高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、
解三角形 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β (T (α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α； tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α. 3．公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √
)
1．化简cos 40°
cos 25°1－sin 40°等于( )
A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C
解析 原式＝cos 40°
cos 25°1－cos 50°
＝
cos 40°
cos 25°·2sin 25°＝cos 40°2
2
sin 50°＝ 2.
2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C
解析 ∵si n α＋2cos α＝102
，又sin 2α＋cos 2
α＝1， 联立解得⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＝－10
10
，cos α＝310
10
或⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＝310
10，cos α＝10
10
，
故tan α＝sin αcos α＝－1
3
或tan α＝3，
代入可得tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－131－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132
＝－34， 或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－3
4
.
3．(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1
2，则tan β等于( )
A.17
B.16
C.57
D.5
6 答案 A
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
α＋β－tan α
1＋α＋βα
＝12－131＋12×13
＝17.
4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________. 答案
2
2
解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝
22
. 5．(2015·青岛质量检测)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π
12)的值为________．
答案
172
50
解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝4
5，
∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，2π3，
∴sin(α＋π6)＝3
5
，
∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝24
25，
∴cos(2α＋π3)＝2cos 2
(α＋π6)－1＝725，
∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π
4)
＝
22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝
172
50
.
题型一 三角函数公式的基本应用
例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π
2
，π)，则
cos 2α2
α
＋
π
4
＝________.
(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 答案 (1)－7
5 (2) 3
解析 (1)
cos 2α2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4
＝
cos 2
α－sin 2
α
2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
22sin α＋22cos α
＝cos α－sin α，
∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，
∴cos α＝－4
5.
∴原式＝－7
5
.
(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－1
2
，
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴sin α＝
3
2
，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－
tan 2
α＝－23
1－－3
2
＝ 3.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝1
7
，则sin α等于( )
A.35
B.4
5 C ．－35 D ．－45
(2)已知sin α＝
35，且α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则f ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π12＝
________________________. 答案 (1)A (2)36＋42
10
解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝1
7，
∴tan α＝－34＝sin α
cos α，
∴cos α＝－4
3
sin α.
又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2
α＝925.
又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝3
5
.
(2)∵sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π12
＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π6
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos π6＋cos αsin π6＝36＋4210.
题型二 三角函数公式的灵活应用
例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A. 2
B.22
C.1
2
D.
32
(2)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 (1)B (2)C
解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)] ＝sin 45°＝
2
2
.故选B.
(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5
＝sin αcos π5＋cos αsin
π
5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α
tan π5＋1tan αtan
π
5
－1
＝2＋1
2－1
＝3.
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．
(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，
则角A 的值为( ) A.π
4 B.π3 C.π
2
D.3π4
(2)函数f (x )＝2sin 2(π
4
＋x )－3cos 2x 的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．2＋ 3
D ．2－ 3
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π
4.
(2)f (x )＝1－cos 2(
π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得
f (x )的最大值是3.
题型三 角的变换问题
例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3
5
，则cos β等于( ) A.2525 B.25
5
C.
2525或255 D.55或525
(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π
6)的值是________．
答案 (1)A (2)－4
5
解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2
α＝25
5
， cos(α＋β)＝±1－sin
2
α＋β
＝±45
.
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.
(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝4
53，
∴
32cos α＋32sin α＝4
5
3， 3(12cos α＋32sin α)＝4
53， 3sin(π6＋α)＝4
53，
∴sin(π6＋α)＝4
5
，
∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－4
5
.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β
2，
α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α
2
＋β)等．
若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )
A.
33 B ．－33 C.539 D ．－69
答案 C
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β2，
∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4
，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝
223
.
又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63
. 故cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.
4．三角函数求值忽视角的范围致误
典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝2
3，则cos(α＋
β)的值为________．
(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－3
4，则cos A ＝________.
易错分析 (1)角α2－β，α－β
2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．
(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角． 解析 (1)∵0＜β＜π
2＜α＜π，
∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β
2
＜π，
∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2
⎝
⎛⎭
⎪⎫α2－β
＝53， sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－β2＝
1－cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，
∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，
∴cos(α＋β)＝2cos
2
α＋β
2
－1 ＝2×49×5729－1＝－239729.
(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，
∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2
B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin
2
A ＋
B ＝－
5
3
， ∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]
＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－
53×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34＋2
3×74＝
35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋27
12
温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．
[方法与技巧] 1．巧用公式变形：
和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2，
配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α
2±cos α22，
1＋cos α＝2cos
2
α2，1－cos α＝2sin 2α
2
.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． [失误与防范]
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．
A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)
1． cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )
A ．－
3
2
B.22
C.1
2
D ．1
答案 C
解析 原式＝sin 5°＋3
2
sin 25°
cos 25°
＝
－
＋
32sin 25°cos 25°＝1
2cos 25°cos 25°＝1
2
.
2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝37
8，则sin θ等于( )
A.3
5 B.45 C.7
4
D.34
答案 D
解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2
θ＝1得
(sin θ＋cos θ)2
＝378＋1＝(3＋74)2，
又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋7
4
.
