盐城市东台市安丰中学高三数学上学期期中试卷苏教版

2012-2013学年江苏省盐城市东台市安丰中学高三（上）期中数学试
卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
1．（5分）求值cos600°=﹣．
．
．
2．（5分）设M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N={﹣1，0，1} ．
3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b= 1 ．
．∵，
4．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a= ﹣3 ．
5．（5分）函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1} ．
﹣=
＜
6．（5分）已知cos（θ﹣）=，θ∈（，π），则cosθ= ﹣．
﹣cos sin（=
，即
﹣﹣
﹣
∈（
．
7．（5分）已知||=3，||=4，（+）•（+3）=33，则与的夹角为120°．
与的夹角为﹣
与的夹角
与的夹角为||=4+）•（）
+3+4 9+48+4
﹣
8．（5分）（2013•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，
则{a n}的公比为．
故答案为
9．（5分）已知函数．则函数f（x）在区间
上的值域为．
﹣
的范围，可得）的范围，
sin2x﹣+）
﹣，，﹣≤sin（）≤，≤sin（）﹣1≤
）在区间
10．（5分）函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 4 ．
：计算题．
分析：
的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于
≥
个周期的图象，在
个周期的图象，在
处取最大值为2≥
11．（5分）定义在[﹣4，4]上的偶函数f（x）在区间[0，4]上单调递减，若f（1﹣m）＜f
（m），则实数m的取值范围是．
故答案为：
12．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的
切线，则实数a的取值范围是．
故答案为：
13．（5分）已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为 2 ．
与直线
=1②，
，，
=x+，
=
14．（5分）函数f（x）的定义域为D，若满足
①f（x）在D内是单调函数，
②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，那么y=f（x）叫做对称函数，
现有是对称函数，那么k的取值范围是．
是方程
）在
解：由于
a的方程
，则
），
的取值范围是
故答案为：
在（﹣∞，
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（10分）已知，且，．
（1）求cosα的值；
（2）证明：．
）直接利用二倍角的余弦函数，以及三角函数的平方关系，转化为
）=
）证明：因为
所以，…（
16．（10分）如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．
（1）求证：BD⊥CE；
（2）求证：PQ∥平面ABCD．
17．（12分）（2010•南通模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
得到数列
．由已知得
解得
，
18．（12分）已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、
F2，且圆C：过A，F2两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β﹣α=时，证明：点P在
一定圆上．
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC 的斜率k QB，k QC存在且不为0，求证：k QB•k QC为定植．
．…（
（﹣，
=tan=tan=
，所以﹣
=，所以=﹣，
…（
19．（12分）（2010•江苏二模）如图是一块长方形区域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在边
AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α
（0≤α≤），探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤时，求S的最大值．
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，
且∠AOG=，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．
时，
，当＜时，
≤
时，
＜＜
EH=
．
综上所述，
≤
．
≤
≥2
∴S≤2﹣
．
=
=．
被照到的时间为
20．（14分）已知．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；
（3）当n∈N*，n≥2时，求证：．
）∵，∴
，∴，
，∴，即
三、附加题
21．选修4﹣1：几何证明选讲
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．求证：AD的延长线平分∠CDE．
22．选修4﹣2：矩阵与变换
已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
]
10
23．（极坐标与参数方程）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标．
．
24．选修4﹣5 不等式证明选讲
设a，b，c均为正数，证明：．
3
四、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（10分）（2011•北京）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．
）≤，利用导数求函数（Ⅰ）=
，不合题意，
，
）≤≤
，
）≤．
26．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．
（1）求：•的值；
（2）证明：为定值．
的坐标，结合
即可得到•的值；
）设
∴
∵
∴
，=
∴
y=x
y=
∴。