黑龙江省大庆市铁人中学2021--2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

黑龙江省大庆市铁人中学
高一上学期期中考试数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则M∩N ＝ A ．{1,2} B ．{2,3} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4} 2．下列等式成立的是
A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4
B ．
log 28log 24
＝log 28
4
C ．log 2 23＝3log 2 2
D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 4 3．下列四组函数中，表示同一函数的是
A ．f(x)=|x|，g(x)=√x 2
B ．f(x)=lgx 2，f(x)=2lgx
C ．f(x)=
x 2−1x−1
，g(x)=x +1 D ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1
4．已知函数f (x )={log 2x ，x ＞0f(x ＋3)，x ≤0
，则f(－1)的值是
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1 5．终边在直线y=x 上的角α的集合是
A ．{α|α=k•360°+45°，k ∈Z}
B ．{α|α=k•360°+225°，k ∈Z}
C ．{α|α=k•180°+45°，k ∈Z}
D ．{α|α=k•180°-45°，k ∈Z} 6．关于幂函数y =x 1
2
的叙述正确的是
A ．在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数
B ．在(0，＋∞)上是增函数且是非奇非偶函数
C ．在(0，＋∞)上是增函数且是偶函数
D ．在(0，＋∞)上是减函数且是非奇非偶函数
7．下面四个函数：①3y x =-②21
1
y x =+③2210y x x =+-④,0,
{ 1
,0.x x y x x
-≤=->.其中值域为R 的函数有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．已知函数y ＝log a (x ＋3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 A ．(-2,2) B ．(-2,1) C ．(-3,1) D ．(-3,2)
9．设a ＝341()2，b ＝34
1()5，c ＝1
21()2
，则
A ．a<b<c
B ．c<a<b
C ．b<c<a
D ．b<a<c 10．函数f(x)= lgx +2x −6的零点所在的大致区间是 A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)
11．二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(b a )x
的图象只可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，且f(x −1)>f(3−2x)，则实数x 的取值范围是 A ．(43,2) B ．(1,2) C ．(−∞,4
3)∪(2,+∞) D ．(−∞,1)∪(2,+∞) 二、填空题
13．函数f (x )=√2x −1的定义域为________．
14．已知函数f(x)＝ (m 2−m −1)x 1
m−2为幂函数，则实数m 的值为________． 15．已知函数f(x)= log 0.5(x 2−4)，则f(x)的单调递增区间是________．
16．已知函数f(x)={x 3，x ≤m,x 2，x >m,
若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的
取值范围是________．
三、解答题
17．已知集合A ＝{x|x 2−2x −3≤0}，B ＝{x|−2<x <2}，C ＝{x|x ＞a}，U ＝R.
此卷
只
装
订
不密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
(1)求A∪B，(C U A)∩B；
(2)若A∩C≠Ø，求实数a的取值范围．
18．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间[－1，2]上的最大值；
(3)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调，求实数m的取值范围．
19．已知函数f(x)={x+2，x≤0,
log a x，x>0,
且点（4,2）在函数f（x）的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集；
(3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
20．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.
（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的1
3
以下.（lg3≈0.4771）.
21．设函数f(x)=x2+ax+1
(1)已知函数g(x)=log2f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
(2)已知方程f(x)=0有两个实数根x1,x2，且x1,x2∈(0,2)，求实数a的取值范围．
22．已知函数f(x)＝2x−1
2x+1