同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝3
4.
3．若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ等于( )
A. 3 B ．－ 3 C.3
3
D ．－
33
答案 A 解析
sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ
1＋2cos 2
θ－1
＝tan θ＝ 3. 4．若sin(π＋α)＝3
5，α是第三象限角，则sin π＋α2－cos
π＋α
2sin π－α2－cos
π－α
2等于( )
A.1
2 B ．－1
2
C ．2
D ．－2
答案 B
解析 sin π＋α2－cos π＋α2sin π－α2－cos π－α2＝cos α2＋sin
α2
cos α2－sin
α2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝
⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2
＝
cos 2
α2＋2sin α2cos α2＋sin 2α
2cos 2α2－sin
2α
2
＝1＋sin α
cos α.
∵sin(π＋α)＝－sin α＝35，∴sin α＝－3
5.
∵α是第三象限角，∴cos α＝－4
5
，
故原式＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－35－45
＝－12.
5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )
A.1318
B.1322
C.322
D.16 答案 C
解析 因为α＋π4＋β－π
4＝α＋β，
所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，
所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤α＋β
－⎝
⎛⎭⎪⎫β－π4
＝α＋β
－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫β－π41＋
α＋β⎝
⎛⎭⎪⎫β－π4＝322
. 6.sin 2
50°
1＋sin 10°＝________. 答案 12
解析 sin 2
50°1＋sin 10°＝1－cos 100°
＋
＝1－
＋
＋
＝
1＋sin 10°
＋
＝12
. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1
解析 根据已知条件：
cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0， 即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0， ∴cos α－sin α＝0， ∴tan α＝1.
8．函数f (x )＝2cos x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为__________．
答案 1－
3
2
解析 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3
＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12sin x －32cos x
＝12sin 2x －32cos 2x －3
2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，
∴f (x )的最大值为1－
3
2
. 9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1
tan α
的值． 解 (1)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－α
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3
＝1
2
. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－3
2
.
∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2
α－cos 2
α
sin αcos α
＝－2cos 2α
sin 2α＝－2×－321
2
＝2 3.
10．如图，已知单位圆上有四点E (1,0)，A (cos θ，sin θ)，B (cos 2θ，sin 2θ)，C (cos 3θ，sin 3θ)，0<θ≤π
3
，分别设△OAC ，△ABC 的面积为S 1
和S 2.
(1)用sin θ，cos θ表示S 1和S 2； (2)求
S 1
cos θ
＋
S 2
sin θ
的最大值及取最大值时θ的值．
解 (1)根据三角函数的定义，知∠xOA ＝θ，∠xOB ＝2θ，∠xOC ＝3θ，所以∠xOA ＝∠AOB ＝∠BOC ＝θ，所以S 1＝12·1·1·sin(3θ－θ)＝1
2sin 2θ.
因为S 1＋S 2＝S 四边形OABC
＝12·1·1·sin θ＋1
2·1·1·sin θ＝sin θ， 所以S 2＝sin θ－1
2sin 2θ＝sin θ(1－cos θ)．
(2)由(1)知
S 1
cos θ
＋
S 2
sin θ
＝
sin θcos θcos θ＋
sin θ
－cos θ
sin θ
＝sin θ－cos θ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1. 因为0<θ≤π3，所以－π4<θ－π4≤π
12，
所以－
22<sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4≤sin π12＝6－24，
所以S 1cos θ＋S 2
sin θ
的最大值为
3＋12，此时θ的值为π
3. B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)
11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2
α＋
sin 2α
α－
π
4
等于( )
A ．－255
B ．－3510
C ．－31010
D.255
答案 A
解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－1
3.
又－π2<α<0，所以sin α＝－10
10.
故2sin 2
α＋sin 2
αα－
π4
＝
2sin αα＋cos α22α＋cos α
＝22sin α
＝－25
5
.
12．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2
α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )
A.2
2
B.3
3
C. 2
D. 3
答案 D
解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2
α＋cos 2α＝14，
∴sin 2α＋cos 2α－sin 2
α＝14，
∴cos 2
α＝14
，
∴cos α＝12或－1
2(舍去)，
∴α＝π
3
，∴tan α＝ 3.
13．已知cos 4α－sin 4
α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.
答案
2－15
6
解析 ∵cos 4
α－sin 4
α＝(sin 2
α＋cos 2
α)(cos 2
α－sin 2
α) ＝cos 2α＝2
3
，
又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 2
2α＝
53
， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－15
6
. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.
答案 ± 3
解析 f (x )＝1＋2cos 2
x －12cos x ＋sin x ＋a 2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4
＝cos x ＋sin x ＋a 2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4
＝(2＋a 2
)sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4.
依题意有2＋a 2
＝2＋3， ∴a ＝± 3.
15．(2015·嘉兴一模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8
·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，求函数f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域．
解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π.
(2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
由于x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8∈[－1，2]，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。