(必考题)高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，|2|()12x f x +=-，若关于x 的方程
2()|1|f x a f -+2()0x a +=恰好有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则
()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的取值范围是（ ）
A ．160,
81⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．116,1681⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D ．11,164⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ 2．设函数()243,0
23,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足
()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）
A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．5,42⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．()2,4
D ．()2,6
3．已知函数
给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单
调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若
1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.
其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）
A ．4.25米
B ．4.5米
C ．3.9米
D ．4.05米
5．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry ，LDV ）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移()2sin 1/h p v f ϕ
λ
=
，其中v 为被测物体的横向速度，ϕ为两束探测光线夹角的一
半，λ为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光
测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()
9
1560nm 1nm 10m -=，测得这时刻的
频移为()9
8.72101/h ⨯，则该时刻高铁的速度约为（ ）
A ．320km/h
B ．330km/h
C ．340km/h
D ．350km/h
6．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且当
[]2,0x ∈-时，()112x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(]2,10-内关于x 的方程
()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则a
的取值范围是（ ）
A ．312⎡⎣
B ．()2,+∞
C ．()1,2
D ．(3
12
7．若函数32232,01
()5,1
x x m x f x mx x ⎧-+<≤=⎨->⎩，恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）
A ．()5,0-
B ．()0,5
C ．1[,5)2
D ．1
(0,]2
8．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-
B ．(,1)-∞-
C ．[1，)+∞
D ．(1,)+∞
9．已知函数,0
()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，若函数g （x ）＝f （x ）+2x +ln a （a ＞0）有2个零点，
则数a 的最小值是（ ） A ．
1
e
B ．
12
C ．1
D ．e
10．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．4
11．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数()
()2
21y f x f x λ=++-只有一
个零点，则实数λ的值是（ ） A ．
14
B ．
18
C ．78
-
D ．38
-
12．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当||x 较小时，
2101 2.3 2.7x x x ≈++）
A ．1.27
B ．1.26
C ．1.23
D ．1.22
二、填空题
13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．若函数()423x
x
f x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值
范围为______．
15．M 是所有同时满足下列条件的函数()y f x =的集合：①()y f x =的定义域为
(0,)+∞；②对任意00x >，001
()22
f x x =
+或0001()f x x x =+；若对一切()f x M ∈，
关于x 的方程()f x a =恒有解，则实数a 的取值集合是___________
16．定义在R 上的函数()f x ，满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-，当01x <≤时，
2()log f x x =，则方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为___________．
17．某汽车厂商生产销售一款电动汽车，每辆车的成本为4万元，销售价格为6万元，平均每月销量为800辆，今年该厂商对这款汽车进行升级换代，成本维持不变，但为了提高利润，准备提高销售价格，经过市场分析后发现，如果每辆车价格上涨0.1万元，月销量就会减少20辆，为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为__________万元. 18．方程()2
332log log 30x x +-=的解是______.
19．
已知函数()21f x ax =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是________.
20．已知函数24()ln(1)x f x e -=+，()2g x x a =+-.若存在[](),1a n n n Z ∈+∈，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则n 的最大值为_______.
三、解答题
21．已知函数2()29f x x ax =-+.
(I)当0a ≤时，设()(2)x g x f =，证明：函数()g x 在R 上单调递增； (II)若[1,2]x ∀∈，(2)0x f ≤成立，求实数a 的取值范围； (III)若函数()f x 在(3,9)-有两个零点，求实数a 的取值范围.
22．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，2
1()402
C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100
()1012180C x x x
=+
-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．
23．已知函数()()2
2
()1,20f x ax x g x x bx x =-+=+->，
()()()51
01
x h x f x x x -=-
<-． （1）()()1,3,0x f x ∀∈>恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）当1a =时，若函数()g x 的图象上存在,A B 两个不同的点与()h x 图象上的'',A B 两点关于y 轴对称，求实数b 的取值范围．
24．某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本C (x )元，且
210400040()10000
1004980040100x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≤≤⎪⎩
，，，，若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．
（1）求制造商所获月利润L (x )（元）关于月产量x （台）的函数关系式；
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
25．已知函数5
()log ,(01)5
a
x f x a a x -=>≠+，． （1）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；
（2）设()log (3)a g x x =-，若方程()1()f x g x -=有实根，求a 的取值范围；
26．已知函数()y f x =为二次函数，()04f =，且关于x 的不等式()20f x -<的解集为{}
12x x <<
（1）求函数()f x 的解析式
（2）若关于x 的方程()0f x m -=有一实根大于1，一实根小于1，求实数m 的取值范围 （3）已知()1g x x =+，若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，求满足条件的实数x 的取值范围
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由奇函数得出()f x 的性质，作出函数图象，可知()f x t =的解的个数，令()t f x =，原方
程变为2210t a t a -++=，根据()f x t =的解的情形，可得22
10t a t a -++=有两不等
实根且实根12,t t 都在(0,3)上，由二次方程根的分布可得a 的范围，应用韦达定理得
1212,t t t t +，这样()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦就可能用a 表示，并根据a 的求得结论．
【详解】
由题意(0)0f =，0x >时，2
()()21x f x f x -+=--=-，作出函数()f x 的图象，如图，
若0a =，则方程2()|1|f x a f -+2()0x a +=为2()()0f x f x -=，()0f x =或
()1f x =()0f x =三个解，()1f x =有两个解，原方程共有5个解，不合题意，设
()t f x =，
因此关于t 方程2
2
10t a t a -++=必有两个不等实根，又122
12
100t t a t t a ⎧+=+>⎨=>⎩，所以120,0t t >>，从而103t <<，203t <<且12t t ≠.
