【精编】高考复习课件高三数学二轮课件：6专题六-精心整理

(1)已知两角和任一边，求 (1)已知三边，求三个角
解决的
其他两边和一角
(2)已知两边和它们的夹
问题类型 (2)已知两边和其中一边 角，求第三边和其他两个
的对角，求其他的边和角
角
例 1－1(2014·师大附中模拟)设△A BC 的三个内角 A ，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，若 b＝2，B＝π3 ，C＝π4 ，则△A BC 的面积为(
状元桥·高考总复习 （第二轮）·文数
专题六解三角形与平面向量
专题六 解三角形与平面向量 (见学生用书 P36)
(见学生用书 P36) 1．三角形的有关公式： (1)在△ABC 中：sin(A＋B)＝sin_C，sinA＋2 B＝cos_C2； (2)正弦定理：sinaA ＝sinb B＝sinc C＝2R； (3)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，cos A＝b2＋2cb2c－a2； (4)面积公式：S＝12aha＝21absin C＝21r(a＋b＋c)(其中 r 为三角形内 切圆半径)． 2．平面向量的数量积 a·b＝|a||b|cos_θ ．(θ 为两个非零向量 a，b 的夹角) 特别地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝ a2.当 θ 为锐角时，a·b>0，且 a·b>0 是 θ 为锐角的必要非充分条件；当 θ 为钝角时，a·b<0，且 a·b<0 是 θ 为钝角的必要非充分条件．
【1－3】 (2015·东城模拟)在锐角△ABC 中，A B＝3，A C＝4，S△ABC ＝3 3，则 BC＝( )
A．5
B. 13或 37
C. 37
D. 13
解析：由 S△ABC＝12A B·A C·sin ∠BA C＝12×3×4×sin ∠BA C＝3 3，
得 sin
∠BA C＝
3 2.
因为△ABC 为锐角三角形，
∵π6 <B＋π6 <5π6 ，∴6<12sinB＋π6 ≤12，
即 b＋c∈(6，12]．
【1－5】 (2014·黄冈模拟)△A BC 的外接圆的直径为 1，三个内角 A、B、C 的对边为 a、b、c，m＝(a，cos B)，n＝(cos A，－b)，a≠b，已知 m⊥n.
(1)求 sin A＋sin B 的取值范围； (2)若 abx＝a＋b，试确定实数 x 的取值范围．
解析：∵A，B，C 成等差数列，∴A＋C＝2B，即 3B＝π，
∴B＝π3 .
∵3b＝2 3asin B，∴根据正弦定理得 3sin B＝2 3sin Asin B，
在△ABC 中，sin B≠0，∴3＝2 3sin A，即 sin A＝ 23，∴A＝π3 或2π3 .
当
A＝2π3 时，A
＋B＝π不满足条件．∴A
π ＝ 3 ，此时
π C＝ 3 .
故 A＝B＝C，即△ABC 的形状为等边三角形．
答案：C
点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据等差数列的性质求出
角 B 是解决本题的关键．
例 1－3(2014·上海模拟)若△A BC 的三个内角满足 sin A ∶sin B∶sin C ＝5∶11∶13，则△A BC( )
的角，向量 m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且 m·n＝
sin 2C.
(1)求角 C 的大小；
(2)若 sin A，sin C，sin B 成等差数列，且C→A ·(A→B－A→C)＝18，求边 c 的长．
考点：余弦定理；等差数列的性质；平面向量数量积的运算；正弦定理． 分析：(1)根据 n 和 m 表示出 m·n，求得 m·n＝sin C，进而根据已知可推断 出 sin C＝sin 2C，再用二倍角公式求得 cos C 的值，进而求得 C. (2)由 sin A ，sin C，sin B 成等差数列，可推断出 2sin C＝sin A ＋sin B，利 用正弦定理把角转化为边的问题，进而根据C→A ·(A→B－A→C)求得 abcos C＝18， 最后由余弦定理求得 C. 解析：(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)， 在△A BC 中，由于 sin(A＋B)＝sin C， ∴m·n＝sin C. 又∵m·n＝sin 2C， ∴sin 2C＝sin C，即 2sin Ccos C＝sin C， 又 sin C≠0，所以 cos C＝12，
)
A．1＋
3 3
B. 3＋1
C．1－
3 3
考点：正弦定理，三角形面积求法．
D. 3－1
分析：利用正弦定理列出关系式，将 b，sin B，sin C 的值代入求出 c 的值， 且根据 B 与 C 的度数求出 A 的度数，由 b，c，sin A 的值，利用三角形面积公 式即可求出△A BC 的面积．
解析：在△ABC 中，b＝2，B＝π3 ，C＝π4 ，由正弦定理sinb B＝sinc C,得：c
(5)若 a、b 的夹角为 θ，则 cos θ ＝|aa|··b|b|＝
x1x2＋y1y2 ． x21＋y21 x22＋y22
5．△A BC 中向量常用结论
(1)P→A ＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△A BC 的重心；
(2)P→A ·P→B＝P→B·P→C＝P→C·P→A ⇔P 为△A BC 的垂心；
π 又 a≠b，所以 A≠B，故 A＋B＝ 2 .
∴sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝

