江苏专用高考数学一轮复习考点06函数的奇偶性与周期性必刷题含解析

江苏专用高考数学一轮复习考点06函数的奇偶性与周期性必刷题
含解析
1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有
成立，则不等式
的解集是______.
【答案】
【解析】
等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩
，
令
，则
，
当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =， 故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞， 故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞，
因
，故()g x 为偶函数，
当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，
故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-， 综上，
的解集是
，填
.
2．已知函数则不等式的解集为____．
【答案】
【解析】 由题可得：函数为奇函数， 不等式等价于
，即：
当时，由，解得：
当
时，由
，解得：
综上所述：
或
所以不等式的解集为
3．已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为_______．【答案】
【解析】
因为是偶函数，所以，
所以等价于
又在[0，)上为增函数，且，，
所以.
即：，解得：，即或
所以的解集为
4．已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．
【答案】
【解析】
为上的奇函数
又
本题正确结果：
5．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为
______.
【答案】
【解析】
设，则，所以．
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，
所以当时，，当时，.
当时，
当0≤时，.所以0≤.
当x＜0时，所以-2＜x＜0.
综上不等式的解集为.
故答案为：
6．已知函数，且，则______
【答案】-5
【解析】
设，则为奇函数，且．
∵，
∴．
∴．
故答案为．
7．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则实数a 的值为_____．
【答案】2
【解析】
函数是定义在上的奇函数，所以，，
又因为，所以，，
即，即，
所以，，解得：.
故答案为：2.
8．已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式
的解集为_________．
【答案】
【解析】
解：因为＝为偶函数，所以，，
，
又因为在上是减函数，所以，，
由二次函数图象可知：的解集为，
的图象看成是的图象向右平移2个单位，得到，
所以，的解集为
故答案为：
9．奇函数是R上的增函数，，则不等式的解集为______．【答案】
【解析】
根据题意，为R上的奇函数，且，则，且
又由是R上的增函数，若，则有，
则有，
解可得：，
即不等式的解集为；
故答案为．
10．若函数是奇函数，则为___________．
【答案】
【解析】
若函数是奇函数，
则f（﹣x）＝1
即
解得：m＝2，
故答案为：2．
11．已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．【答案】
【解析】
依题意，有：，即再由对数不等式的解法得到结果.
＝，
所以，即：，所以，k＝±1，
当k＝1时，没有意义，舍去，所以，k＝－1
，不等式即为：＜1＝
所以，0＜＜2，
由＞0，得：x＜－1或x＞1，
由＜2，即＜0，即＞0，得：x＜1或x＞3，
综上可得：x＜－1或x＞3，所以，解集为：（－∞，－1）∪（3，＋∞）
12．已知函数，则不等式的解集为________. 【答案】
【解析】
,
∴函数在R上位增函数，
∵，∴函数为奇函数，
由可得
又函数在R上为增函数，
∴，
∴不等式的解集为
故答案为：
13．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f (a)＜4＋f (－a)，则实数a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
∵f (x)为奇函数，∴
∴f (a)＜4＋f (－a)可转化为f (a)＜2
作出的图象，如图：
由图易知：a＜2
故答案为：
14．定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为__．
【答案】
【解析】
由定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，
可得函数f（x）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，
等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k（x+3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y＝k（x+3）过定点（﹣3，0），
观察图象可知实数k的取值范围为：，
故答案为：（0，]
15．已知函数()f x 的周期为4，且当(0,4]x ∈时，
，则的值
为______. 【答案】0 【解析】
∵函数()f x 的周期为4，且当(]
0,4x ∈时，
∴
∴
故答案为：0 16．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得
恒
成立，则称函数
是上的级类周期函数，若函数
是
上的2级2类周期函数，且当
时，
，又函数
.若
，
，使
成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
根据题意，对于函数，当
时，
，可得：当时，，有最大值，最小值
，当
时，
，函数
的图像关于直线
对称，则
此时有， 又由函数
是定义在区间
内的2级类周期函数，且；
则在上，，则有，
则，
则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；
对于函数，有，
得在上，，函数为减函数，
在上，，函数为增函数，
则函数在上，由最小值.
若，，使成立，
必有，即，解可得，即的取值范围为.
故答案为：.
