高考真题与模拟训练 专题21 椭圆(试题版)

专题24 椭圆
第一部分 真题分类
21．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都
满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
B ．1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】C 【分析】
设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200
221x y a b
+=，222a b c =+，所以
()
()2
2
23422
2
2
2
2200
00022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
因为0b y b -≤≤，当32b b c
-≤-，即22
b c ≥时，22max
4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202
e <≤
； 当32b b c ->-，即22
b c <时，42222max b PB a b c
=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不
等式不成立． 故选：C ． 【点睛】
本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
22．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为
A ．2
212
x y +=
B ．22
132x y +
= C ．22
143x y +
= D ．22
154
x y +
= 【答案】B 【分析】
由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11
cos 3
F AB ∠=，再在
12AF F △中，由余弦定理得3
2
n =
，从而可求解. 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有
121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得
22214991cos 2233
n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得22
14422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =
． 2
2
2
2423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132
x y +=，故选B ．
法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有
121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得
222122
2144222cos 4,
422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩
，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得
32n =．222
2423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132
x y +=，故选B ．
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
98．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直
线和圆2
2212x c y c ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是
___________，椭圆的离心率是___________. 【答案】
255
55
【分析】
不妨假设2c =，根据图形可知，122
sin 3
PF F ∠=
，再根据同角三角函数基本关系即可求出
122
tan 55
k PF F =∠=
；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率． 【解析】
如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，
12112
sin sin 3AB PF F BF A F A
∠=∠=
=
，122222tan 5532
PF F ∠==- 所以255k =, 由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21121125=sin 5PF PF PF F ⨯=∠，
于是12452PF a PF +==，即25a =，所以25
5
25c e a ===． 故答案为：
255
；5
5．
63．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为6
3
.
（1）证明：3a b ；
（2）若点93,1010M ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）①330x y --=；②2
213
x y +=.
【分析】 （1）由
21b
e a
=-可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； ②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.
【解析】（1）2
22222613c c a b b e a a a a -⎛⎫
====-= ⎪⎝⎭，33b a ∴=，因此，3a b ；
（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为22
2213x y b b
+=，即22233x y b +=，
当93,1015⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部时，2
2
2
93331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得3310b >. 设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12129
2
1032
10x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-
⎪⎩，所以，121239y y x x +=-+， 由已知可得222
11222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1
212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以
()12121212193333y y x x x x y y -+⎛⎫
=-=-⨯-= ⎪-+⎝⎭
， 所以，直线l 方程为3931010y x ⎛⎫⎛
⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即33y x =-. 所以，直线l 的方程为330x y --=；
②联立()
222
3331x y b
y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.
()
222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2
129310
b x x -=，
又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，
()()()1212121212123131433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=+-⋅-=-++
()222932715
6605
5
b b --+-=
==，
解得21b =合乎题意，故2233a b ==， 因此，椭圆C 的方程为2
213
x y +=.
64．（2021·天津高考真题）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为
25
5
，且5BF =． （1）求椭圆的方程；
（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点
P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．
【答案】（1）2
215
x y +=；（2）60x y -+=.
【分析】
（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为
0015
x x
y y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.
【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为25
5
c e a =
=
，故2c =，221b a c =-=， 因此，椭圆的方程为2
215
x y +=；
（2）设点()00,M x y 为椭圆2
215
x y +=上一点，
先证明直线MN 的方程为
0015
x x
y y +=， 联立00221515
x x
y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，22
00440x x ∆=-=，
因此，椭圆2
215
x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.
