高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.2 方差与标准差教学案 苏教版必修3-苏教

2．3.2 方差与标准差

1．什么叫一组数据的极差、方差、标准差？

2．一组数据的方差和标准差具有什么作用？

[新知初探]

1．极差、方差、标准差

(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差． (2)方差与标准差：

设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，那么称s 2

＝1n ∑i ＝1

n (x i －x )2

为这个样

本的方差，其算术平方根s ＝

1

n ∑

i ＝1

n

x i －x 2

为样本的标准差．

2．方差与标准差的作用

标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度．

[小试身手]

1．数据0,1,3,4,7的极差为________，方差为________． 答案：7 6

2．一组数据1,2,3,4，a 的平均数是3，那么数据的方差为________，标准差为________． 答案：2

2

3．假设1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，那么1,2,3，x ，y 的方差是________．

预习课本P69～71，思考并完成以下问题

解析：由5＝1＋2＋3＋x

4得x ＝14.

同理y ＝9.

由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82

＝24.56.

答案：24.56

[典例] 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据(单位：cm)为：

甲：99 100 98 100 100 103； 乙：99 100 102 99 100 100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [解] (1)x 甲＝1

6

(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

x 乙＝1

6

(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s 2甲＝16

[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2

＋(103－

100)2

]＝73

.

s 2乙＝1

6

[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2

＋(100－

100)2

]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同， 又s 2

甲＞s 2

乙，

所以乙机床加工零件的质量更稳定．

方差、标准差的计算及应用

(1)方差常用计算公式有两个

①基本公式s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2

]．

②简单计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]或写成s 2＝1n

(x 21＋x 22＋…＋x 2

n )－

x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．

(2)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，因此还要研究样本数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)，标准差大说明样本数据分散性大，标准差小说明样本数据分散性小或者样本数据集中稳定．

[活学活用]

某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如以下图：

根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定．

解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x 甲、x 乙，方差分别为s 2

甲、s 2

乙， 那么x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋107

6

＝113，

x 乙＝

124＋110＋112＋115＋108＋109

6

＝113，

s 2甲＝16

[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2

＋(107－

113)2

]

＝21，

s 2乙＝1

6

[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－

113)2

]

＝2913

，

由于s 2

甲＜s 2

乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定.

[典例] 设数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2

，求以下各组数据的方差． (1) x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ； (2)ax 1, ax 2，…，ax n ；

(3)ax 1＋b, ax 2＋b ，…，ax n ＋b .

[解] 设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，

那么数据x 1＋b ，x 2＋b ，… ，x n ＋b 的平均数为x ＋b ， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ，

数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ， 设数据x 1＋b ，x 2＋b ，…， x n ＋b 的方差为s 2

1， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为s 2

2，

数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为s 2

3，

(1) s 21＝1n

[(x 1＋b －x －b )2＋(x 2＋b －x －b )2＋…＋(x n ＋b －x －b )2

]

＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝s 2

，

(2)s 22＝1n

[(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2

]

＝a 2·1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2

，

(3)s 23＝1n

[(ax 1＋b －a x －b )2＋(ax 2＋b －a x －b )2＋…＋(ax n ＋b －a x －b )2

]

＝1n

[(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2]

＝a 2·1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2

]

＝a 2s 2

.

方差的性质