流体力学-量纲化分析详解

1.1 量纲分析的提出
现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。

例如飞机与船舶的流体动力特性、河流的水动力学特性等等。

如何解决这些问题？途径有：
（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与设备。

不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成之前能预见它的性能。

（b）数值模拟。

随着计算机的发展，有很多实际问题可以通过数值模拟去了解它的结果，这是一个发展的趋向。

例如这是一个用数值模拟方法得到的半圆柱绕流的过程。

但由于实际问题的复杂性，很多问题目前尚无法去使用数学模拟。

另外，由于数值误差的存在，或计算方法的缺陷，或方法存在问题等等，有时也使得数值模拟的结果的可靠性受到质疑。

（c）使用小尺度模型试验的方法，只需耗费较少的人力、物力、财力，就可以获得所需的数据。

例如在风洞里进行飞机的试验，在水池里进行船舶的试验等等。

但在进行模型试验时，必须解决两个问题：
（1）如何保证模型试验的物理模型能代替原型？
（2）怎样将模型试验的结果转换到实际情况中去？
为回答上述二个问题，就分别需要根据量纲分析方法及相似理论去寻找“相似律”来解决。

1.2 π定理
π定理是量纲分析的基础。

每一个物理量都是用度量这个物理量的单位和该物理量比数的乘积来表示。

例如：某物体的长度是5m，那么米是该长度单位，5为比数。

同样若以cm为单位，则为5m=500cm，即比数变为500，它们都是用来度量长度物理量的量，其区别只是所用的单位比例大小不同而已。

而这种量的性质是同类的。

对此我们就说它们具有相同的量纲。

用一个文字代表它，这里长度量纲我们用“L”表示。

物理量不同，其量纲也不同。

由于任何一个物理现象都可以用满足一定规律的物理量去描述，因此物理量的量纲之间也应遵守一定的物理定律。

例如：物体运动必须服从牛顿第二定律：F=M a。

如果已知力F和物体质量M的量纲，那么加速度a的量纲必须满足上述公式。

即F、M、a中的二个可以自由选择，而第三个则必须根据已选定的二个物理量量纲按照其间存在的定律推导出来。

由此可见，在物理量中有些量的量纲是基本的可以独立取定，而另外一些物理量的量纲则是根据物理定律推导出来的。

前者称为基本单位，后者称为导出单位。

在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。

力学中基本单位的量纲有两个系统：
（1）表征长度的量纲[L]；时间的量纲[T]；质量的量纲[M]。

（2）表征力的量纲[F]；时间的量纲[T]；长度的量纲[L]。

为了应用方便，根据第一个基本单位的量纲系统将力学中经常遇见的一些物理量的量纲列表如下：
通过物理量量纲性质，去分析研究各物理量的关系，这称为量纲分析方法。

这种方法对于进行实验研究是十分必要的。

例如我们要去研究一个圆球的阻力
F ，它与球直径 D ，流体密度ρ 及粘性系数μ 、运动速度 v 、表面相对粗糙度 n 等等有关。

为了得到 F 与 D、ρ、μ、v、n 等的关系，我们要进行系列试验，如果 D、ρ、μ、v、n 等5个量中每一个量取10个不同的值，则需要有105次的试验，这是一个庞大的工作量！幸好我们不必进行这么多次试验，因为这些
物理量可以组合成一定形式的参数，例如、、n，而按照下面所述的π定理，试验时只需研究参数、与 n 之间的关系就够了，如果与 n 各取10个不同的值，进行100次试验就够了。

π定理认为：描述一个物理现象的n个参数 q
i
如果服从关系式
g(q
1，q
2
，......，q
n
)=0
则n个参数可以组成n-m个独立的无量纲比数（即π参数），并服从新的关系式：
G(π
1，π
2
，......，π
n-m
)=0
这里m通常是所有参数q
1、......，q
n
中的量纲的个数。

具体如何确定这些π参数，下面通过例子说明1.3 π参数的确定
π参数的确定，可分为以下几个步骤进行：
（1）分析并列出流动现象中所出现的n个物理量q
1，......，q
n
，并写出一般
函数关系式：g(q
1，q
2
，......，q
n
)=0；
（2）选择出其中m在量纲上彼此独立的物理量作为基本量；
（3）对其他的n
~
m个非基本量列出π参数；
（4）列出（n-m）个量纲方程并求解；
（5）确定（n-m）个π参数，并写出其一般关系式
G(π
1，π
2
，......，π
n-m
)=0
例题
液体水平地流过一圆形管，管中填满球状的，相同直径的沙粒。

当液体流过时，液体有压强降。

这个压强降是平均流体速度v，沙粒直径d，相邻沙粒间距s，液体密度ρ，以及粘性系数μ的函数。

根据这些变量，用量纲分析确定这个压强降的表达式。

解：我们使用M（质量），L（长度），T（时间）系统来求解。

第一步：由题意可得：
这里∆p为压强降，量纲为M L-1T-2，v量纲为LT-1，d及s量纲为L，ρ量纲为M L-3，μ量纲为M L-1T-1。

第二步：选基本变量为ρ，v，d，
第三步：列出3个无量纲π参数，即6(个变量)减去3(个基本量)=3(个π参数)。

第四步：对π
1
，
解得：c
1=1，b
1
=2，a
1
=0
对π
2
：
解得：c
2=0，b
2
=0，a
2
=1
对π
3
：
解得：c
3=1，b
3
=1，a
3
=1
第五步：归纳上述得：，，
故有关系式：G(π
1，π
2
，π
3
)=0
因为要求的是压强降∆p，故此可解出：
而函数G
1
的具体确定可通过试验进行。

流体力学里有几类主要问题：如封闭管道内的流动，带有自由表面的流动（如河流），没有任何接触面的流动（如喷雾），以及通过物体的绕流（如飞行中的飞机）等。

而表征这些流动的无量纲π参数将是非常有意义的。

一般常用的无量纲π参数如表所列。

Reynolds
C
D
或
Froude
其中ρ为密度，v为特征速度，L及D为特征长度，μ为粘性系数，∆p为压力
差，g为重力加速度，σ为表面张力，F
D 为阻力，F L为升力，F
T
为推力，a为音速。

习题一
物体在流体中运动，因粘性作用将产生摩擦阻力F
Df
，假设它与流体密度ρ，特征长度l，运动速度v，及粘性系数μ有关，利用π定理，导出其无量纲参数的关系。

习题二
物体（如船舶）在水面上运动时，因产生波浪而受到一个兴波阻力F
D W
，假使它只与水的密度ρ，物体特征长度（如船长）L、物体运动速度v，及重力加速度g有关，利用π定理导出其无量纲参数的关系。