高考数学一轮复习 专题18 三角函数的图象和性质教学案 理-人教版高三全册数学教学案

专题18 三角函数的图象和性质
1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与
x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝
⎛⎭
⎪⎫－π2
，π2内的单调性．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，1，(π，
0)，⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2，－1，(2π，0)．
(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0，(π，
－1)，⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图象
定义域
R
R
{x |x ∈R ，且x ≠
⎭
⎬⎫
k π＋π
2
，k ∈Z
值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数
偶函数 奇函数
递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π－π2，k π＋π2
递减 区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]
无
对称
中心 (k π，0)
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2，0
对称轴 方程 x ＝k π＋π
2
x ＝k π
无
高频考点一三角函数的定义域及简单的三角不等式 【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ≠π6
B.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ≠－π12
C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z）
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠k π2＋π
6（k ∈Z）
(2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.
(3)函数f (x )＝64－x 2
＋log 2(2sin x －1)的定义域是________.
(3)由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧64－x 2
≥0，①
2sin x －1>0，②
由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <5
6
π＋2k π(k ∈Z).
所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤13π6，8
【方法规律】(1)三角函数定义域的求法
①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域. ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解. ②利用三角函数的图象求解.
【变式探究】 (1)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z
B.
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π
8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
(2)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. 解析 (1)由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
4，k ∈Z ，
∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |x ≠
k π2＋π
4，k ∈Z .
(2)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.
在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π
4
，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，
所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z .
法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边X 围(如图阴影部分所示).
所以定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z .
法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x
的图象和性质可知2k π≤x －π
4
≤π＋2k π(k ∈Z)，
解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4
(k ∈Z).
所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z .
答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4，k ∈Z
高频考点二 三角函数的值域(最值)
【例2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7
6π，136π的值域是( )
A.[－3，1]
B.[－2，1]
C.(－3，1]
D.(－2，1]
(2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4
B.5
C.6
D.7
(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.
(3)设t ＝sin x －cos x ，
则t 2
＝sin 2
x ＋cos 2
x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t
2
2，且－2≤t ≤ 2.
∴y ＝－t 2
2＋t ＋12＝－12
(t －1)2
＋1.
当t ＝1时，y max ＝1；
当t ＝－2时，y min ＝－1
2
－ 2.
∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)D (2)B (3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12－2，1
【方法规律】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).
【变式探究】 (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A.2－ 3
B.0
C.－1
D.－1－ 3
(2)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1，则实数
a 的取值X 围是________.
解析 (1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π
6，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1.
所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.
∵x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π
3
≤a ≤π.
答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π 高频考点三 三角函数的性质
例3、(1)函数y ＝2cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π
2
的偶函数
(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝
( )
A.－π
6
B.π6
C.－π3
D.π3
解析 (1)y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2
＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ， 则函数为最小正周期为π的奇函数.
(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋θ
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
x ＋θ－π3，
由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，
∴θ＝5π
6
＋k π(k ∈Z )，
∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π
6.故选A.
答案 (1)A (2)A
【方法规律】(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A ，ω≠0)，则 ①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π
2＋k π(k ∈Z )；
②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).
(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π
|ω|
，y ＝A tan(ωx ＋
φ)的最小正周期T ＝
π
|ω|
. 【变式探究】(1)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. (2)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2
，2π3上是增函数，则ω的取值X 围是
________.
解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间.
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z .
故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).
(2)法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得f (x )的增区间是⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω(k ∈Z ).
因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，
所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2
，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.
所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，34.
法三 因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2
，2π3上是增函数，故原点到－π2，2π3的距离不超过T 4，即
⎩⎪⎨⎪⎧π2≤T 4，2π3≤T 4，
得T ≥8π3，即2πω≥8π3，又ω>0，得0<ω≤3
4
. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，34
【方法规律】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数
ω的X 围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已
知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【举一反三】(1)若函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)(φ<0)的图象关于直线x ＝π
24对称，则φ的
最大值为( )
A.－5π3
B.－2π3
C.－π6
D.－5π
6
(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )
的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
解析 (1)由题可得，4×π24＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π
3
＋k π，k ∈Z ，∵φ<0，∴φ
max
＝－2π
3
.
(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T
4
＋kT ，
即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N ＋)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以
5π36－π18＝π12≤T 2＝2π
2ω
，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 答案 (1)B (2)B
【方法规律】(1)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π
2＋k π(k ∈Z)，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx
＋φ＝k π(k ∈Z)，求x 即可.
(2)对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋
φ＝k π(k ∈Z)，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2
＋k π
(k ∈Z)，求x 即可.
高频考点四、由对称性求参数
例4、若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *
)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，
则ω的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 B
解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *
，∴ωmin ＝2，
故选B.
【感悟提升】(1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．
(2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．
②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|，y ＝tan(ωx
＋φ)的最小正周期为π
|ω|
.