2sinA
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．
分析：先根据正弦定理及题设，推断 a∶b∶c＝5∶11∶13，再通过余 弦定理求得 cos C 的值小于零，推断 C 为钝角．
解析：根据正弦定理，sinaA＝sinb B＝sinc C， 又 sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13， ∴a∶b∶c＝5∶11∶13.设 a＝5t，b＝11t，c＝13t(t≠0)， ∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝25t2＋2×1251t×t2－111t69t2＝－12130<0，∴角 C 为钝角． 答案：C 点评：本题的关键是应用余弦定理来判断角的类型，注意与正弦定理
3．b 在 a 上的射影为|b|cos_θ ．
4．平面向量坐标运算
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a≠0，b≠0，则：
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝ x21＋y21，a2＝|a|2＝x21＋y21；
(3)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－y1x2＝0；
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.
变式训练
【1－4】 (2015·兰州诊断)在△A BC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，已知
a 3cos
A
＝sinc
C.
(1)求 A 的大小；
(2)若 a＝6，求 b＋c 的取值范围．
解析：(1)∵
a 3cos
A ＝sinc
C＝sinaA ，∴
3cos A＝sin A，∴tan A＝
变式训练
【1－1】 (2015·广东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c.若 a＝2，c＝2 3，cos A ＝ 23，且 b<c，则 b＝( )
A．3
B．2 2
C．2
D. 3
解析：根据余弦定理，cos A＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＝a2－c2＋2bc·cos A， 即 b2＝4－12＋6b，解得 b＝2 或 b＝4. ∵b<c，∴b＝2. 答案：C
＝bssiinnBC＝2×322＝23 6.∵A＝π－B－C＝51π2 ，∴sin A＝sin51π2 ＝sinπ6 ＋π4 ＝
2
12× 22＋ 23× 22＝
6＋ 4
2，∴S△ABC＝12bcsin A ＝12×2×23 6×
6＋ 4
2＝1＋
3 3.
答案：A
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面
C＝2R
S＝12absin C＝12bcsin A ＝21acsin B
a2＝b2＋c2－2bc·cos A ， b2＝a2＋c2－2ac·cos B， c2＝a2＋b2－2ab·cos C
cos A ＝b2＋2cb2c－a2， cos B＝a2＋2ca2c－b2，
cos C＝b2＋2ab2a－c2
π 而 0<C<π，因此 C＝ 3 .
(2)由 sin A，sin C，sin B 成等差数列， 得 2sin C＝sin A＋sin B， 由正弦定理得 2c＝a＋b. ∵C→A ·(A→B－A→C)＝18， ∴C→A ·C→B＝18，即 abcos C＝18， 由(1)知 cos C＝12，所以 ab＝36. 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， ∴c2＝4c2－3×36，整理得 c2＝36， ∴c＝6. 点评：本题主要考查了正、余弦定理和平面向量积的运算．考查 了学生综合分析问题和运算的能力，关键是对公式的熟练掌握，难度 中等． 规律总结 以解答题形式考查正弦定理、余弦定理及其综合应用一直是高考 命题的热点问题．这类问题往往涉及到三角形的面积问题，因此我们 必须熟练掌握三角形的面积公式．并且这类问题考查的重点是三角形 中的三角变换问题．
积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
例 1－2(2014·湖南模拟)△ABC 中，已知 3b＝2 3asin B，
角 A，B，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
考点：正弦定理的应用．
分析：根据条件求出 B＝π3 ，然后根据正弦定理即可得到结论．
的巧妙结合．
规律总结 正弦定理，余弦定理是解三角形的基础，是与其他知识的交汇点，因 而一直是高考命题的热点问题．考查时，既有小题，也有大题，以选择、 填空题形式考查正弦定理、余弦定理的常见类型有：一是解三角形及其应 用(如例 1－1)；二是判断三角形的形状(如例 1－2)；三是正弦定理、余弦 定理与其他知识的综合运用(如例 1－3)．
(3)向量 λ|AA→→BB|＋|AA→→CC|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；
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(4)|P→A |＝|P→B|＝|P→C|⇔P 为△A BC 的外心．
考点一 解三角形
(见学生用书 P37)
考点精析
正、余弦定理、推论及其应用
正弦定理
余弦定理
形式
拓展 或推论
a sin
A
＝sinb
B＝sinc
3，
π ∵0<A<π，∴A ＝ 3 .
(2)∵sinaA ＝sinb B＝sinc C＝ 6π＝4 3，∴b＝4 3sin B，c＝4 3sin C， sin 3
∴b＋c＝4 3sin B＋4 3sin C＝4 3[sin B＋sin(π－A －B)]
＝4

3sin

B＋sinπ3 ＋B
＝12sinB＋π6 .
解析：(1)∵m⊥n，
∴m·n＝0，∴acos A－bcos B＝0.
由正弦定理知，sinaA ＝sinb B＝1，
∴a＝sin A ，b＝sin B.
∴sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B.
∵A ，B∈(0，π)，
∴2A＝2B 或 2A＋2B＝π.
π ∴A ＝B，或 A＋B＝ 2 .
【1－2】 (2015·黄冈模拟)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
解析：由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，即 sin(B＋C)＝sin2A，而 B＋C＝ π－A，所以 sin(B＋C)＝sin A， 所以 sin2A＝sin A，又 0<A<π，∴sin A>0， ∴sin A＝1，即 A＝π2 ，故选 A. 答案：A
所以∠BA C∈0，π2 ，故∠BAC＝π3 .
在△A BC 中，由余弦定理得，
BC2＝AC2＋A B2－2A C·A B·cos ∠BAC
＝42＋32－2×4×3×cos
π 3 ＝13.
所以 BC＝ 13，故选 D. 答案：D
例 1－4(2014·广州模拟)已知 A、B、C 分别为△A BC 的三边 a、b、c 所对