立体几何大题训练题(含答案)

立体几何大题训练题
一、解答题（共17题；共150分）
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4.
（1）证明：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值..
2.如图，在四棱锥中，平面，在四边形中，，
，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求B点到平面的距离
3.如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，
，为的中点，F 为线段上靠近B 点的三等分点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
4.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面;
（2）求与平面所成角的正弦值.
5.如图，在三角锥中，, , 为的中点.
（1）证明：平面;
（2）若点在棱上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.
6.如图，在三角锥中，, , 为的中点.
（1）证明：平面;
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 7.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
8.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

10.已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，
，为的中点，为中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.
11.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F 分别是AC，A1B1的中点
（1）证明：EF⊥BC
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
12.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C 的余弦值．
13.如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
14.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
15.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD ＝3，AP＝3 ，PC ．
（1）求证：EF//平面PDC；
（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．
16.如图，四棱锥中，侧棱垂直于底面，，
，为的中点，平行于，平行于面，.
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值.
17.如图，在斜三棱柱中，侧面，，，，
．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为中点，求二面角的正切值．
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】（1）解：连接，由∠ABC= ，AB=4，BC=3，则，
又因为CD= ，AD=2 ，
所以，即，
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，所以CD⊥平面PAD；
（2）解：以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
作交与点G，
，即，
所以，，
所以，
所以，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，即，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，即，
由，
所以二面角B-PC-D的余弦值为.
【解析】【分析】（1）连接，证出，利用线面垂直的性质定理可得，再利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与
平行线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.
2.【答案】（1）解：在平面中，，，，则，又，
∴，即，又平面，则，又，∴平面.
（2）解：在平面中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，
因为，，，则,又因为，,所以.
所以
又，则，所以,在中，
.
因为,则面,所以
由
可知：，,
所以，则，
因此P点到平面的距离为.
【解析】【分析】(1)在三角形中，由勾股定理可证得，由平面，可得，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；(2) 在平面中，过A作BC的平行线交CD 的延长线于M，因为利用等体积转换即可求得距离.
3.【答案】（1）证明：，为线段中点，.
平面，平面，.
又底面是长方形，.又，平面.
平面，. 又，平面.
（2）解：由题意，以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
所以, ，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，，同理可求平面的法向量
，
，，
即平面与平面所成角的正弦值为.
【解析】【分析】（1）通过，可证明平面，进而可得，结合证明线面垂直.（2）以为轴建立空间直角坐标系，可求出平面
的法向量，平面的法向量，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值.
4.【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，
∴BF⊥平面PEF.
∴又平面ABFD，
平面PEF⊥平面ABFD.
（2）解：作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得.
则为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为，则.
∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作于H,由得到,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是,在三角形中求其正弦值.
5.【答案】（1）∵PA=PC=AC=4 且O是AC的中点
∴PO⊥AC
∵AB=BC=2 ，AC=4,
∴
∴∠ABC=90°连接BO
则OB=OC
∴PO2+BO2=PB2
PO⊥OB，PO⊥OC
OB∩OC=O
∴PO⊥平面ABC
（2）过点C作CH⊥OM交OM于点H
又∵PO⊥平面ABC
∴
∴CH的长度为点C到平面POM的距离
在△COM中，CM= ，OC=2，∠OCM=45°
∴
∴OM=
∴
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.
6.【答案】（1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点
PO⊥AC
∵AB=BC=2 ，AC=4,
∴
∴∠ABC=90°连接BO
则OB=OC
∴PO2+BO2=PB2
PO⊥OB，PO⊥OC
OB∩OC=O
∴PO⊥平面ABC
（2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB
∴AB=BC=2 O是AC的中点
∴OB⊥AC OB⊥平面PAC
如图所示以O为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz
则P（0,0，）A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0）平面PAC法向量为=（1,0,0）设M（x，2-x，0）
平面PAC法向量为=（1，λ，μ），
=（0，2，）, = （x，4-x，0）
则即
即
得到，∴x=-4（舍）
，x=
即M
∴PAM的法向量
记PC与平面PAM所成的角为θ
∴
即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为.
【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.
7.【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD= ．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：D（），B（），P（0，0，），C（）．
，，．
设平面PBC的一个法向量为，
由，得，取y=1，得．
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．
∴cos＜＞= = ．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．8.【答案】（1）解：由已知得，平面，平面，
故．
又，所以平面．
（2）由（1）知．由题设知，所以，故，．
以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，．设平面EBC的法向量为=（x，y，x），则
即
所以可取= .
设平面的法向量为=（x，y，z），则
即
所以可取=（1，1，0）．
于是．
所以，二面角的正弦值为．
【解析】【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。

