各顶点关于原点的中心对称，得出A2、B2、C2的坐标，连接各点，即可得△A2B2C2．
（3）先作出点C关于x轴的对称点P．再根据平移的性质得到x的值．
【解答】解：（1）作图如右：△A1B1C1即为所求；
（2）作图如右：△A2B2C2即为所求；
（3）x的值为6或7．
21．已知，如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，试说明：
（1）△ABC≌△CDF；
（2）BE∥DF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）可由平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，
（2）由（1）得出∠AEB=∠CFD，即∠BEC=∠DFA，进而可求证DF与BE平行．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
又∵AE=CF，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠BEC=∠DFA，
∴DF∥BE．
22．某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了
（1）频数分布表中的m= 48 ，n= 0.3 ；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为108 °；
（3）从选择“篮球”选项的60名学生中，随机抽取10名学生作为代表进行投篮测试，则
其中某位学生被选中的概率是．
【考点】扇形统计图；方差；概率公式．
【分析】（1）先根据喜爱篮球的人数求出总人数，故可得出m的值，根据所有频率的和等于1可得出n的值；
（2）求出喜欢乒乓球的人数占总人数的百分比即可得出结论；
（3）直接根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵喜爱篮球的人数是60人，占总人数的25%，
∴总人数==240（人）．
∵喜欢羽毛球的人数占中人数的20%，
∴m=240×20%=48（人）．
n=1﹣0.25﹣0.2﹣0.15﹣0.10=0.3．
故答案为：48，0.3；
（2）∵喜欢乒乓球的人数是72人，
∴“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数=×360°=108°．
故答案为：108；
（3）∵从选择“篮球”选项的60名学生中，随机抽取10名学生作为代表进行投篮测试，
∴其中某位学生被选中的概率==．
故答案为：．
23．在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．郑州市的一个社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．（1）A组的频数是 2 ，本次调查样本的容量是50 ；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额不少于300元的户数是多少？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．【分析】（1）根据A、B两组户数直方图的高度比为1：5，即两组的频数的比是1：5，据此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数，即样本容量；
（2）利用总数乘以百分比即可求得C组的频数，从而补全统计图；
（3）利用总数1500乘以对应的百分比即可．
【解答】解：（1）A组的频数是：10×=2；
调查样本的容量是：（2+10）÷（1﹣8%﹣28%﹣40%）=50；
（2）C组的频数是：50×40%=20，
D组的频数是：50×28%=14，
E组的频数是：50×8%=4，如图，
．
（3）∵1500×（28%+8%）=540，
∴全社区捐款不少于300元的户数是540户．
24．某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙、丙3人发现了该图案的以下性质：
甲：这是一个中心对称图形；
乙：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴；
丙：这是一个轴对称图形，且它的对称轴经过5粒棋子．
他们想，若去掉其中的若干个棋子，上述性质能否仍具有呢？例如，去掉图案正中间一粒棋子（如图2，用“×”表示去掉棋子），则甲、乙发现的性质仍具有．
请你帮助他们一起进行探究：
（1）在图3中，请去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质．
（2）在图4中，请去掉4个棋子，使所得图形仅保留丙所发现的性质．
（3）在图5中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙、丙3
人所发现的性质．
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【分析】根据题意要求，分别去掉一些棋子，本题答案不唯一，可以发散思维．
【解答】解：所设计图形如下：
说明：答案不唯一，只要符合题意即可．
第（1）、（2）小题各，第（3）小题．
25．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
（3）如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，顺次连接BD、DE、EG、GB，请
你直接写出四边形BDEG面积的最大值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE从而∠AEB+∠ADG=90°，即可；
（2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2从而得出AM=，在Rt△AMG
中，AM2+GM2=AG2从而得出GM=即可；
（3）利用旋转，设旋转角为α，在Rt△AIB中，BI=ABsinα，在Rt△AHD中，DH=ADsinα，从而S四边形BDEG用sinα，即可．
【解答】（1）如图1，延长EB交DG于点H
∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴∠AGD=∠AEB
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°
∴∠AEB+∠ADG=90°
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°
∴∠DHE=90°
∴DG⊥BE．
（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，
∠AMD=∠AMG=90°
∵BD是正方形ABCD的对角
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45°，AD=2
∴AM=
在Rt△AMG中，
∵AM2+GM2=AG2
∴GM=
∵DG=DM+GM=+
∴S△ADG=DG•AM=（+）=1+
（3）如图3，
作DH⊥AE交EA的延长线与H，作BI⊥AG，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，
设旋转角为α，
∴∠BIG=α，∠HAD=α，
在Rt△AIB中，BI=ABsinα，
在Rt△AHD中，DH=ADsinα，
∵四边形AEFG是边长为3的正方形，
∴AG=AE=3，
∴S四边形BDEG=S△ABG+S△ABD+S△ADE+S△AEG
=S△ABD+S△AEG+S△ABG+S△ADE
=AB×AD+AG×AE+×AG×BI+AE×DH
=AB×AD+AG×AE+×AG×ABsi nα+AE×ADsinα
=×2×2+×3×3+×3×2sinα+×3×2sinα
=+6sinα
当sinα=1时，S四边形BDEG最大，S四边形BDEG最大=，
故答案为．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（﹣2，0）、（0，4）．动点P从O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C以每秒2个单位的速度在y 轴上从点B出发运动到点O停止，点C停止运动时点P也随之停止运动．以CP、CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP的延长线长取点E，使得PE=2．设点P的运动时间为t秒．
（1）求证：四边形ADEC是平行四边形；
（2）以线段PE为对角线作正方形MPNE，点M、N分别在第一、四象限．
①当点M、N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M、N中恰好只有一点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，设▱PCOD的面积为S，直接写出S的取值范围．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）连接CD交OP于点G，由▱PCOD的对角线互相平分，得四边形ADEC是平行四边形；
（2）①第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO，再利用正方形对角线相等求解；第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD，再利用正方形对角线相等求解；
②当≤t≤1时，求出S的取值范围．
【解答】（1）证明：如图1，连接CD交AE于F，
∵四边形PCOD是平行四边形，
∴CF=DP，OF=PF，
∵PE=AO，
∴AF=EF，又CF=DP，
∴四边形ADEC为平行四边形；
（2）解：①当M点在CE上时，第一种情况：如图，当点M在CE边上时，
∵MF∥OC，
∴△EMF∽△ECO，
∴=，
∵四边形MPNE为正方形，
∴MF=EF，
∴CO=EO，即4﹣2t=t+2，
∴t=；
第二种情况：当点N在DE边时，
∵NF∥PD，
∴△EFN∽△EPD，
∴，
∵四边形MPNE为正方形，
∴NF=EF，
∴PD=PE，即4﹣2t=2，
∴t=1；
∴当点M、N中有一点落在四边形ADEC的边上时，所有满足条件的t的值为t=或t=1；
②解：∵≤t≤1，
S=（4﹣2t）t=﹣2t2+4t=﹣2（t﹣1）2+2，
∴点M、N中恰好只有一点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，≤S＜2．。