在直线MN 的方程中，令0x =，可得0
1y y =
，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 直线BF 的斜率为12
BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+， 在直线PN 的方程中，令0y =，可得0
12x y =-
，即点01,02P y ⎛⎫-
⎪⎝⎭
，
因为//MP BF ，则MP BF
k k =，即20
00000
2112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =-，因为
222
000615x y y +==，00y ∴>，故066y =
，0566
x =-， 所以，直线l 的方程为66
166
x y -+=，即60x y -+=. 【点睛】
结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；
（2）椭圆22
221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线
00221x x y y a b +=与椭圆22
221x y a b
+=相切. 65．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F ，且离心率为
6
3
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222
(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充
要条件是||3MN =．
【答案】（1）2
213
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由离心率公式可得3a =，进而可得2b ，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证3MN =； 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得2
2
2
241313k k k
+⋅=+，进而可得1k =±，即可得解. 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距2c =且6
3
c e a =
=
，所以3a =， 又2
2
2
1b a c =-=，所以椭圆方程为2
213
x y +=；
（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，
当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，
必要性：
若M ，N ，F 三点共线，可设直线()
:2MN y k x =-即20kx y k --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得
2
211
k k =+，解得1k =±，
联立()
2221
3
y x x y ⎧=±-⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122,3243x x x x +=⋅=，
所以()
2
12121143MN x x x x =+⋅
+-⋅=,
所以必要性成立；
充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得
2
11
b k =+，所以221b k =+，
联立22
13y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222
136330k x kbx b +++-=， 所以2121222
633
,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++， 所以()
2
22
2
2
121222
63314141313kb b MN k x x x x k
k k -⎛
⎫=+⋅
+-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭
2
2
2
24113k k k =+⋅
+3=， 化简得()2
2310k -=，所以1k =±，
所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12
k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:2MN y x =-或2y x =-+，
所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =． 【点睛】 关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 66．（2021·北京高考真题）已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面
积为45．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直
线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【答案】（1）22
154
x y +
=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【分析】
（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求. 【解析】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，
因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故1
22452a b ⨯⨯=，即5a =，
故椭圆的标准方程为：22
154
x y +
=. （2）
设()()1122,,,B x y C x y ，
因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112
:2y AB y x x +=
-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222
N x x y =-+. 直线:3BC y kx =-，由22
34520
y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()22
4530250k x kx +-+=， 故()22
900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.
又1212
22
3025
,4545k x x x x k k +=
=++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=
22
M N x x
PM PN x x y y +=++++
()()2212121222212121222
503024545=52530111
1
4545k k
kx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++
故515k ≤即3k ≤，
综上，31k -≤<-或13k <≤.
67．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，且过点()2,1A ．
（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值． 【答案】（1）22
163
x y +=；（2）详见解析.
【分析】
（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.
【解析】（1）由题意可得：222222
241
1c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得：2226,3a b c ===，
故椭圆方程为：22
163
x y +
=. (2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，
若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，
代入椭圆方程消去y 并整理得：()222
12k 4260x kmx m +++-=，
可得122412km x x k +=-+，2122
26
12m x x k -=+，
因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：
()
()()()2
2
121212140x x km k x x k
m ++--++-+=，
所以(
)
()()222
22
264k 121401212m km
km k m k k
-⎛⎫
++---+-+= ⎪++⎝⎭
，
整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，
故23101k m k ++=≠，，
于是MN 的方程为2133y k x ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，
所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()
1
2
2
1210x y -+-=，结合2211163
x y +=可得：2
113840x x -+=，
解得：12
3
x =
或22x =（舍）.
此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边， 故122
23
DQ AP =
=
， 若D 与P 重合，则1
2
DQ AP =
， 故存在点41,33Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得DQ 为定值.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可
12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，
利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.
68．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为154
，A ，B 分别为C 的
左、右顶点． （1）求C 的方程；
（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．
【答案】（1）22
1612525
x y +=；（2）52.
【分析】
（1）因为22
2:1(05)25x y C m m
+=<<，可得 5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||
||BP BQ =， BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设
6x =与x 轴交点为N ，可得
PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直
线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【解析】（1）
222
:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，
根据离心率22
154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫
==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得54m =
或5
4
m =-(舍)， ∴C 的方程为：22
21
4255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
+=，
即22
1612525
x y +
=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方
点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且 ||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为 N 根据题意画出图形，如图
||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，
又
90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，
∴PBM BQN ∠=∠，
根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，
22
161
2525
x y +=， ∴(5,0)B ，
∴
651PM BN ==-=，
设P 点为(,)P P x y ，
可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525
x y +=，
可得：216
12525
P x +=，
解得：3P x =或3P x =-，
∴P 点为(3,1)或 (3,1)-，
①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=， PMB BNQ ≅△△，
∴||||2MB NQ ==，
可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图
(5,0)A -, (6,2)Q ，
可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：22
2311110
555
125
211d ⨯-⨯+==
=
+， 根据两点间距离公式可得：()()
22
652055AQ =
++-=，
∴
APQ 面积为：15555252
⨯⨯=；
②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，
∴||||8MB NQ ==，
可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图
(5,0)A -, (6,8)Q ，
可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()22
8311140
55
185
185
811d ⨯--⨯+==
=
+， 根据两点间距离公式可得：()()
22
6580185AQ =
++-=，
∴
APQ 面积为： 155
18522
185⨯⨯
=， 综上所述，APQ 面积为：5
2
.
【点睛】
本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
69．（2020·全国高考真题（理））已知椭圆C 1：22
221x y a b
+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重
合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且
|CD |=4
3
|AB |.
（1）求C 1的离心率；
（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.
