千古绝技割圆术ppt课件
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13
刘徽是怎样割圆的
割之弥细 失之弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣
14
深邃的极限思想
古希腊人在精神上对“无穷” 怀有恐惧
阿基米德的著作总是谨慎地回 避“取极限”
“割圆术” 涵盖大学高等数 学教材中 有关数列极限的 基本知识 诸如 极限的定 义 收敛性的判别 无穷 小量概念等
“中国的牛顿”?
史称古率
从现有的史料来看 首创圆周率精密计算的是 古希腊的阿基米德(约公元前287－前212年)
阿基米德用正96边形逼近圆周 求得 3.14
公元前3世纪 古希腊遭到罗马人的摧残 叙拉
古王国灭亡 古希腊文明衰落 西方圆周率计算
就此沉寂一千多年
8
焚书坑儒留下历史空白
在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年 秦始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国 大一统的秦王朝屹立在世界的东方 秦始皇在全国统一了度量衡 刘徽据秦汉量器测算 发现 当时所使用的圆周率约为 3.14 中国上古时代科技相当发达 然而关于圆周率的记 载却是一片空白 这是否与秦始皇的焚书坑儒有关 呢?
S2n + 0 (S2n - Sn ) < S * < S2n +1 (S 2n - Sn )
加速逼近 S* ≈ S2n + ω (S2n - Sn )
0< ω<1
关键在于松弛因子ω 的选择
刘徽适当选取 ω 考察加速公式
S* S192 + ω (S192 - S96 )
其中数据 S96 ,S192 很粗糙 阿基米德早已掌握 21
标准的计算机程序 19
一份珍贵的文化遗产
用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序 简单的重复生成复杂
《割圆术》这篇千古奇文提供了一个绝好的机会 让今人亲眼瞧一瞧 刘徽这位古代数学泰斗 在 1800年前 是怎样实施一项伟大的计算工程 进而 提炼出割圆术这个千古绝技的
20
刘徽的奇思妙想
双侧逼近 立足于偏差 S2n - Sn
准确到小数点后10位
(德)鲁道夫(1540-1610)割圆到 264 边形
准确到小数点后35位
鲁道夫数 铭刻墓碑上
直到19世纪
(英)尚克斯耗时15年 将 算到707位 并刻在墓碑
上 后计算机验算528位起出错
7
圆周率精确计算的先驱者
上古普遍流行“周三径一”的说法
认为圆的周长是其直径的3倍 这样有 3
9
扑朔迷离的千古疑案
公元 5 世纪 南北朝祖冲之
3.14 159 26 3.14 159 27
准确到小数点后 7 位 称雄千年的一项数学成就
祖冲之算法称“缀术” 缀术千年失传 中国古代最辉煌的数学成就 竟是一桩千古疑案
10
华罗庚先生的评 §5 “祖冲之计算圆周率的方法” 指出“祖冲之从圆的内接正六边形 和外切正六边形出发。显然圆夹在 这两个六边形之间，再做内接的和 外切的正12边形、正24边形、… ， 边数愈多，内接的和外切的正多边 形就愈接近圆的面积。”
在古代 计算高精度的圆周率意义重大： 衡量一个数学家的数学才能 反映一个国家 一个民族的数学发展水平 标志一个地区 一个时代科学技术的发达程度
6
群星璀璨的数学奇观
在近代数学史上 大多数数学家都亲自动手计算
过圆周率 都亲身体验过 求值的艰辛
(法)韦达(1540—1603)割圆到393 216边形
用内接正 3072 边形逼近圆周 求得
= 3.1416
史称 徽率
18
割圆计算的刘徽算法
动态的二分演化过程 (倍增过程)
l6 l12 l24 l48 S12 S24 S48
取 r l6 1 递推计算
