初二平行四边形的性质和判定知识点

初二平行四边形的性质和判定专题

1．平行四边形的定义

(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可．

(2)表示方法： 平行四边形用符号“〞表示．平行四边形ABCD 记作“ABCD 〞，读作“平行四边形ABCD 〞．

(3)平行四边形的根本元素：边、角、对角线． 平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法．

①由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；

②由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，则这个四边形就是平行四边形．

【例1】对于平行四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，以下说确的是( )．

A ．平行四边形ABCD 表示为“ACD

B 〞

B ．平行四边形ABCD 表示为“ABCD 〞

C ．A

D ∥BC ，AB ∥CD

D ．对角线为AC ，BO

解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，应选C.

答案：C

2．平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在ABCD 中，AB CD ，AD BC . 由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线

l 1∥l 2.AB ，CD 是夹在直线l 1，l 2间的平行线段，则四边形ABCD 是平行四边形，故AB CD .

(2)平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠BAD ＝∠BCD .∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∠BCD ＋∠CDA ＝180°，∠BAD ＋∠CDA ＝180°.

(3)平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD 中，OA ＝OC ，OB ＝OD .

图③

(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：如图③所示，在ABCD 中，EF 经过对角线的交点O ，与AD 和BC 分别交于点E ，F ，则OE ＝OF ，且S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD .

【例2】ABCD 的周长为30 cm ，它的对角线AC 和BD 交于O ，且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，求AB ，AD 的长．

分析：依题意画出图形，如图，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，即AO ＋AB ＋BO －(BO ＋OC ＋BC )＝5(cm)．

因为OA ＝OC ，OB 为公共边，

所以AB －BC ＝5(cm)．

由AB ＋BC ＝302

＝15(cm)可求AB ，BC ，

再由平行四边形的对边相等得AD 的长．

解：∵△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，

∴AO ＋AB ＋BO －(BO ＋OC ＋BC )＝5(cm)．

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AO ＝OC ，∴AB －BC ＝5(cm)． ∵ABCD 的周长为30 cm ，

∴AB ＋BC ＝15(cm)．

∴⎩⎨⎧ AB －BC ＝5，AB ＋BC ＝15，得⎩⎨⎧

AB ＝10，BC ＝5.

∴AB ＝10 cm ，AD ＝BC ＝5 cm.

3．平行四边形的判定

(1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的根底．关于边、角、对角线方面还有以下判定定理．

(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

如图，连接BD ，由AD ＝BC ，AB ＝CD ，可证明△ABD ≌△CDB ，所以∠CDB ＝∠ABD ，∠CBD ＝∠ADB ，从而得到AB ∥CD ，AD ∥BC .由定义得到四边形ABCD 为平行四边形．

其推理形式为：

∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，

∴四边形ABCD 是平行四边形．

(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

如图，由∠A =∠C ，∠B =∠D ，∠A +∠B +∠C +∠D =360°，

可得∠B +∠C =180°，∠A +∠B =180°.

从而得到AB ∥DC ，AD ∥BC .

由定义得到四边形ABCD 为平行四边形，其推理形式为：

∵∠A =∠C ，∠B =∠D ，

∴四边形ABCD 是平行四边形．

(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

其推理形式为：

如图，∵OA =OC ，OB =OD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形．

(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

其推理形式为：

如图，∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，

∴四边形ABCD 是平行四边形．

(1)判定方法可作为“画平行四边形〞的依据；(2)一组对边平行，另一组对边

相等的四边形不一定是平行四边形．

【例3】，如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ∥CD ，AO ＝CO .四边形ABCD 是平行四边形，请说明理由．

解：因为AB ∥CD ，所以∠BAC ＝∠DCA .

又因为AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，

所以△ABO ≌△CDO .所以BO ＝DO .

所以四边形ABCD 是平行四边形．

4．三角形的中位线

(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数

量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段．

【例4】如下图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，假设△ABC 的周长为10 cm ，则△DEF 的周长是__________cm.

解析：由三角形的中位线性质得，

DF ＝12BC ，EF ＝12AB ，DE ＝12

AC ， 所以△DEF 的周长＝12

×10＝5(cm)． 答案：5

5．两条平行线间的距离

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．

如下图，a ∥b ，点A 在直线a 上，过A 点作AC ⊥b ，垂足为C ，则线段AC 的长是点A 到直线b 的距离，也是两条平行线a ，b 之间的距离．

(1)如图，过直线a 上点B 作BD ⊥b ，垂足为D ，则线段BD 的长也是两条

平行线a ，b 之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等．

(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值．

【例5】如下图，如果l 1∥l 2，则△ABC 的面积与△DBC 的面积相等吗.由此你还能得出哪些结论.

解：△ABC 的面积与△DBC 的面积相等．

因为l 1∥l 2，所以它们之间的距离是一个定值．

所以△ABC 与△DBC 是同底等高的两个三角形．所以S △ABC ＝S △DBC .

结论：l 1上任意一点与B ，C 连接，构成三角形的面积都等于△ABC 的面积，这样的三角形有无数个．

6．平行四边形性质的应用

平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．

对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面积、三角形的角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键．

【例6】如图，ABCD 的对角线相交于点O ，过O 作直线EF ，并与线段AB ，CD 的反向延长线交于E ，F ，OE 与OF 是否相等，阐述你的理由．

解：OE 与OF 相等．

理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴BE ∥DF ，OB ＝OD ，

∴∠FDO ＝∠EBO ，∠E ＝∠F .

∴△BOE ≌△DOF .