.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．
(3)若对任意的t≥1，不等式f(k•3t)＋f(3t−9t+2)<0恒成立，求k的取值范围．
2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学
高一上学期期中考试数学试题
数学答案
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义求解即可．
【详解】
∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，
∴M∩N={2,3}．
故选B．
【点睛】
本题考查集合交集的运算，根据定义直接求解即可，属于简单题．
2．C
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案．
【详解】
根据对数的运算性质逐个进行判断可得，选项A,B,D都不符合对数的运算性质，选项C符合．所以C正确．
故选C．
【点睛】
解答本题时容易出现错误，解题的关键是记清对数的三个运算性质及换底公式，属于基础题．3．A
【解析】
试题分析：因f(x)=|x|,g(x)=√x2的定义域相同,且解析式也相同,故应选A．
考点：函数相等的定义．
4．D
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式进行求解可得结果．
【详解】
由题意得f(−1)=f(−1+3)=f(2)=log22=1．
故选D．
【点睛】
已知分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所在的范围，然后代入解析式后求解即可得到结果．
5．C
【解析】
【分析】
终边在直线y=x上的角有两类，即终边分别在第一、三象限内，然后根据终边相同的角的表示方法得到两类角的集合，再求并集后可得所求．
【详解】
由题意得终边在直线y=x上的角的集合为
={α|α=k⋅180°+45°,k∈Z}．
故选C．
【点睛】
解答本题时注意两点：（1）终边与角α相同的角连同角α在内，可以构成一个集合
S={β|β=k⋅360°+α,k∈Z}；（2）由于角的终边为射线，所以终边在一条直线上的角应包括两类．
6．B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和单调性分别对给出的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
由题意得，函数y=x 1
2的定义域为[0,＋∞)，
所以函数为非奇非偶函数，所以排除A,C．
又由幂函数的性质可得函数y=x 1
2在定义域内单调递增，
所以排除D．
故选B．
【点睛】
本题考查幂函数的性质，解题的关键是熟知函数的相关性质，并结合选项作出正确的判断，属于简单题．
7．B
【解析】试题分析：注意到分段函数的值域是每支函数值域的并集，显然①④值域为R，②的值域，③的值域为
考点：函数的值域
8．B
【解析】
【分析】
令x+3=1得到定点的横坐标，进而可得定点的纵坐标，于是可得到定点的坐标．
【详解】
令x+3=1，解得x=−2，
此时y=1，
所以函数y＝log a(x＋3)＋1的图象恒过点(−2,1)．
故选B．
【点睛】
解有关对数型函数的图象过定点的问题时，常抓住对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象过定点(1,0)这一性质，通过对照进行求解，即对数型函数y=k⋅log a g(x)+b(a>0,a≠1)，若有g(m)= 1，则函数图象恒过定点(m,b)．
9．D
【解析】试题分析：因为函数是减函数，所以，幂函数在单调递增，所以，故选择D
考点：指数函数、幂函数的性质
10．B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理对每个区间进行验证后可得结论．
【详解】
∵f(x)=lg x+2x−6，
∴f(1)=−4<0,f(2)=−2+lg2<0,f(3)=lg3>0，
∴f(2)f(3)<0，
∴函数f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)．
故选B．
【点睛】
用零点存在性定理能判断函数零点的存在性，但不能判断函数具体有几个零点；并非函数的所有零点都能用这种方法来判断存在性，如果函数在零点两侧的函数值同号，则不能用零点存在性定理判断函数零点的存在性了．
11．A
【解析】
解：因为解：根据指数函数y=(b÷a )x可知a，b同号且不相等
则二次函数y=ax2+bx的对称轴-b÷2a ＜0，排除B,D，然后选项C，a-b＞0，a＜0，∴b÷a ＞1，则指数函数单调递增，错误，选A
12．A
【解析】
【分析】
由题意得函数在(−∞,0)上为减函数，从而由f(x−1)>f(3−2x)可得
|x−1|<|3−2x|，解绝对值不等式可得所求的范围．
【详解】
∵偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，
∴函数f(x)在(−∞,0)上为减函数．
∵f(x−1)>f(3−2x)，
∴|x−1|>|3−2x|，
两边平方整理得3x2−10x+8<0，
解得4
3
<x<2，
∴实数x的取值范围是(4
3
,2)．
故选A．
【点睛】
偶函数f(x)具有性质：f(−x)=f(x)=f(|x|)，利用这一性质可将偶函数的问题转化到同一单调区间上进行研究．另外，根据偶函数的单调性和对称性，可将函数值的大小问题转化成自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．
13．[0,+∞)
【解析】
【分析】
由题意得2x−1≥0，解不等式求出x的范围后可得函数的定义域．
【详解】
由题意得2x−1≥0，
解得x≥0，
∴函数f(x)的定义域为[0,+∞)．
故答案为[0,+∞)．
