高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(62)

1.1 集合的概念
一、单选题
1．已知3a =，{|2}A x x =≥，则（ ）
A ．a A ∈
B ．a A ∉
C ．{}a A =
D ．{}a a ∉
答案：A
解析：根据元素与集合的关系，即可求解.
详解：
由题意，集合{|2}A x x =≥，且3a =，因为32>，所以a A ∈.
故选：A.
2．设集合{1}A x Z x =∈-，则
A ．A ∅∉
B ．
C ．2A ∈
D ．{}2⊆A 答案：B
详解：
试题分析：集合A 表示大于1-的正数，因此B 项
正确 考点：元素与集合的元素
3．下列所给关系正确的个数是
①π∈R 3Q ；③0∈*N ；④|−4|∉*N ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案：B
详解：
由R(实数集)、Q(有理数集)、*N (正整数集)的含义知，①②正确，③④不正确．
4．对于任意实数x x ，表示不小于x 的最小整数，如
1.220.20=-=，．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合(){}|10A y y f x x ==-，≤≤，则集合A 中所有元素的和为（ ）
A ．3-
B ．4-
C ．5-
D ．6-
答案：B
解析：根据x 的范围即可求出2x 的范围，根据x <>的定义即可求出2x x <>+<>的值，即得出集合A 的所有元素，从而得出集合A 的所有元素的和．
详解：
因为10x -，
∴①1x =-时，22x =-，则：
1x <>=-，22x <>=-；
23x x ∴<>+<>=-；
②10x -<时，220x -<，则：
0x <>=，21x <>=-，或
0； 21x x ∴<>+<>=-，或0；
{3A ∴=-，1-，0}；
∴集合A 中所有元素和为4-．
故选：B
点睛：
本题主要考查对x <>的定义的理解，以及不等式的性质，意在考查学生对这些．
5．集合5793,,,,234
⎧⎫⎨⎬⎩⎭用描述法可表示为（ ） A ．*21|,2n n x x n N +⎧⎫=
∈⎨⎬⎩⎭ B ．*23|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ C ．*21|,n x x n N n -⎧⎫=
∈⎨⎬⎩⎭ D ．*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭
答案：D 解析：找出集合中元素的规律通式即可.
详解： 由579
3,,,,234，即3579,,,,1234，从中发现规律*21,n x n N n +=∈， 故可用描述法表示为*21|,n x x n N n +⎧
⎫=
∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D.
点睛：
本题考查集合的描述法，属于基础题.
6．已知集合A 中元素x 满足x x N *∈，则必有（ ）
A ．－1∈A
B ．0∈A
C
D ．1∈A
答案：D
解析：利用列举法求解即可.
详解：
因为x ≤≤
又x N *∈，
所以x 的可能取值1,2.
故选：D.
点睛：
本题主要考查了列举法.属于容易题.
7．集合{1,2,3,5}A = ，当x A ∈时，若1,1x A x A -∉+∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：A
解析：根据“孤立元素”的定义，依次研究各元素即可得答案.
详解：
解：对于元素1，112A +=∈，故不满足孤立元素的定义；
对于元素2，213A +=∈，故不满足孤立元素的定义；
对于元素3，312A -=∈，故不满足孤立元素的定义；
对于元素5，514A -=∉，516A +=∉，故满足孤立元素的定义；
故A 中孤立元素的个数为1个.
故选：A.
点睛：
本题考查集合新定义问题，正确理解新定义是解题的关键，是基础题.
8．已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1-或2-
D ．2-或3-
答案：C
解析：由已知得2a =-或12a -=-，解之并代入集合中验证可得选项.
详解：
因为集合{1,,1}A a a =-，且2A -∈，所以2a =-或12a -=-，
当2a =-时，{1,2,3}A =--，适合题意；
当12a -=-时，1a =-，{1,1,2}A =--，也适合题意，
所以实数a 的值为1-或2-.
故选：C.
点睛：
本题考查元素与集合的关系，属于基础题.
9．设集合222,3,3,7A a a a a
⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，{}|2|,0B a =-，已知4A ∈且4B ∉,则实数a 的取值集合为（ ）
A ．{}-1，-2
B ．{}-1，2
C ．{}-2，4
D ．{}4
答案：D
解析：由234a a -=或274a a ++=解出a 的值，再验证集合中元素的互异性.
详解：
当234a a -=时，可得4a =或1a =-，
若1a =-，则274a a ++=，不合题意；
若4a =，则2711.5a a ++=，|2|2a -=符合题意； 当274a a
++=，可得1a =-或2a =-，
若1a =-，则234a a -=，不合题意；
若2a =-，则|2|0a -=，不合题意.
综上所述：4a =.
故选：D.
点睛：
本题考查了集合中元素的互异性，考查了分类讨论思想，属于基础题.