若其中一根为1，则由2
110a a -++=，1a ≤-时，2110a a +++=无实数解，
1a >-，2110a a --+=，0a =或1a =，不合题意．因此121,1t t ≠≠，
由2
22210320
9310
140a a a a a a ⎧+<<⎪
⎪⎪>⎨⎪-++>⎪∆=+->⎪⎩
，解得113-<<a 且0a ≠．
不妨设121()()f x f x t ==，342()()f x f x t ==， 则
()()()()222212341212121111[(1)(1)][1()][11]f x f x f x f x t t t t t t a a ----=--=-++=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦22()a a =-，
∵113-
<<a 且0a ≠．∴21449a a -≤-<且20a a -≠，∴2160,81a a ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
． 故选：A ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是两个：一是研究函数()f x 的性质，二是换元后得出二次方程，问题转化为二次方程根的分布，求出参数a 的范围．
2．C
解析：C 【分析】
设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】
设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：
设()()()123f x f x f x m ===，
当0x ≥时，()()2
2
43211f x x x x =-+=--≥-，
由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数2
43y x
x =-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，
因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．C
解析：C 【分析】
①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论. 【详解】
①当2a =-时，()21,0
ln ,0
x x f x x x -+≤⎧=⎨
>⎩，画出函数的图象，如下图，
由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在
(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；
②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；
当0a =时，()1,0ln ,0
x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，ln 0x ≥，函数的最小值是0；
当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，
ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，
综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；
对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =， 不妨设1230x x x ≤<<，11
0b x a
-=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令11
1b x a
-=
=-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-， 当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C
【点睛】
思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.
4．D
解析：D 【分析】
可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令
3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．
【详解】
解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，
将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，
令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，
则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．
【点睛】
利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.
5．C
解析：C 【分析】
先根据图象，求出sin ϕ的值，再根据公式即可计算出v 的值． 【详解】 解：332
sin 1.0004
1(2010)ϕ--=
=
+⨯，
92 1.00048.7210v ⋅
∴⨯=，即
8.721560 1.0004
=⋅，
8.721560
1.0004
340148.009v ⨯⨯∴=
≈米/小时340/km h ≈，
故该时刻高铁的速度约为340/km h ．
故选：C ． 【点评】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的实际应用，也考查了学生的计算能力，关键在于将生活中的数据转化为数学公式中的数据，属于中档题．
6．A
解析：A 【分析】
作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象，根据题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，
当[]2,0x ∈-时，()112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象如下图所示：
由于在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，
则()()log 623log 10231a a a ⎧+≤⎪
+>⎨⎪>⎩
，解得3212a ≤< 因此，实数a 的取值范围是312⎡⎣.
故选：A. 【点睛】
函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
7．D
解析：D 【分析】
先求出()g x 的单调性，然后根据题意，得到满足条件时有(0)0
(1)0
g g >⎧⎨≤⎩，求出m 的范围，然
后再根据m 的范围，求出满足前述条件时，()5h x mx =-有零点的情况，进而可求解
【详解】
令32()232g x x x m =-+，'()6(1)g x x x =-，故()g x 在(]0,1处单调递减，所以，
()g x 在(]0,1上至多有一个零点，而对于()5h x mx =-，在(1,)+∞上至多有一个零点，
由题意得，
()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，故有(0)0
(1)0g g >⎧⎨≤⎩
，
求出1
02
m ≥>，此时，()5h x mx =-，在(1,)+∞上单调递增，所以，(1)0h <即可满足
题意，解得5m <，根据1
25m m ⎧≥>⎪⎨⎪>⎩
，得102m ≥>
故选：D 【点睛】
关键点睛：解题关键在于先求出32()232g x x x m =-+的单调性，并根据()g x 的单调性得出()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，然后进行求解，难度属于中档题
8．D
解析：D 【分析】
分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】
解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，
所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】
考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．
9．A
解析：A
【分析】
令()0g x =，将问题转化为函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象有两个不同的交点来求解. 【详解】
令()0g x =得()2ln f x x a =--，若()g x 有两个零点，则函数()f x 与函数
()2ln 0y x a a =-->的图象有两个不同的交点.