17．函数满足，且在区间上，则的值为____．
【答案】
【解析】
由得函数的周期为4，所以因此
18．若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_________．【答案】
【解析】f（x）是定义在R上的周期为3的函数，
且，可得f（0）=f（3），
即有a=﹣18+18=0，
则f（a+1）=f（1）=1+1=2，
故答案为：2
19．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于______________ 【答案】
132
【解析】
由f (x )⋅f (x +2)=13得,f (x +2)f (x +4)=13， 即f (x )=f (x +4)，
所以函数f (x )是周期为4的周期函数。

所以f (99)=f (25×4−1)=f (−1). 由f (−1)⋅f (1)=13,f (1)=2,得f (−1)= 13
2
， 所以f (99)=132， 故答案为：
132
. 20．若()f x 是周期为2的奇函数，当()0,1x ∈时，，则()10f
=_____.
【答案】24-
【解析】∵()f x 是周期为2的奇函数，当()0,1x ∈时，，
∴
故答案为： 24-
21．已知函数f(x)满足下面关系：①f(x ＋1)＝f(x －1)；②当x ∈[－1，1]时，f(x)＝x 2
，则方程f(x)＝lg x 解的个数是________. 【答案】9 【解析】
∴函数f x （）
为周期为2的周期函数． []11x ∈-，
时， 2
f x x =（
） ， ∴函数f x （）
的图象和y lgx = 的图象如图：
由图数形结合可得函数y f x =（） 与函数y lgx =的图象的交点个数为9．． 故答案为9．
22．设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(]
2,2-上，其函数解析式是，其中a R ∈.若
，则()2f a 的值是__________．
【答案】1
【解析】∵()f x 是周期为4的函数，，
∴
，
∴10a -+=， ∴1a =．
∴，
∴．
答案：1
23．已知奇函数()f x 满足当()0,1x ∈时()2x
f x = ,则()4.5f -的值为___________
【答案】2- 【解析】
是周期为4的函数，
又
()f x 是奇函数，
故答案为-2 24．定义在上的函数
满足:
,当
时，
,则
=________．
【答案】 【解析】
，将代换为
，则有
为周期函数，周
期为，，
，令，则，当时，
，
，故答案为.
25．记[]x 为不超过x 的最大整数，则函数[]
y x x =-的最小正周期为__________． 【答案】1 【解析】
所以最小正周期为1
26．若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1
m
i i
i a b
=-∑.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.
（2）记A 为满足递推关系
的所有数列{}n a 的集合，数列{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且
项数均为m .若12b =， 13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.
（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤， 0n a =或1）的集合， T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： T 中的元素个数小于或等于16. 【答案】（1）7;（2）3455;（3）见解析.
【解析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发现数列{}n a 是以4为周期的数列，由此可确定数列{}{},n n b c 亦为周期数列，由其首项即可知对应数列各项，依据定义当项数m 越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛盾，从而问题可得证.
试题解析：（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7. （2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±.
由，
得211p a p +=
-， 31a p =-， 41
1
p a p -=+， 5a p =，….
所以15a a =， 26a a =，….
因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4. 所以数列{}n b 中， 32a b -=， 23a b -=-， 112a b -=-， 1
3a b = ()
*k N ∈， 数列{}n c 中， 33a c -=， 2
2a c -=-， 113a c -=-， 1
2
a c = ()
*k N ∈.
因为，
所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.
因为，
而，
因此，当3456m <时，.
故m 的最大值为3455.
（3）假设T 中的元素个数大于或等于17. 因为数列{}n a 中， 0n a =或1，
所以仅由数列前三项组成的数组（1a ， 2a ， 3a ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）. 那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ， 2a ， 3a .
设这3个元素分别为{}n c ： 1c ， 2c ， 3c ， 4c ， 5c ， 6c ， 7c ； {}n d ： 1d ， 2d ， 3d ， 4d ， 5d ，
6d ， 7d ； {}n f ： 1f ， 2f ， 3f ， 4f ， 5f ， 6f ， 7f ，其中111c d f ==， 222c d f ==， 333c d f ==.
因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3， 所以在{}n c 与{}n d 中， i i
c d ≠至少有3个成立.
不妨设44c d ≠， 55c d ≠， 66c d ≠.
由题意得4c ， 4d 中一个等于0，另一个等于1.
又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立.
同理得： 55f c =和55f d =中必有一个成立， 66f c =和66f d =中必有一个成立，
所以“i i f c = ()4,5,6i =中至少有两个成立”和“i i f d = ()4,5,6i =中至少有两个成立”中必有一个成立.
故和中必有一个成立，这与题意矛盾.
所以T 中的元素个数小于或等于16.。