l2n 2
S2n
n 2
ln
4 ln2
小勾
股
勾
小股
小弦
弦
证明基于勾股定理
1800年前 用算筹实施的一项伟大的计算工程
该书高度赞誉古希腊文明 同时贬低中华文 明 “希腊人在文明史上首屈一指，在数 学史上至高无上。”
“阿基米德是古代最伟大的数学家。他的 几何学是古希腊数学的顶峰。”
1908－1992
“为着不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的文 化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大影响。”
4
内容提要
这份报告旨在说明 刘徽在1800年前提 出的“割圆术”达到了古今难以逾越的学 术高度
扑朔迷离的千古疑案 博大精深的千古奇文 神奇玄妙的千古绝技 刘徽：古代数学之神
5
数学史上一道千古难题
圆是最基本 最常见的几何图形 大小不同的圆中 存在具有普适意义的“不变量”
圆周率 = 圆周长/直径 = 圆面积/半径 2 数 学不变量是重要的数学生长点
近代数学之王 牛顿
1643—1727
15
阿基米德的双侧逼近
内接多边形 弱近似
外切多边形 强近似
用内接外切正 96 边形逼近圆周
求得 3.14
16
SUCCESS
THANK YOU
•
高明的逼近方法
弱近似
内接多边形 S 2n
强近似
破缺的外切多边形
S +(S - S )
2n
2n n
计算量节省一半
千古绝技 “割圆术”
刘徽的大智慧
苏翃
重庆工学院 2008.6.4
1
给 我 一 个
支 点 ， 我
就 能 撬 动
地 球 。
西方古代数学之神 阿基米德
2
观 阴 阳 之 割 裂 ， 总 算 术 之 根 源 。
东方古代数学之神 刘徽 3
中华文明难道是可“忽略” 的 吗
M.Kline 《古今数学思想》被 誉为“古 今最好的一部数学史”
华先生认为 祖冲之实际上是沿袭了阿基米德的做11法
钱宝琮先生的推测（1963年）
钱宝琮《中国数学史》指出 “《缀术》失传，祖冲之推算 圆周率的方法难以详考。” 钱先生指出 如果直接用内接 与外切正多边形逼近圆周 为 要获得祖冲之的圆周率 要割 到 24576 边形
钱先生认为 祖冲之的“缀术”是继承了魏晋刘徽的 “割圆术” 他推测“祖冲之写了数十篇专题论文， 附缀于刘徽注的后面，叫它‘缀述’。”
按钱先生的理解 “缀术” 是割圆术的补充
12
博大精深的千古奇文
魏晋刘徽《九章算术注》（公元263年） 创建中华数学的理论体系 《九章》圆田术：圆面积=半周长×半径 刘徽圆田术注 约1800字 后世称 “割圆
术”
上篇（263字） 深邃的极限思想 中篇（1264字）高明的逼近方法 下篇（159字） 玄妙的加速技术
刘徽是怎样割圆的
割之弥细 失之弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣
14
深邃的极限思想
古希腊人在精神上对“无穷” 怀有恐惧
阿基米德的著作总是谨慎地回 避“取极限”
“割圆术” 涵盖大学高等数 学教材中 有关数列极限的 基本知识 诸如 极限的定 义 收敛性的判别 无穷 小量概念等
“中国的牛顿”?
史称古率
从现有的史料来看 首创圆周率精密计算的是 古希腊的阿基米德(约公元前287－前212年)
阿基米德用正96边形逼近圆周 求得 3.14
公元前3世纪 古希腊遭到罗马人的摧残 叙拉
古王国灭亡 古希腊文明衰落 西方圆周率计算
就此沉寂一千多年
8
焚书坑儒留下历史空白
在阿基米德被罗马士兵野蛮杀害的公元前212年 秦始皇正耀武扬威地巡视着那空前规模的大帝国 大一统的秦王朝屹立在世界的东方 秦始皇在全国统一了度量衡 刘徽据秦汉量器测算 发现 当时所使用的圆周率约为 3.14 中国上古时代科技相当发达 然而关于圆周率的记 载却是一片空白 这是否与秦始皇的焚书坑儒有关 呢?
