高中数学人教A版必修5课件 3-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 第17课时《二元一次不等式(组)与平

3．二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域 的公共部分．
【练习 2】 画出下列二元一次不等式表示的平面区域． (1)3x＋2y＋6>0；(2)y≥3x.
解析：(1)①画出直线 3x＋2y＋6＝0，因为这条直线上的点不满足 3x＋2y＋6>0，所以画成虚线．
(2)画图时直线的虚实不分．坐标系中的直线为两个区域的边界， 带有等号的不等式的解集包括直线上的点(即直线上的点的坐标适合 不等式)，因此画成实线，否则画成虚线．
x>0， 【典例】 画出不等式组y>0，
表示的平面区域．
x＋y－3<0
【错解】 不等式 x>0 表示直线 x＝0(即 y 轴)右侧的点的集合； 不等式 y>0 表示直线 y＝0(即 x 轴)上方的点的集合；不等式 x＋y－3<0 表示直线 x＋y－3＝0 右上方的点的集合．故原不等式组表示的平面区 域如图 1 所示的阴影部分．
2 新视点·名师博客 1.二元一次不等式(组)的解集的几何解释 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．于是，二元一次不
等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合． 2．判定二元一次不等式表示的平面区域常用方法是以线定界，以
点(原点)定域． 3．判断一个二元一次不等式表示对应直线的哪一侧通常有两种方
图1
图2
(2)由 x≤2x，得 x≥0；当 y>0 时，有2x－x－y≤y≥00，， 点(x，y)在一条
形区域内(含边界)；当 y≤0，由对称性得出．如图 2(阴影部分).
考点三 二元一次不等式组表示的平面区域的面积 例 3 不等式|x|＋|y|≤2 所表示的平面区域的面积为________． 分析：先通过不等式准确确定所求区域的形状，然后通过相应的 距离、面积公式可求该区域的面积．
目标导航 1．了解二元一次不等式(组)这一数学模型产生的实际背景． 2．理解二元一次不等式的几何意义．(重点) 3．能正确画出给定的二元一次不等式表示的点的集合．(难点)
1 新知识·预习探究 知识点一 二元一次不等式(组)的概念 (1)含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做二元一 次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等 式组． (2)满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x，y)， 称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的 集合称为二元一次不等式(组)的解集．
法：(1)特殊点法；(2)观察法． 4．用二元一次不等式组表示实际问题时，注意实际问题中的所有
的限制条件不能遗漏任何一个，所有量均有实际意义．
微课：如何确定二元一次不等式组表示的平面区域
3 新课堂·互动探究 考点一 二元一次不等式表示的平面区域 例 1 判断原点是否在 2x－3y＋5≤0 所表示的平面区域内，并画出 其表示的平面区域．
5x＋4y≤20.
如图．
点评：解答应用题要认真审题，并利用表格等工具梳理好题目的 等量关系和不等关系．特别注意实际问题中对变量取值范围的限制比 较隐蔽，要细心思考．
变式探究 4 某厂使用两种零件 A、B 装配甲、乙两种产品，该 厂的生产能力是每月生产甲产品最多 2500 件，每月生产乙产品最多 1200 件，而且装一件甲产品需要 4 个 A,6 个 B，装一件乙产品需要 6 个 A,8 个 B.2014 年 1 月，该厂能用的 A 最多有 14000 个，B 最多有 12000 个，用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来，并画出相 应的平面区域．
解：设每月生产甲产品 x 件，每月生产乙产品 y 件，
0≤x≤2500， 0≤y≤1200， 则 x、y 满足4x＋6y≤14000， 6x＋8y≤12000，
0≤x≤2500， 0≤y≤1200， 即2x＋3y≤7000， 3x＋4y≤6000.
在平面直角坐标系中，画出上述不等式组表示的平面区域，如下
解析：将原点(0,0)代入 2x－3y＋5，得 5>0，不满足已知不等式， 因此原点不在 2x－3y＋5<0 所表示的平面区域内．
先作直线 2x－3y＋5＝0，因不等式中带等号，故应画成实线，由 前述其表示的平面区域应为直线 2x－3y＋5＝0 的不含原点的上方一 侧(含直线本身)，如下图．
点评：应注意不等式所表示的区域是否包含边界，若不包括边界， 边界应画成虚线(如果是坐标轴，应通过文字加以说明)．
同理得 B(－1,1)，C(3，－1)．
∴|AC|＝ 22＋42＝2 5，
而点 B 到直线 2x＋y－5＝0 的距离为
d＝|－2＋51－5|＝
6， 5
∴S△ABC＝12|AC|·d＝12×2 5× 65＝6.
5 辨错解·走出误区 易错点：容易把平面区域找反
(1)利用平面区域表示不等式的解集时，容易把平面区域找反．因 此在画二元一次不等式(组)表示的区域时，应严格按照画平面区域的 方法、步骤进行，即利用“直线定界，特殊点定域”的原则解题；
不等式 Ax＋By＋C≥0 表示的平面区域包括边界，把边界画成实 线．
2．二元一次不等式表示平面区域的确定 (1)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点，把它的坐标(x，y) 代入 Ax＋By＋C 所得的符号都相同． (2)在直线 Ax＋By＋C＝0 的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 Ax0＋ By0＋C 的符号可以断定 Ax＋By＋C>0 表示的是直线 Ax＋By＋C＝0 哪 一侧的平面区域．
所以，不等式组
x－y＋5≥0 x＋y≥0 表示的平面区域如图所示． x≤3
结合图中可行域得 x∈－52，3，y∈[－3,8]．
点评：判定二元一次不等式(组)表示的平面区域的常用方法是以 线定界，以点(原点)定域(以 Ax＋By＋C>0 为例)．
(1)“以线定界”，即画二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 表示的直线 定边界，其中要注意实线或虚线．
考点二 二元一次不等式组表示的平面区域
x－y＋5≥0， 例 2 画出不等式组x＋y≥0， 表示的平面区域，并指出 x，y 的
x≤3
取值范围． 分析： 画直线定界 → 特殊点定域 →
求边界交点坐标 → 求x，y的范围
解析：不等式 x－y＋5≥0 表示直线 x－y＋5＝0 上及右下方的点 的集合；x＋y≥0 表示直线 x＋y＝0 上及右上方的点的集合；x≤3 表 示直线 x＝3 上及左方的点的集合．
(2)“以点定域”，由于在直线 Ax＋By＋C＝0 同侧的点，实数 Ax ＋By＋C 的值的符号都相同，故为了确定 Ax＋By＋C 的符号，可采用 取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等．
变式探究 2 画出下列不等式表示的平面区域． (1)(x－y)(x－y－1)≤0； (2)x≤|y|≤2x.
