天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测(3月)数学试题

天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段

性检测（3月）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集为R ，集合{}|02A x x =<≤，{}|1B x x =>，则()R A C B =I （ ） A ．{}|01x x <≤

B ．{}1|0x x <<

C ．{}|12<≤x x

D ．{}2|x x ≤

2．设x ∈R ，则“()()130x x +-<”是“1x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．设函数()f x 在0x x =处存在导数为2，则()()

000

lim 2x f x x f x x

∆→+∆-=∆（ ）

A ．4

B ．12

C ．2

D ．1

4．函数()f x 的导函数()f x '，满足关系式()()2

22ln f x x xf x '=+-，则()2f '的值为（ ）

A ．72

-

B ．72

C ．1

2-

D ．12

5．已知函数1

()ln 1

f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）.

A ．

B ．

C ．

D ．

6．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线:60l x y +-=的距离的最小值为（ ）

A ．

B ．

C

D 7．已知函数()2

2ln f x ax x x =-+存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1,2⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭

B ．(),2-∞

C ．1,2⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

D ．(],2-∞

8．已知定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x '，()1e f =，且对任意的x 满足

()()e x f x f x <'-，则不等式()e x f x x >的解集是（ ）

A ．(),1-∞

B ．(),0∞-

C ．()0,∞+

D ．()1,+∞

9．已知双曲线()22

2210,0y x a b a b

-=>>的上､下焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲

线的上支交于M ，N 两点，若2MF ，MN ，2NF 成等差数列，且12MF MF ⊥，则该双曲线的离心率为（ ） A

B

C

D

二、填空题 10．函数()ln x

f x x

=

极大值点为． 11．若直线()00x y m m -+=>与圆()()2

2

113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．

12．曲线()32

2f x x x =-过原点的切线方程为.

13．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若

34

2n n S n T n +=+，则

57210

a a

b b +=+． 14．若0,0a b >>，且820b a ab +-=，则2a b +的最小值为.

15．已知函数3e ,111

(),()11,1

2x

x x f x g x x a x x x ⎧>-⎪⎪+==++⎨

⎪+≤-⎪⎩．若(())0g f x =有三个不同的根，则a 的取值范围为．

三、解答题

16．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124AB A B ==，,E F 分别为,DC BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45o .

(1)求证：1BD ∥平面1C EF ； (2)求点1A 到平面1C EF 的距离；

(3)边BC 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF

存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由 17．已知函数()f x 12

=

()2

2ln 2x a x a x +--. （1）当1a =时，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值和最大值； （2）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性.

18．椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，

且满足BF AB (1)求椭圆的离心率e ；

(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若

=OM ON ，且OMN V

19．已知数列{}n a 为等差数列，47a =，713a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且

()*22N n n S b n =-∈，

(1)求{}{},n n a b 的通项公式．

(2)已知()2,34,n n n n n n n a b n c a b n a a

+⎧⎪

=-⎨⎪⎩

为奇数

为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．

(3)求证：1

12211

log 3

n

i i i a b =+<∑

．

20．已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行. (1)求实数a 的值；

(2)若关于x 的方程()22f x m x x +=-在1,22⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上给有两个不相等的实数根，求实数m

的取值范围；

(3)记函数()()2

12

g x f x x bx =+

-，设()1212

,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若3

2

b ≥

，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值.