【点睛】
已知函数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果．
14．-1
【解析】
【分析】
根据幂函数的特点得到关于m的方程，解方程后可得m的值．
【详解】
∵函数f(x)=(m2−m−1)x1m−2为幂函数，
∴m2−m−1=1，
即m2−m−2=0，
解得m=−1或m=2．
当m=2时，1
m−2
无意义，舍去．
∴m=−1．
故答案为−1．
【点睛】
幂函数f(x)=xα（α∈R）满足三个特征：①底数为自变量x；②指数为实数α；③系数为1．解答此类问题时一定要抓住幂函数的这三个特点进行求解．
15．(−∞,−2)
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，然后根据复合函数单调性满足“同增异减”的法则求解．
【详解】
由x2−4>0，解得x<−2或x>2．
令g(x)=x2−4，
则当x<−2时，函数g(x)单调递减；当x>2时，函数g(x)单调递增．
又函数y=log0.5x在(0,+∞)上单调递减，
所以当x<−2时，函数f(x)=log0.5(x2−4)单调递增，
所以函数f(x)=log0.5(x2−4)的单调递增区间为(−∞,−2)．
故答案为(−∞,−2)．
【点睛】
函数f(x)=log a g(x)(a>0,a≠1)的单调性依赖于函数y=log a t和函数t= g(x)的单调性，当两函数的单调性相同（不同）时函数为增（减）函数，即“同增异减”，解答此类问题时容易出现的错误是忽视函数的定义域．
16．(−∞,0)∪(1,+∞)
【解析】
【分析】
由题意得直线y=a和函数y=f(x)的图象有两个交点，故函数y=f(x)在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数y=x3和y=x2的图象，结合图象可得所求的结果．【详解】
∵g(x)=f(x)− a有两个零点，
∴f(x)= a有两个零点，即y=f(x)与y=a的图象有两个交点，
由x3=x2可得，x=0或x=1．
①当m>1时,函数f(x)的图象如图所示，此时存在a满足题意，故m>1满足题意．
②当m=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增，故不符合题意．
③当0<m<1时,函数f(x)单调递增，故不符合题意．
④m=0时,f(x)单调递增，故不符合题意．
⑤当m<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在a使得y=f(x)与y=a有两个交点．
综上可得m<0或m>1．
所以实数m的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)．
【点睛】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．
17．（1）{x|−2<x≤3}，{x|−2<x<−1}；（2）{a|a<3}.
【解析】
【分析】
（1）解不等式可得集合A，然后根据题意可得所求的集合；（2）根据题意并结合数轴可得所求的范围．
【详解】
（1）由题意得A＝{x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，
∵B＝{x|−2<x<2}，
∴A∪B={x|−2<x≤3}．
又C U A={x|x<−1,或x>3}，
∴(C U A)∩B={x|−2<x<−1}．
（2）∵A＝{x|−1≤x≤3},C＝{x|x＞a},A∩C≠Ø，
∴a<3,
∴实数a的取值范围是{a|a<3}．
【点睛】
本题考查集合的运算以及已知集合运算的结果求参数的值，解题时注意数形结合思想在解题中的利用，属于基础题．
18．（1）f(x)=x2−2x+2；（2）5（3）(−∞,0]∪[1,+∞).
【解析】
【分析】
（1）由f(0)＝2得c＝2，再根据f(x＋1)－f(x)＝2x－1得到a=1,b=−2，进而得到函数的解析式；（2）根据函数的单调性求出最值即可；（3）结合函数图象的开口方向，只需函数图象的对称轴不在区间内，由此得到不等式，解不等式即可．
【详解】
(1)由f(0)＝2，得c＝2.
由f(x＋1)－f(x)＝2x－1，
得2ax＋a＋b＝2x－1，
所以{
2a=2
a+b=−1，解得{
a=1
b=−2，
所以f(x)=x2−2x+2.
（2）由（1）得f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
故函数f(x)图象的对称轴为x＝1．
所以函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1,2)上单调递增，
又f(－1)＝5，f(2)＝2，
所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(−1)=5．
（3）因为f(x)的图象的对称轴方程为x＝1，且函数f(x)在区间[m,m+1]上单调，
所以m≥1，或m+1≤1，
解得m≤0，或m≥1，
因此m的取值范围为(−∞,0]∪[1,+∞).
【点睛】
（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
（2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴与图象的开口方向进行分析讨论求解．
19．（1）见解析；（2）(−∞,−1)∪(0,2)；（3）(−∞,1].
【解析】
【分析】
（1）根据点(4,2)在函数的图象上得到a=2，于是可得解析式，进而可画出函数的图象；（2）将不等式化成不等式组求解可得所求；（3）结合图象得到2m的取值范围后再求出m的范围．【详解】
（1）∵点(4,2)在函数的图象上，
∴f(4)=log a4=2，
∴a=2．
∴f(x)={x+2，x≤0, log2x，x>0,
.