画出函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象如下图所示，当直线过点()0,1时，两个函数图象有两个交点，此时1
120ln a a e
=-⨯-⇒=.由图可知，当直线向下平移时，可使两个函数图象有两个交点，所以1
ln 1a a e -≤⇒≥，所以a 的最小值为1e
. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数零点问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
10．A
解析：A 【分析】
根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值． 【详解】
解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3
若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2
此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意
综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3． 故选：A ． 【点睛】
本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
11．C
解析：C 【分析】
令()()2
210y f x f x λ=++-=，结合()f x 为奇函数进行化简，利用一元二次方程判别式列
方程，解方程求得λ的值. 【详解】
令()()2
210y f x f x λ=++-=，则()
()()221f x f x f x λλ+=--=-，因为()f x 是R 上
的单调函数，所以221x x λ+=-，即2210x x λ++=-.依题意可知2210x x λ++=-有且只有一个实数根，所以()1810λ∆=-+=，解得78
λ=-. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、零点，属于中档题.
12．B
解析：B 【分析】
把已知数据代入公式计算1
2
E E ． 【详解】
由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，1
2
lg 0.1E E =, ∴
0.121
2
101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈． 故选：B ． 【点睛】
本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．
二、填空题
13．1120【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝30＞2
解析：1120 【分析】
明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此
商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】
由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，
y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪
=-≤⎨⎪-+⎩
，＜，
＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100
∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】
本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．
14．【分析】根据局部奇函数的定义便知若函数是定义在上的局部奇函数只需方程有解可设从而得出方程在时有解从而设由二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意由局部奇函数的定义可知：若函数是定义在上的局部奇函数 解析：[)2,-+∞
【分析】
根据“局部奇函数”的定义便知，若函数()f x 是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程
()()2
2
22280x
x x x m --+-+-=有解．可设()222x x
t t -+=≥，从而得出方程
280t mt --=在2t ≥时有解，从而设()2
8g x t mt =--，由二次函数的性质分析可得答
案． 【详解】
根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：
若函数()423x
x
f x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，
则方程()()f x f x -=-有解，即()4
23423x
x x x m m ---⋅-=--⋅-有解；
变形可得()
4422
60x x x x
m --+-+-=， 即(
)()2
22
2280x
x x x m --+-+-=有解即可.
设22x x t -+=
，则222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立. 则方程()()f x f x -=-等价为280t mt --=在2t ≥时有解.
设()2
8g t t mt =--，若方程280t mt --=的两根分别为1t 、2t ，则1280t t =-<，
所以，()2428240g m m =--=--≤， 解可得：2m ≥-，即m 的取值范围为[)2,-+∞． 故答案为：[)2,-+∞． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
15．【分析】根据条件可知当且仅当时对一切关于的方程恒有解由此求的取值范围【详解】对任意或当且仅当时对一切关于的方程恒有解此时则实数的取值集合是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解求参数的取值范
解析：{3±
【分析】
根据条件可知当且仅当
000
11
2=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，，由此求a 的取值范围. 【详解】
对任意00x >，001
()22
f x x =+或000
1()f x x x =+
当且仅当
000
11
2=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，
此时0=2x
0()3f x =±，则实数a
的取值集合是{3±
故答案为：{3± 【点睛】
关键点点睛：本题考查方程有解，求参数的取值范围，关键是利用题意，正确求解0
x >时，000
112=2x x x ++时满足题意. 16．0【分析】首先由条件求出函数周期为再利用当时作出和的图象方程在上的实数根之和为由图象结合奇函数的性质即可求解【详解】因为函数满足且所以即所以所以函数周期为由可得所以对称轴为当时作函数和图象如图所示：
解析：0 【分析】
首先由条件求出函数()f x 周期为4，再利用当01x <≤时，2()log f x x =，作出和
y x =-的图象，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++，由图象结
合奇函数的性质即可求解. 【详解】
因为函数()f x 满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-， 所以[](2)2(2)()f x f x f x +=-+=-，即(2)()f x f x +=-， 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 周期为4，
由()(2)f x f x =-可得(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 对称轴为1x =， 当01x <≤时，2()log f x x =， 作函数()y f x =和y x =-图象如图所示：
其中()y f x =时奇函数，y x =-也是奇函数， 设两个函数图象交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x 方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++， 由图象结合奇函数的性质可得：14230x x x x +=+=，O 所以12340x x x x +++=，
方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为0， 故答案为：0 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用已知条件求出()f x 周期为4，方程()f x x =-在
()2,2-上的实数根之和等价于()y f x =和y x =-图象交点的横坐标之和，关键点是作出()y f x =在()2,2-的图象，数形结合即可求解.