【答案】（1）1
2
；（2）221:13627
x y C +
=，2
2:12C y x =. 【分析】
（1）求出AB 、CD ，利用4
3
CD AB =
可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值； （2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y
c c
+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线
的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点， 则直线AB 的方程为x c =，
联立2
2222
221x c
x y a b a b c
=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2
x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则2
2b AB a =
，
抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c
y cx =⎧⎨=⎩，
解得2x c
y c
=⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，
43CD AB =，即2
843b c a
=，223b ac =，
即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，
01e <<，解得12
e =
，因此，椭圆1C 的离心率为1
2； （2）由（1）知2a c =，3b c =，椭圆1C 的方程为
22
22
143x y c c +=， 联立222
224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得2
3
x c =
或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533
c
MF c c =+=
=，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为22
13627
x y +
=， 曲线2C 的标准方程为212y x =.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.
70．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22
221x y a b
+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重
合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且
|CD |=4
3
|AB |．
（1）求C 1的离心率；
（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．
【答案】（1）1
2
；（2）1C ：
22
11612
x y +=，2C ： 28y x =. 【分析】
（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4
||||3
CD AB =
，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
【解析】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中
22c a b =-.
不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y
a b
+=，
所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2
b a ，2b a
-；
又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故2
2||b AB a
=
，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2
843b c a
=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.
所以1C 的离心率为1
2.
（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22
122:143x y C c c
+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，
(2,0)c -，(0,3)c ，(0,3)c -，2C 的准线为x c =-.
由已知得312c c c c +++=，即2c =.
所以1C 的标准方程为2211612
x y
+
=，2C 的标准方程为28y x =.
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
71．（2019·北京高考真题（文））已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2
212
x y +=；
（Ⅱ）见解析. 【分析】
(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.
【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以
1225
； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2
212
x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y
联立2
212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪
⎨⎪=+≠⎩
得222(12)4220k x ktx t +++-=，
21212
22422
0,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，22
2
2
1212122
2()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.
直线111:1y AP y x x --=
，令0y =得111x x y -=-，即1
11
x OM y -=-； 同理可得2
21
x ON y -=
-. 因为2OM ON =,所以
1212
121212211()1
x x x x y y y y y y --==---++；
221
121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
72．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为F 1
（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=5
2
．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标． 【答案】（1）22
143
x y +
=； （2）3
(1,)2
E --.
【分析】
(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；
(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；
解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .
因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.
又因为DF 1=
52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222
DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2
=a 2
-c 2
，得b 2
=3.
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +=，a =2，
因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.
将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2
+y 2
=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).
又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()22
22116
y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或11
5
x =-. 将115x =-
代入22y x =+，得125
y =-， 因此1112(,)55B -
-.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3
(1)4
y x =-. 由22
3(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2
76130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2
E --. 解法二：
由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +
=.如图，连结EF 1.
因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .
因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.
因为F 1(-1，0)，由221
143x x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，得32y =±.
又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以3
2y =-.
因此3
(1,)2
E --.
【点睛】
本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
73．（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .
已知3||2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F 且斜率为3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心
C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.
【答案】（I ）1
2
；（II ）22
11612
x y +
=. 【分析】
（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到222
3()2
a a c =+，化简得出12c a =，从而求
得其离心率；
（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程22
22143x y c c
+=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐
标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得222
3()2
a a c =+，解得12c a =，
所以，椭圆的离心率为1
2.
（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为22
22143x y c c
+=，
由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3
()4
y x c =+，
点P 的坐标满足22
22
1433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，
解得1213,7
c
x c x ==-
， 代入到l 的方程，解得1239
,214y c y c ==-，
因为点P 在x 轴的上方，所以3
(,)2
P c c ，
由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，
且由（I ）知(2,0)A c -，故3242c
t c c =
+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，
又由圆C 与l 相切，得
2
3
(4)24
231()4
c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：22
11612
x y +
=.
第二部分 模拟训练
一、单选题
1．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线
13
x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π
∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
5
5
B ．
33
C ．
22
D ．
32
【答案】A
【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，
∴直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立13
1
x c x y c b
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
设直线13x c =
与x 轴交于点M ，则143F M c =，2
3
MA b =， ∵124
AF F π
∠=
，
∴142
33
F M MA c b =⇒
=，即2b c =， ∴2224a c c -=，即225a c =， ∴21555
e e =
⇒=
， 故选：A
2．已知点(),A m n 在椭圆22
142
x y +=上，则22m n +的最大值是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】由题意可得22
142
m n +=，则2242m n =-，故2224m n n +=-．
因为22n -≤≤
，所以202n ≤≤，所以2244n ≤-≤，即2224m n ≤≤+．
因此，22m n +的最大值4. 故选：B.