二、填空题
1．已知集合{}2|60A x x px =-+=，若3A ∈，则方程15x p -=的解为__________.
答案：2x =
解析：由题意可知，3是方程260x px -+=的根，解得5p =.方程15x p -=等价变形为155x -=，解得，即可.
详解：
3A ∈
∴3是方程260x px -+=的根，即23360p -+=，解得5p =. 又方程155x p -==
11x ∴-=，解得2x =.
故答案为：2x =
点睛：
本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题.
2．若－3∈x－2，2x 2－5x ，12}，则x ＝________．
答案：－1，32，1
解析：由已知得x －2＝－3或2x 2－5x ＝－3，解之再代入集合中检验集合的元素是否互异，可得答案.
详解：
由题意知，x －2＝－3或2x 2－5x ＝－3.
①当x －2＝－3时，x ＝－1.
把x ＝－1代入，得集合的三个元素为－3，7，12满足集合中元素的互异性；
②当2x 2－5x ＝－3时，x ＝32或x ＝1，当x ＝32时，集合的三个元素为－12，－3，12，满足集合中元素的互异性；
当x ＝1时，集合的三个元素为－1，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x ＝－1，32，1.
故答案为：－1，32
，1.
点睛：
本题考查由集合与元素的关系求参数的值，注意集合中的元素需互异，属于基础题.
3．设集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集，则a =______________.
答案：1a =
解析：本题先将条件“集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集”转化为“方程220x x a ++=有
且仅有1个解”，再建立方程求a 的值.
详解：
解：因为集合{}2|20x x x a ++=有且只有两个子集，
所以集合{}2|20x x x a ++=有且只有一个元素，
所以方程220x x a ++=有且仅有1个解，
所以2240a ∆=-=，解得1a =.
故答案为：1a =.
点睛：
本题考查根据集合中元素的个数求参数的值，是基础题.
4．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________
答案：12(,]23
解析：由f （x ）＝x 2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x 2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．
详解：
f （x ）＝x 2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0，
即x 2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1，
分别令y ＝x 2﹣2x+1，
y ＝a （x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），
分别画出函数的图象，如图所示：
∵集合A ＝x∈Z|f（x ）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得
∴10
{120 311a a a -≤--≤＜，
解得12＜a 23≤
故答案为（12，2
3
]
点睛：
本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题
5．设,a b ∈R ，集合{}{}2
,0,a b a =，则b a -=_____________
答案：1-
解析：根据集合的互异性原则,可求得a 与b 的值,即可求得b a -的值.
详解：
因为集合{}{}2
,0,a b a = 所以0a =或0b =
当0a =时,集合20a =,因而元素重复,与集合的互异性原则相悖,所以舍去0a =
当0b =时,可得2a a =,解得0a =(舍)或1a =
综上可知, 1a =,0b =
所以011b a -=-=-
故答案为: 1-
点睛：
本题考查了集合的互异性原则及集合相等的应用,属于基础题.
三、解答题
1．写出集合2|,3n x x n ⎧⎫=
∈⎨⎬⎩⎭
N 中最小的3个元素.
答案：240,,33
解析：让n 取自然数集中最小3个数代入即可得．
详解：
0,1,2n =时，三个元素为24033，，． 点睛：
根据集合中元素的性质，取n 为自然数集中最小3个数代入可求得集合A 中最小的三个元素．
2．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i
、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．
（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；
（2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++； （3）当5n =时，若22a =，求集合A ．
答案：（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）
{0,2,4,6,8}A =.
解析：（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论.
（2）先由0n n
a a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.
（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.
详解：
解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =
①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P
②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P
③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P
④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P
⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P
⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P
综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；
在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,
①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P
②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P
③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P
④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P
⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P
⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P
综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .
故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .
（2）证明:令,1j n i =>
由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉ 则0n n a a A =-∈，即10a =
i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,
i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .
令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.
如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=
那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.
所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,
同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,
∴倒序相加即可得到1232
n n n a a a a a +++⋯+= 即()122n n na a a a a =+++⋯+
（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,
由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,
51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=
123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,
51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,
则515524a a a a a a -=-=,
533a a a -=,
从而可得245532a a a a a +==,
故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,
又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/ ,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-
又54221a a a a a -==-
544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,
即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,
{0,2,4,6,8}A ∴=
点睛：
（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;
（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;
（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.
3．分别用列举法和描述法表示方程x 2+x –2=0的所有实数解的集合．
答案：1，–2}，x|x=1或x=–2}
解析：根据列举法和描述法的定义分别进行表示即可． 详解：
由220x x +-= 得1x = 或2x =- ，所以用列举法表示解集为}{1,2- ，用描述法表示为}{{}22012.x x x x x x +-===-=-或
点睛：
本题主要考查集合表示的两种方法：列举法和描述法，比较基础，要注意两者之间的区别．。