17．7【分析】设每辆车的销售价格为万元求出每月的销售数量乘以每一辆的获利可得每月的利润再由二次函数求最值【详解】解：设每辆车的销售价格为万元则月销售为辆由解得获利当时取得最大值为1800万元为了获取最大
解析：7 【分析】
设每辆车的销售价格为x 万元，求出每月的销售数量，乘以每一辆的获利可得每月的利润，再由二次函数求最值. 【详解】
解：设每辆车的销售价格为x 万元，则月销售为6
8002020002000.1
x x --⨯=-辆， 由20002000x ->，解得10x <，
∴获利2(2000200)(4)20028008000(010)y x x x x x =--=-+-<<，
当2800
7400
x =
=时，y 取得最大值为1800万元. ∴为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为7万元.
故答案为：7. 【点睛】
本题考查函数模型的选择及应用，二次函数最值的求法，是基础题.
18．或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为：或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题
3 【分析】
设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】
设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得13
2
t =-，21t =，
当132t =-
，即33log 2x =-，解得x = 当21t =，即3log 1x =，解得3x =，
3.
3. 【点睛】
本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.
19．【分析】由函数有两个零点等价于且再求解即可【详解】解：令两边平方整理可得又由已知有且则解得或又方程有两不等实根则解得即综上可得实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题重点
解析：11,43⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
由函数()21f x ax =
+有两个零点等价于2
40a a ->且
2244(4)0a a a ∆=-->，再求解即可.
【详解】
21ax =-，
两边平方整理可得22(4)210a a x ax --+=， 又由已知有210ax -≥且2(4)0a a -≠， 则240a a ->，解得1
4
a >
或0a <， 又方程22(4)210a a x ax --+=有两不等实根， 则2244(4)0a a a ∆=-->，解得103
a <<
， 即1143
a <<， 综上可得实数a 的取值范围是11,43⎛⎫
⎪⎝⎭
， 故答案为：11,43⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了二次方程的解的个数问题，重点考查了运算能力，属中档题.
20．2【分析】由题意得令显然为偶函数则方程有四个实根函数x ＞0有两个零点令x ＞0则关于t 的方程即在内有两个不相等的实根结合函数的图象可得由此可求出答案【详解】解：方程令则显然为偶函数∴方程有四个实根函数
解析：2 【分析】
由题意得242()()10x x a f x g x e e -+-=⇔+-=，令242()1x x a h x e e -+-=+-，x ∈R ，显
然()h x 为偶函数，则方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0
有两个零点，令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1a
e t t
=+在
()2
e -+∞，
内有两个不相等的实根，结合函数1
y t t =+的图象可得4ln(e 1)2ln 21
n n ⎧<+-⎨<+⎩，由此可求出答案． 【详解】
解：方程()()f x g x =⇔24
ln(1)2x e x a -+=+-24210x x a e e -+-⇔+-=，
令242()1x x a h x e e -+-=+-，x ∈R ，则显然()h x 为偶函数，
∴方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点， 令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，
即1
a
e t t
=+在()
2e -+∞，
内有两个不相等的实根， 结合函数1y t t
=+，2t e ->的图象，得222a e e e -<<+， 即4ln 2ln(1)2a e <<+-，
∵存在[],1a n n ∈+，使得4ln 2ln(1)2a e <<+-，
∴4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩
，结合n Z ∈，得max 2n =，
故答案为：2． 【点睛】
本题主要考查函数与方程，考查方程的实数解个数问题，考查转化与化归思想，属于中档题．
三、解答题
21．(I)证明见解析 ；(II) 13
4
a ≥；(III) 35a << . 【分析】
(I)根据函数单调性定义法证明即可； (II) 设2(12)x t x =<<，则24t <<则 92t a t +
≤，令9
()h t t t
=+，求()h t 最大值即可； (III)根据零点分布列出等价不等式求解即可. 【详解】
（Ⅰ）()(2)4229x x x g x f a ==-⋅+，设21x x R >∈，
221121()()4229(4229)x x x x g x g x a a -=-⋅+--⋅+
2121442(22)x x x x a =---
212121(22)(22)2(22)x x x x x x a =-+-- 2121(22)[(22)2]x x x x a =-+-
因为函数2x y =在R 上单调递增， 所以2122x x >，所以21220x x ->，
又21(22)0,0x x a +>≤，所以21(22)20x x a +->，
2121(22)[(22)2]0x x x x a -+->，
所以21()()g x g x >，
所以函数()g x 在R 上单调递增. （Ⅱ）设2(12)x t x =<<， 则24t <<，都有2290t at -+≤，
92t a t +≤，令9()h t t t
=+， 易证()h t 在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增， 又1325(2)(4)24h h =
=,，()h t 最大值为13
2
， 13132,24
a a ≥
≥. (III)因为函数()f x 在(3,9)-有两个零点且对称轴为x a =，
所以2394360(3)0(9)0a a f f -<<⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪>⎩，
解得35a <<. 【点睛】
方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
22．（1）2
160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨
⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元． 【分析】
（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案；
（2）当080x <<时，21(60)13002
y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较.
