弹塑性力学第四章

x3' x2'
x3x2
应变张量具有相同关系 。
2019/9/22
24
§4-2 线弹性体的本构关系
代入两组坐标系下的弹性方程 {}=[c]{} ,
比较得
C11 C12 C13 0

C22 C23 0
0 C16
0
C26

C




C33
0 C44
0 C45
C36 0
37
§4-3 各向同性材料弹性常数
两个第一不变量关系 kk
Θ E e
1 2 或 Θ3
E
12 E
kk e3Ke
3(12)
K3(1E2)332G——体积压缩模量。
2019/9/22
38
§4-3 各向同性材料弹性常数
E ——拉压实验测定， G ——扭转测定，
——压缩实验测定，
本构关系
Wijij
比较上面二式，得：
W

W
ij
ij
ij
W
ij

fij(kl)——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
2019/9/22
13
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
由 Wijij
积分得
W
W
i
0
jij
2019/9/22
36
§4-3 各向同性材料弹性常数
yz 2(1E)yz xy 2(1E)xy zx 2(1E)zx
采用指标
符号表示：
ijE 1(1)ijij k k
ij1 Eij12ijk
k
2019/9/22
外力做实功 A： A=U 物体的应变能U
U VWdV
W：应变能密度——单位体积的应变能。
2019/9/22
5
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
1.2 应变能密度W与材料的本构关系
当外载
f
fiei
，FFiei
F
缓慢施加过程中，考察外 x3 力施加过程中，瞬时外力
2019/9/22
33
§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
两个第一不变量关系
kk

kk 32G
e 1
3 2G
2019/9/22
34
§4-3 各向同性材料弹性常数
3.2 本构关系用弹性模量E和泊松系数 表示
令
E
(1)(12)
或
EG(32G) (G)
Wijij
——W为
的函数。
ij
2019/9/22
11
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最 终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，
所以W 为它的全微分
W

W
ij
ij
2019/9/22
12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的

对 称
C55
0
C66
2019/9/22
25
§4-2 线弹性体的本构关系
2.3 具有三个正交弹性对称面的材料——正交 各向异性材料
木材、增强纤维复合材料属此种材 料。取x1，x2 ， x3为弹性主轴。
[C]中独立系数减少为9个：
2019/9/22
26
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀
和小变形情况,以及当 ij=0 时 ij=0。 用指标符号表示：ij = Eijkl kl
Eijkl 共有81个元素（四阶张量常数）。
由于 ij = ji ，kl = lk
2019/9/22
16
§4-2 线弹性体的本构关系
2019/9/22
40
作业：
3. 已测得各向同性材料的表面某点电阻片 的三个应变分量：
0 0 2 1 7 6 ,0 0 4 0 5 3 1 6 6 ,0 5 9 0 0 1 1 0 6 ,0
2019/9/22
20
§4-2 线弹性体的本构关系
2.2 具有一个弹性对称面的材料
若物体内各点都有这样一 x3 个平面，对此平面对称方
向其弹性性质相同，则称
此平面为弹性对称面，垂
直弹性对称面的方向称为
弹性主轴。
x1
弹性主轴
x2
2019/9/22
21
§4-2 线弹性体的本构关系
如取弹性对称面为x1 —x2
G E
2(1 )
2( G)
2019/9/22
35
§4-3 各向同性材料弹性常数
3.2 本构关系用弹性模量E和泊松系数 表示 则本构关系变为材料力学中最初见到的
广义虎克定理的形式：
xE1(xyz) yE1(yzx)
z E 1(z xy)
10 0 01 0 0 0 -1
i' j' Qi'kQj'l kl
i' j' Qi'kQj'l k l
2019/9/22
23
§4-2 线弹性体的本构关系
x1' x1 x2' x2
x1' x2'
x1x2
x3'
x3
x3' x1'
x3x1
面， x3为弹性主轴或
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
弹性关系保持不变，则[C] x1
x3’
中元素减少为13个独立系
数。
2019/9/22
22
§4-2 线弹性体的本构关系
代入 得
Qi’j
x1 x2 x3
x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12 C16
C C21
C22