【变式探究】(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝
⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6的值为________．
(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π
3
对称，则实数a 的值为( ) A ．－ 3 B ．－33
C. 2
D.22 答案 (1)2或－2 (2)B 解析 (1)∵f ⎝
⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ，
∴x ＝π
6
是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π
3是f (x )图象的对称轴，
可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫10π3，
解得a ＝－
33
.
1.【2016年高考某某理数】为了得到函数π
sin(2)3
y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )
（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π
3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π
6
个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36
y x x π
π
=-
=-，只需把函数sin 2y x
=的图像上所有点向右移
6
π
个单位，故选D. 2.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A ）()26k x k Z ππ=
-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=
-∈ （D ）()212
k x k Z ππ=+∈ 【答案】B
【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移
12
π
个单位得
2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+
=+，则平移后函数的对称轴为2,62
x k k Z ππ
π+=+∈，即
,6
2
k x k Z π
π
=
+
∈，故选B. 3.【2016年高考理数】将函数sin(2)3y x π
=-
图象上的点(,)4
P t π
向左平移（0s >） 个
单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）
A.12t =
，的最小值为6πB.32t = ，的最小值为6π
C.12t =
，的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3
π
【答案】A
【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122
，此时min πππ
4126
s =
=-，故选A. 4.【2016高考新课标3理数】函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数
sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
3
2π
5.【2016高考某某理数】设函数2
()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】
21cos 2cos 21
()sin sin sin sin 222
-=++=
++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当
0=b 时，cos 21
()22
=-
++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．
6.【2016高考某某理数】函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ）
（A ）
2π（B ）π （C ）2
3π
（D ）2π 【答案】B
【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛
⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
,故最小正周期22
T π
π=
=,故选B. 【2015高考某某，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）
（A ）向左平移
12
π
个单位 （B ）向右平移
12
π
个单位
（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3
π
个单位 【答案】B
【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛
⎫
⎛⎫=-
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移
12
π
个单位.故选B. 【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的
单调递减区间为( )
(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13
(2,2),44
k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -
+∈(D)13
(2,2),44
k k k Z -+∈
【答案】D
【解析】由五点作图知，1
+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以
()cos()4f x x ππ=+，令
22,4
k x k k Z
π
ππππ<+
<+∈，解得
124k -
＜x ＜324k +
，k Z ∈，故单调减区间为
（
124k -
，3
24k +），k Z ∈，故选D.
（2014·某某卷）将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应
的函数( )
A ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π12，7π12上单调递减
B ．在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π12，7π12上单调递增
C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减
D ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上单调递增 【答案】B
【解析】由题可知，将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，
k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12＋k π，
7π
12＋k π，k ∈Z，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π12，
7π12上单调递增．
（2014·全国卷）设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a
C ．c >b >a
D ．c >a >b
【答案】C 【解析】因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，
所以c >b >a .
（2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1­1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )
图1­1
A B
C D 【答案】C
（2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．
【答案】1
【解析】函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin
φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.
（2014·某某卷）已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3
对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．
【解析】(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又因为f (x )的图像关于直线x ＝π
3对称，
所以2×π3＋φ＝k π＋π
2，k ＝0，±1，±2，….
因为－π2≤φ＜π
2，
所以φ＝－π
6
.
(2)由(1)得ƒ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.
由
π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π
2
， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
＝154.
因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2 ＝sin α
＝sin ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×1
2 ＝
3＋15
8
. （2013·卷）“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】∵曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点， ∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.
（2013·某某卷）函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】周期为T ＝2π
2
＝π.
（2013·某某卷）函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )
图1－2
【答案】D 【解析】∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x ＝π
2时，y ＝1>0，排除
选项C ；x ＝π，y ＝－π<0，排除选项A ；故选D.
1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；
④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A
2.函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )
A.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )
D.⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π
12(k ∈Z )，所以
函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.
答案 B
3.函数y ＝cos 2
x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1D.2，－2 解析 y ＝cos 2
x －2sin x ＝1－sin 2
x －2sin x ＝－sin 2
x －2sin x ＋1，
令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2
－2t ＋1＝－(t ＋1)2
＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D
4.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )
≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3，0
解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，
所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，
由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.
令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π
3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，
当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0. 答案 A
5.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值
等于( )
A.23
B.32
C.2
D.3
解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ
4.
由已知条件知－ωπ
3≤－π2，∴ω≥32
. 答案 B
6.若函数f (x )＝4sin 5ax －43cos 5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
3，则实
数a 的值为________.
解析 因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以
2π5|a |＝2π3，解得a ＝±3
5. 答案 ±35
7.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 解析 因为f (x )为奇函数，
所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π
6.
答案
5π6
8.函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________.
9.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.
解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32
.
法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝3
2.
答案 3
2
10.已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos 2
x
2＋sin x ＋b .
(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；
(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.
解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .
(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，
由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，
得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π
4
(k ∈Z )，
∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ).
(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π
4，
∴－
22≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (ⅰ)当a >0时，⎩⎨
⎧2a ＋a ＋b ＝8，
b ＝5，
∴a ＝32－3，b ＝5.
(ⅱ)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，
2a ＋a ＋b ＝5，
∴a ＝3－32，b ＝8.
综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。