画出函数的图象如下图所示．
（2）不等式f(x)<1等价于{x>0,
log2x<1,或{x≤0,
x+2<1,
解得0<x<2，或x<−1，
所以原不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,2)．
（3）∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，
∴函数y=2m的图象与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点．
结合图象可得2m≤2，
解得m≤1
∴实数m的取值范围为(−∞,1]．
【点睛】
（1）本题考查函数图象的画法和图象的应用，根据解析式画图象时要根据描点法进行求解，画图时要熟练运用常见函数的图象．
（2）根据方程根的个数（函数零点的个数）求参数的取值时，要注意将问题进行转化两函数图象交点个数的问题，然后画出函数的图象后利用数形结合求解．
20．（1）y=a(1−10%)x(x∈N∗).（2）11
【解析】
试题分析：（1）写出光线分别经过1,2,3,⋯块玻璃后的强度，即可得到光线经过x块玻璃后的强度，得到函数的解析式；
（2）由题意，得0.9x<1
3
，根据实数指数幂和对数的运算，即可求得x的值.
试题解析：（Ⅰ）光线经过1块玻璃后强度为（1－10%）k=0.9k；
光线经过2块玻璃后强度为（1－10%）·0.9k=0.92k
光线经过3块玻璃后强度为（1－10%）·0.92k=0.93k
光线经过x块玻璃后强度为0.9x k．
∴y=y=0.9x k（x∈N∗）．
（Ⅱ）由题意：0.9x k＜k
3
，∴0.9x＜1
3
，
两边取对数，xlg0.9＜lg1
3
．
∵lg0.9＜0，∴x＞
lg1
3
lg0.9
，∵
lg1
3
lg0.9
≈10.4，∴x min=11．
答：通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的1
3
以下．
21．（1）(−2,2)；（2）(−5
2
,−2].
【解析】
【分析】
（1）由题意得x2+ax+1>0对x∈R恒成立，然后根据判别式可得所求范围；（2）由题意根据二次方程根的分布求解即可．
【详解】
（1）由题意得g(x)=log2(x2+ax+1)，
∵函数g(x)的定义域为R，
∴x2+ax+1>0对x∈R恒成立，
∴Δ=a2−4<0，
解得−2<a<2，
∴实数a的取值范围是(−2,2)．
（2）由题意得方程x2+ax+1=0在区间(0,2)上有两个实数根，
∴{Δ=a2−4≥0 0<−a
2
<2 f(0)=1>0
f(2)=2a+5>0，解得−5
2
<a≤−2，
∴实数a的取值范围为(−5
2
,−2]．
【点睛】
（1）一元二次不等式恒成立的问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．解题时一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次方程根的分布可转化为判别式的符号、对称轴与区间的关系以及函数在端点处的函数值的符号的问题处理，解题时要注意转化和数形结合方法的利用．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）(−∞,4
3
).
【解析】
【分析】
（1）根据奇偶性的判定方法求解即可；（2）根据“取值、作差、变形、定号、结论”的步骤证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为k∙3t<−3t+9t−2对任意t≥1恒成立求解，通过换元法并结合分离参数求出函数的最值后可得所求的范围．
【详解】
(1)∵2x＋1≠0，
∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(−x)=2−x−1
2−x+1=1−2x
1+2x
=−2x−1
2x+1
=−f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
（3）函数f(x)在定义域上为增函数．证明如下：设x1,x2∈R，且x1<x2，
则f(x1)−f(x2)=2x1−1
2x1+1−2x2−1
2x2+1
=2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
，
∵y＝2x在(－∞,＋∞)上是增函数，且x1<x2，∴2x1−2x2<0，
∴f(x1)−f(x2)<0，
∴f(x1)<f(x2)，
∴函数f(x)在定义域内是增函数．
（3）∵f(k•3t)+f(3t−9t+2)<0，
∴f(k•3t)<−f(3t−9t+2)．
∵函数f(x)是奇函数，
∴f(k•3t)<f(−3t+9t−2)．
又函数f(x)在定义域内是增函数，
∴k∙3t<−3t+9t−2对任意t≥1恒成立，
∴k<3t−2
3t
−1对任意t≥1恒成立．
令m=3t,t≥1，则m≥3，
∵函数g(m)=m−2
m
−1在[3,+∞)上是增函数，
∴g(m)min=g(3)=4
3
，
∴k<4
3
，
∴实数k的取值范围为(−∞,4
3
)．
【点睛】
（1）解答本题时注意函数的奇偶性和单调性的定义的利用，解题时不要忽视了函数的定义域；
（2）解答第三问的关键在于转化，但此时容易出现符号上的错误．解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即将参数分离后转化成求函数最值的问题处理，利用单调性求最值是常用的方法．。