C26


C61
C62

C66
2019/9/22
18
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
根据
ij

W
ij
，得
ij 2W kl kl ijkl ij
2019/9/22
3
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
1.1 应变能U 和应变能密度 W（比能）
如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物 体无动能，物体发生变形，产生变性能，也 无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转 化成应变能贮存在弹性体中。
2019/9/22
4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
ij
——应变能密度定义式。
2019/9/22
14
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
ij
应变能密度定义式
ij
dW W
W
W
i
0
jij
ij
一些书上写为
ij dij
ij
W
dW
i
0
jijdi
j
2019/9/22
15
§4-2 线弹性体的本构关系
f
功增量变化。
o
x1
x2
2019/9/22
6
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
在某一时刻t： f fiei
FFiei
产生 uuiei
ijeiej
ijeiej
应变能密度W 的表达式？
2019/9/22
7
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
第四章 应力应变关系（本构方程）
§4-1 应变能、应变能密度与弹性 材料的本构关系 §4-2 线弹性体的本构关系
§4-3 各向同性材料弹性常数
2019/9/22
1
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
各个方向弹性性质一样，[C]中仅有2个独立 系数：
C11 C12 C12

C11 C12
C
C11

对 称


0 0 0 (C11 C12)
0 0 0 0 (C11 C12)
0
0

0
0

0
(C11 C12)
2019/9/22
30
§4-2 线弹性体的本构关系
2.5 各向同性材料
令 C 1 2 ,C 1 1 C 1 2 2 G ,则 C 1 1 2 G
2G
0 0 0

2G
0
0
0


2G 0 0 0

2G 0
0

对
称
2G 0



2G
2019/9/22
31
§4-3 各向同性材料弹性常数
2.3 具有三个正交弹性对称面的材料——正交各 向异性材料
C11 C12 C13 0 0 0

C22 C23 0
0
0

C



C33 0 0 C44 0
0
0

对 称
C55
0
C66
特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪
应力。
2019/9/22
27
§4-2 线弹性体的本构关系
则 [C] 为对称矩阵 [C]= [C]T。
2019/9/22
19
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 的独立系数为21个——材料为各向
异性线弹性材料。
*对各向异性材料的本构关系可见，剪应 变引起正应力，正应变也产生剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性， 利用对称可进一步简化 [C] 中系数。
K ——静水压力实验测定
2019/9/22
39
作业： 1 . 证明，对各向同性弹性体，若主
应力123，则相应的主应变 123。
2．将一小物体放在高压容器内，在静水压力 为q=0.5N/mm2作用下，测得体积应变
为-0.410-4,若泊松系数=0.3，试求该物
体的弹性模量E。
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’


x2
各向同性面
x1’
2019/9/22
28
§4-2 线弹性体的本构关系
V
S
Vfiuid V sF iuid SU V Wd
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。
2019/9/22
9
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A V fiu id V s F iu id S U VW d V
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2 G ijijk k2 G ijiⅠ j
其中 Ⅰ kke
——应变第一不变量（体积应变）
2019/9/22
32
§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
或
ij 2 1 G ij 2 G ijk k2 1 G ij 3 2 G ijk k Ⅰ＝kk Θ ——应力第一不变量；
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
T 11 22 33 23 31 12
T 11 22 33 23 31 12
2019/9/22
17
§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
C11 C12 C13 0 0

C11 C13 0 0
0
0

C


பைடு நூலகம்
C33 0 0 C44 0
0
0

对 称
C4 4
0
(C11 C12)
2019/9/22
29
§4-2 线弹性体的本构关系
2.5 各向同性材料
SF i uidSS(ij ui)njdS V(jiui),j dV
代入外力功增量
2019/9/22
10
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A V(fi ji,j)uidV Vjiui,jdV
Vijijd VVW d VU
ji,j+ fi = 0 ij =( ui,j+ uj,i)/2
2019/9/22
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
时刻达到 t +t：位移有增量 uuiei
应变增量 ijeiej 外力功增量：A Vfu d V S F u d S
2019/9/22
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
A 本构f关u 系d VF u d ：函S 数增量