S2n + 0 (S2n - Sn ) < S * < S2n +1 (S 2n - Sn )
加速逼近 S* ≈ S2n + ω (S2n - Sn )
0< ω<1
关键在于松弛因子ω 的选择
刘徽适当选取 ω 考察加速公式
S* S192 + ω (S192 - S96 )
其中数据 S96 ,S192 很粗糙 阿基米德早已掌握 21
标准的计算机程序 19
一份珍贵的文化遗产
用算筹实施的一项伟大的计算工程 标准的计算机程序 简单的重复生成复杂
《割圆术》这篇千古奇文提供了一个绝好的机会 让今人亲眼瞧一瞧 刘徽这位古代数学泰斗 在 1800年前 是怎样实施一项伟大的计算工程 进而 提炼出割圆术这个千古绝技的
20
刘徽的奇思妙想
双侧逼近 立足于偏差 S2n - Sn
准确到小数点后10位
(德)鲁道夫(1540-1610)割圆到 264 边形
准确到小数点后35位
鲁道夫数 铭刻墓碑上
直到19世纪
(英)尚克斯耗时15年 将 算到707位 并刻在墓碑
上 后计算机验算528位起出错
7
圆周率精确计算的先驱者
上古普遍流行“周三径一”的说法
认为圆的周长是其直径的3倍 这样有 3
9
扑朔迷离的千古疑案
公元 5 世纪 南北朝祖冲之
3.14 159 26 3.14 159 27
准确到小数点后 7 位 称雄千年的一项数学成就
祖冲之算法称“缀术” 缀术千年失传 中国古代最辉煌的数学成就 竟是一桩千古疑案
10
华罗庚先生的评 §5 “祖冲之计算圆周率的方法” 指出“祖冲之从圆的内接正六边形 和外切正六边形出发。显然圆夹在 这两个六边形之间，再做内接的和 外切的正12边形、正24边形、… ， 边数愈多，内接的和外切的正多边 形就愈接近圆的面积。”
在古代 计算高精度的圆周率意义重大： 衡量一个数学家的数学才能 反映一个国家 一个民族的数学发展水平 标志一个地区 一个时代科学技术的发达程度
6
群星璀璨的数学奇观
在近代数学史上 大多数数学家都亲自动手计算
过圆周率 都亲身体验过 求值的艰辛
(法)韦达(1540—1603)割圆到393 216边形
用内接正 3072 边形逼近圆周 求得
= 3.1416
史称 徽率
18
割圆计算的刘徽算法
动态的二分演化过程 (倍增过程)
l6 l12 l24 l48 S12 S24 S48
取 r l6 1 递推计算
l2n 2
S2n
n 2
ln
4 ln2
小勾
股
勾
小股
小弦
弦
证明基于勾股定理
1800年前 用算筹实施的一项伟大的计算工程
该书高度赞誉古希腊文明 同时贬低中华文 明 “希腊人在文明史上首屈一指，在数 学史上至高无上。”
“阿基米德是古代最伟大的数学家。他的 几何学是古希腊数学的顶峰。”
1908－1992
“为着不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的文 化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大影响。”
4
内容提要
这份报告旨在说明 刘徽在1800年前提 出的“割圆术”达到了古今难以逾越的学 术高度
扑朔迷离的千古疑案 博大精深的千古奇文 神奇玄妙的千古绝技 刘徽：古代数学之神
5
数学史上一道千古难题
圆是最基本 最常见的几何图形 大小不同的圆中 存在具有普适意义的“不变量”
圆周率 = 圆周长/直径 = 圆面积/半径 2 数 学不变量是重要的数学生长点
近代数学之王 牛顿
1643—1727
15
阿基米德的双侧逼近
内接多边形 弱近似
外切多边形 强近似
用内接外切正 96 边形逼近圆周
求得 3.14
16
SUCCESS
THANK YOU
•
高明的逼近方法
弱近似
内接多边形 S 2n
强近似
破缺的外切多边形
S +(S - S )
2n
2n n
计算量节省一半
千古绝技 “割圆术”
刘徽的大智慧
苏翃
重庆工学院 2008.6.4
1
给 我 一 个
支 点 ， 我
就 能 撬 动
地 球 。
西方古代数学之神 阿基米德
2
观 阴 阳 之 割 裂 ， 总 算 术 之 根 源 。
东方古代数学之神 刘徽 3
中华文明难道是可“忽略” 的 吗
M.Kline 《古今数学思想》被 誉为“古 今最好的一部数学史”
华先生认为 祖冲之实际上是沿袭了阿基米德的做11法
钱宝琮先生的推测（1963年）
钱宝琮《中国数学史》指出 “《缀术》失传，祖冲之推算 圆周率的方法难以详考。” 钱先生指出 如果直接用内接 与外切正多边形逼近圆周 为 要获得祖冲之的圆周率 要割 到 24576 边形
钱先生认为 祖冲之的“缀术”是继承了魏晋刘徽的 “割圆术” 他推测“祖冲之写了数十篇专题论文， 附缀于刘徽注的后面，叫它‘缀述’。”
按钱先生的理解 “缀术” 是割圆术的补充
12
博大精深的千古奇文
魏晋刘徽《九章算术注》（公元263年） 创建中华数学的理论体系 《九章》圆田术：圆面积=半周长×半径 刘徽圆田术注 约1800字 后世称 “割圆
术”
上篇（263字） 深邃的极限思想 中篇（1264字）高明的逼近方法 下篇（159字） 玄妙的加速技术