（2）建立空间直角坐标系，分别求出各个点的坐标以及对应的向量的坐标，构造出法向量n由向量垂直的数量积为零，求出法向量n，同理求出平面的法向量m，则两个平面垂直即为两个法向量垂直，利用数量积的运算公式即可求出两个法向量所成角的余弦值，从而求出该角的正弦值即为二面角的正弦值。

9.【答案】（1）解：连结.因为M，E分别为的中点，所以，且
.又因为N为的中点，所以.
由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.
（2）解：建立空间直角坐标系，点N在底面投影为点F，
设平面的法向量为
由取得其中一个法向量
易知平面的一个法向量为
所以二面角的正弦值为
【解析】【分析】（1）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件，用中点作中位线证线线平行，再利用线线相等结合平行四边形的定义证出四边形MNDE为平行四边形，再利用平行四边形的定义证出另一组线线平行，从而用线线平行结合线面平行的判定定理证出线面平行。

（2）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角的正弦值。

10.【答案】（1）证明：取中点为，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，
为轴建立空间直角坐标系，则，
，
则，，
设平面的法向量为，则，即,令，则，即，所以，故直线平面．
（2）解：设平面的法向量，则．
【解析】【分析】先利用题中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标；（1）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用两者垂直进行证明；（2）利用两个半平面的法向量的夹角进行求解.
11.【答案】（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥A C.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥B C.
（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故，
所以．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．
方法二：
连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2 ），B（，1，0），，，C(0，2，0).
因此，，．
由得．
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线线垂直；
（2）通过线面垂直，找到直线与平面所成的角，结合余弦定理，求出相应的角即可.
12.【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．
△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
∵△ACD是直角三角形，
∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．
∴DO= AC．
∴DO2+BO2=AB2=BD2．
∴∠BOD=90°．
∴OB⊥OD．
又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．
又OB⊂平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则= ．
∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
∴= = =1．
∴点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．=（﹣1，0，1），= ，=（﹣2，0，0）．
设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取= ．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．
∴cos = = =﹣．
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．
【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则= ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得= = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角
坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．
13.【答案】（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，
所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，
∴直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，
∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，
可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=
= ，
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：= ．
【解析】【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（Ⅱ）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
14.【答案】解：（Ⅰ）由得，所以.
故.
由，得，
由得，
由，得，所以，故.
因此平面.
（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.
由平面得平面平面，
由得平面，
所以是与平面所成的角
由得，
所以，故.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
【解析】【分析】（I）先证得AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，利用直线和平面垂直的判定可得AB1⊥平面A1B1C1；
（II）建立适当的空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，用空间向量求直线与平面的夹角即可得出线面角的大小．
15.【答案】（1）证明：取的中点为，连结，，
，分别为、的中点，
，且，
又四边形为平行四边形，，且，
，且，四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面．
（2）解：平面，四边形为平行四边形，
点，分别为，的中点，，，
．，
，解得，
如图，以为原点，在平面内过作的垂线为x轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设平面的一个法向量，
，4，，，3，，
则，取，得，
平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的平面角的余弦值为．
【解析】【分析】（1）取的中点为，连结，，四边形是平行四边形，，平面．（2）由余弦定理求出，以D为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．
16.【答案】（1）解：取的中点，连接、，
因为平行于，平行于，所以平行于，
所以四点共面，
因为平行于面，面与面交与，所以平行于，
所以为平行四边形.
所以，.
（2）解：取中点F，则垂直于，因为平行于，所以垂直于，于是以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由垂直于，垂直于，平面法向量为，
通过计算得平面的法向量为.经判断知二面角为钝角，于是其余弦为.
【解析】【分析】（1）取的中点E，连接、，由三角形中位线定理，以及线面平行的判定定理可得平行于，平行于，于是可得为平行四边形，所以
，；（2）取中点，则垂直于，以A点为原点，为轴，为轴，为z轴建立坐标系，平面法向量为，利用向量垂直数量积为零，列方程组求得平面法向量为，平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
17.【答案】（Ⅰ）证明：，，，由余弦定理可得：，
，，即，又面，平面，，又，平面，平面，
平面，平面平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线、、两两垂直，则以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，，
，，设平面的一个法向量为，则
，令，则，，，侧面，平面的一个法向量为，
，，二面角
为钝二面角，二面角的正切值为.
【解析】【分析】（Ⅰ）根据勾股定理、线面垂直性质和线面垂直的判定定理可证得平面，由面面垂直的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.。