解析：(1)xx－－yy≥－01，≤0 ⇒0≤x－y≤1，或xx－－yy≤≥01，， 矛盾无解， 故点(x，y)在一带形区域内(含边界)，如图 1(阴影部分)．
3x＋y≤4
3
24
3
A.2
B.3 C.3 D.4
解析：平面区域如图．
解x3＋x＋3yy＝＝44 得 A(1,1)， 易得 B(0,4)，C0，43，|BC|＝4－43＝83. ∴S△ABC＝12×83×1＝43. 答案：C
x＋y－2≤0， 4．在平面直角坐标系中，不等式组x－y＋2≥0，
(1)
(2)
②取原点(0,0)，代入 3x＋2y＋6.
因为 3×0＋2×0＋6＝6>0，
所以原点在不等式 3x＋2y＋6>0 表示的平面区域内，
所以不等式 3x＋2y＋6>0 表示的平面区域如图(1)．
(2)画出直线 y＝3x，取点(1,0)，代入 y－3x，因为 0－3×1＝－3<0， 所以(1,0)不在不等式 y≥3x 表示的平面区域内，所以 y≥3x 表示的平 面区域如图(2)(包括边界).
图的阴影部分所示．
4 新思维·随堂自测
1．下面给出的四个点中，位于xx－＋yy＋－11><00， 表示的平面区域内
的点是( ) A．(0,2)
B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(2,0)
解析：点(0，－2)的坐标满足不等式组xx－＋yy＋－11><00，， 故选 C 项． 答案：C
2．下列二元一次不等式组中，能表示图中阴影部分的是( )
y≥－1， A.2x－y＋2≥0
y≥－1， B.2x－y＋2≤0
C.yx≥≤－0，1， 2x－y＋2≥0
Hale Waihona Puke D.xy≤≥0－，1， 2x－y＋2≤0
答案：C
x≥0 3．不等式组x＋3y≥4， 所表示的平面区域的面积等于( )
【练习 1】 下面四个解中，满足xx＋－yy－＋11<>00 不等式组的解是 ()
A．(0,2) B．(－2,0) C．(0，－2) D．(2,0)
解析：验证可得，(0，－2)是不等式组的解． 答案：C
知识点二 二无一次不等式表示平面区域
1.二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线，以表 示区域不包括边界．
解析：将已知数据列成下表：
原料 成本(元) 运费(元) 甲 1 000 500
乙 1 500 400 设工厂每日需用甲原料 x 吨，乙原料 y 吨，根据题意，则：
x≥0，y≥0，
x≥0，y≥0，
1 000x＋1 500y≤6 000， 即2x＋3y≤12， 画出平面区域，
500x＋400y≤2 000，
y≥0
区域的面积是________．
表示的平面
解析：画出可行域，如图阴影部分所示，
则该三角形的面积是12×4×2＝4. 答案：4
5．画出不等式组x2＋x＋2yy－－15≥≤00，， y≤x＋2
积．
所表示的平面区域并求其面
解：如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．
由2x－x＋y＋y－25＝＝00，， 得 A(1,3)．
点评：求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然 后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求 解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个 规则图形然后求解．
x＋y－3≥0 变式探究 3 满足不等式组x－y＋1≤0 的点(x，y)构成的区域
2≤y≤3
变式探究 1 画出下面二元一次不等式表示的平面区域： (1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x. 解：(1)画出直线 x－2y＋4＝0(画成实线)，
∵0－2×0＋4＝4≥0， ∴x－2y＋4≥0 表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图 阴影所示的区域，包括边界．
(2)画出直线 y－2x＝0(画成虚线)． ∵0－2×1＝－2<0， ∴y－2x>0(即 y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如 图阴影所示的区域，不包括边界.
的面积为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边 界)．易知 A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(1,2)，从而可知图中阴影 部分的面积为12×2×1＝1.
答案：1
考点四 二元一次不等式组表示平面区域的实际应用 例 4 某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原 料，每吨成本 1 000 元，运费 500 元；若采用乙种原料，每吨成本 1 500 元，运费 400 元．若每日预算总成本不得超过 6 000 元，运费不得超 过 2 000 元，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系 中画出相应的平面区域． 分析：先根据限制条件列出不等式组，再根据不等式组画出平面 区域．
解析：不等式|x|＋|y|≤2 等价于不等式组：
x＋y－2≤0x≥0，y≥0， x－y－2≤0x≥0，y<0， x－y＋2≥0x<0，y≥0， x＋y＋2≥0x<0，y<0.
画在直角坐标系中，如图，易得图形为 正方形 ABCD，|AB|＝2 2， 所以 S＝(2 2)2＝8. 答案：8