3．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆22
122:1(0)x y
C a b a b
+=>>交于A 、B 两点，与圆
222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[2,1]k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取
值范围是（ ）
A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．2,12⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【答案】C
【解析】直线:210l kx y k --+=，即为(2)10k x y -+-=，可得直线恒过定点(2,1)， 圆222:(2)(1)1C x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，且C ，D 为直径的端点， 由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
则2211221x y a b +=，22
22221x y a b
+=， 两式相减可得
1212121222
()()()()
0x x x x y y y y a b +-+-+=，
由124x x +=．122y y +=， 可得2
122122y y b k x x a
-=
=--，由21k --，即有
2
21
12
b a
， 则椭圆的离心率2
21(0c b e a a
==-∈，2]2． 故选：C
4．椭圆22
145x y +
=上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（ ） A ．2 B ．4
C ．25
D ．6
【答案】D
【解析】椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为2226a b +=. 故选：D
5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．
11e e +-r +21e e
-R B ．
11e e +-r +1e
e
-R C ．11e e +-r +21e
e
+R D ．
11e e -+r +1e
e
+R 【答案】A
【解析】由题意，椭圆的离心率(0,1)c
e a
=
∈，（c 为半焦距；a 为长半轴） 地球半径为R ，卫星近地点离地面的距离为r ，可得a c R r -=+ 联立方程组1r R a e +=
-，1r R
c e e
+=
-， 如图所示，设卫星近地点的距离为m ，远地点的距离为n ， 所以远地点离地面的距离为11r R r R n a c R e R e e ++=+-=+-=--11e
e +-r +21e e
- 故选：A ．
6．已知椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为
2
3
，则实数m =（ ） A ．2± B ．5±
C ．7±
D ．3±
【答案】B
【解析】解：椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为
2
3
， 可得222
2422()43
m m m +--=+，
解得5m =±． 故选：B ．
二、填空题
7．已知椭圆22
1164
x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为
__________. 【答案】2
【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，
可知268PF +=，即22PF = 故答案为：2
8．能说明“若()20m n +≠，则方程2212
x y
m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是
_____.
【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.
【解析】若方程22
2
x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者
0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.
故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.
9．设1F ，2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且
1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.
【答案】
2
2
. 【解析】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，
∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，
2
2
c e a ∴=
=
， 故答案为：2
2
. 三、解答题
10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点43,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率3
2e =.
所以2
2
2
2312b e a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，即224a b =， 又椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
代入椭圆方程可得
2231
14a b
+=， 联立方程组可得22223
11
44a b
a b
⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程组2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得()
222
148440k x kmx m +++-=，
()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+，
122814km x x k -+=+，2122
44
14m x x k -=+，
因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，
121212120
3
434343
4
3
333
AQ BQ y y kx m kx m
k k x x x x +++=
+
=+=----
， 即()()1221434333kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫
+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1212
43832033kx x m k x x m ⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭
得()()2
2
4383244814033k m km m k m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 化简得3m k =-，直线l 的方程为()
3y k x =-， 所以，直线l 恒过定点
)
3,0.
11．已知点F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点，P 是椭圆E 的上顶点，O 为坐标原点且
3tan 3
PFO ∠=
. （1）求椭圆的离心率e ；
（2）已知()1,0M ，()4,3N ，过点M 作任意直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点.设直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若122k k +=，求椭圆E 的方程.
【答案】（1）3
2
；（2）2214x y +=.
【解析】（1）由题可得OF c =，OP b =，
3
tan 3
OP b PFO OF c ∴∠=
==
，即3=c b ， 22+2a b c b ∴==，
33
22
c b e a b ∴=
==
； （2）由（1）可得椭圆方程为22
2214x y b b
+=，
当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，
联立直线与椭圆()22
22114y k x x y b b
⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()
22222
148440k x k x k b +-+-=， 则(
)()4
2
2
264414440k k
k
b ∆=-+->，即222240k b k b -+>，
则2122814k x x k +=+，22
122
4414k b x x k
-=+， ()()12121212121313
334444
k x k x y y k k x x x x ------+=+=+-∴---
()()()12121212253824
2416
kx x k x x k x x x x -++++=
=-++，
()22222
22
2
22
44825382414142448416
1414k b k k k k k k k b k k k -⋅-+⋅++++∴=--⋅+++， 即()
()2
110b k --=对任意k 成立，即21b =，
则椭圆方程为2
214
x y +=，
当直线斜率不存在时，则直线方程为1x =，则()()121,,1,A y B y ，且120y y += 此时1212123366
2141433
y y y y k k --+--+=
+===----，满足题意， 综上，椭圆方程为2
214
x y +=.。