高中数学数列_错位相减法求和专题训练含答案

错位相减法求和专题训练

1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数

，且*12,1,2n N a a ∈==.

(1)求 {}n a 的通项公式；

(2)设*

1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；

(3)设()2121n

n n n c a a -=⋅+-，证明：

123

111154

n c c c c ++++

< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 2

1691n n a S n +=++， *n N ∈.

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；

②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2

563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范

围.

3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112

a =

且224433,,S a S a S a +++成等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 1

22

n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若12

log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1

250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的

最小值.

5．已知数列{}n a 及()2

12n n n f x a x a x a x =++

+，且()()11?n

n f n -=-, 1,2,3,

n =.

（1）求123a a a ，，的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）求证:

11133n f ⎛⎫

≤< ⎪⎝⎭

. 6．已知数列{}n a 是以2为首项的等差数列，且1311,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和()

*n S n N ∈； （Ⅱ）若()1

23

2

n a n b -=，求数列{}1n n a b +的前n 项之和()

*n T n N ∈.

7．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.

（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；

（2）令11•213n

n n n na b -⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

，求数列{}n b 的前n 项和为n T .

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11

,2

b =

1n b += 1

2n n b n

+． （1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222

n n S T f n n -=

+，试问()f n 是否存在最大值，

若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

9．已知数列{}n a 的前n 项和2

2n S n n =+．

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令()

*2

1

1

n n b n N a =

∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 10．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若12

log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1

250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的

最小值.

参考答案

1．解析：（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*2k a k N ∈（）

成等比数列 2q = ()()

2

{

2

n

n n n a n ∴=为奇数为偶数

（2）()()2122122212122

2142k

k

k k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅

()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++

23

241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦

()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦

12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣

⎦

(3) ()()3121n

n

n C n =-+- ()()()()

2121{ 2121n

n n

n n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1

111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212

n n n n C +=<≥-+ n 为偶

2．解析：(1) 2

n 1n a 6S 9n 1+=++，

()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴

()22

n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥，

∴()2

2n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥

又3a 7=，所以2a 4=，再由2

21a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-=