【详解】
（1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭
， 当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛
⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
． （2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002
y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元），
当80x ≥
时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+
≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x
=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
23．（1）14a >
；（2
）51b <<. 【分析】
（1）讨论0a =、0a >、0a <满足恒成立情况下a 的取值范围，取并集；
（2）由题意知()g x 关于y 轴对称的函数为()k x 必与()h x 在0x <上有两个不同的交点，利用二次函数的性质求b 的取值范围．
【详解】
（1）当0a =时，()1f x x =-，在()1,3x ∈上有()(2,0)f x ∈-，故不符题意； 若0a ≠有()f x 对称轴为12x a
=，14a ∆=-，要使()()1,3,0x f x ∀∈>恒成立，
当0a >时，102a >且(1)0f a => ，即∆<0或112a ≤或132(3)0a f ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得14a >； 当0a <时，102a
<，即仅需(3)0f ≥即可，无解； 综上，有14a >
； （2）0x <时，()g x 关于y 轴对称的函数为2()2k x x bx =--，由题意知()h x 与()k x 有两个不同的交点.
由1a =时，()25111
x h x x x x -=-+--，令()()k x h x =，整理得2(1)(1)20b x b x --+-=，
∴令2()(1)(1)2t x b x b x =--+-，即()t x 在0x <上有两个不同的零点，而(0)20t =-<，
∴()
()()210
1{0211810
b b x b b b -<+=<-∆=++->
，解得51b <<，
【点睛】
思路点睛：()g x 存在两点关于y 轴对称点在()h x 上，将其转化为函数交点问题. 确定()g x 关于y 轴对称的函数解析式()k x .
有()h x 、()k x 有两个不同交点.
结合二次函数的性质求参数的范围. 24．（1）2106003000040()100006800(4)40100.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩
，，，；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．
【分析】
（1）分040x <<和40100x ≤≤时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可； （2）利用二次函数求040x <<时的最大值，利用基本不等式求40100x ≤≤时的最大值，取最大即可.
【详解】
（1）当0＜x ＜40时，L (x )＝1000x －10x 2－400x －3000＝－10x 2＋600x －3000； 当40≤x ≤100时，L (x )＝100001000100498003000x x x
--+-
10000=6800(4)x x
-+． 所以2106003000040()100006800(4)40100.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩
，，， （2）①当0＜x ＜40时，L (x )＝－10(x －30)2＋6000，
所以当x ＝30时，L (x )max ＝L (30)＝6000．
②当40≤x ≤100时，10000()6800(4)L x x x =-
+
68006400-=≤， 当且仅当100004x x
=，即x ＝50时取等号． 因为6400＞6000，所以x =50时，L (x )最大．
答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.
25．（1）奇函数，证明见解析；（2
）30,16a ⎛∈ ⎝⎦
. 【分析】
（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义即可判断
（2）通过()log (3)a g x x =-，将()1()f x g x -=化简，求出方程中a 的表达式，通过变形，利用基本不等式即可求解.
【详解】
（1）()f x 为奇函数 由505
x x ->+解得定义域为{|5x x >或5}x <-关于原点对称， 55()log log ()55
a a x x f x f x x x ----==-=--++，所以()f x 为奇函数 ； （2） 由题意知log log ()a
a x 51x 3x 5--=-+，即5log log (3)5a a x a x x -=-+， 所以()535
x a x x -=-+， 即5(5)(3)
x a x x -=+-在(5,)+∞有解， 设5x t -=，则(0,)t ∈+∞设(10)(2)t y t t =
++，。