矩阵的初等变换与初等矩阵

§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵
1．矩阵的初等变换
定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；
（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。

矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。

如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。

矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；
（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；
（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。

利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。

可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。

对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。

以§A 为例，矩阵A 的行最简形为
11610
03921010391000130
0000⎛⎫
⎪
⎪
⎪-
⎪ ⎪
- ⎪
⎪
⎝⎭，
再经初等列变换
344151425253116211
,,,,,39393
c c c c c c c c c c c c ↔---++
化为
1
000001000001000000
0⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
F 。

称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。

定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：
()()()()r
r n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
I O F O O ，
其中下方及右边的零行，零列可能空缺。

由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。

由此可得以下结论：
可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。

2．初等矩阵
定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。

相应于矩阵的三种初等变换，初等矩阵(elementary matrix)有三种： （1）(,)i j E ：由单位矩阵交换第,i j 行(列)而得的方阵； （2）(())i k E ：由单位矩阵的第i 行(列)乘非零数k 而得的方阵； （3）(,())j i k E ：由单位矩阵的第i 行乘数k 加于第j 行而得的方阵，也 即由单位矩阵的第j 列乘数k 加于第i 列而得的方阵。

在矩阵的初等变换与初等矩阵之间，存在着一种本质而美妙的关系。

定理2.2 设()ij m n a ⨯=A 。

（1）对矩阵A 施以某种初等行变换得到的矩阵，等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A 。

（2）对矩阵A 施以某种初等列变换得到的矩阵，等于用同种的n 阶初等矩阵右乘A 。

证明 以第三种初等列变换为例证之。

将矩阵A 和单位矩阵I 按列分块，
1(,,)n =A a a ， 1(,,)n =I e e 。

经列变换t s c kc +，矩阵A 和单位矩阵I 分别变换为
1(,
,,
,)t s n k =+B a a a a ，
1(,())(,
,,
,)t s n s t k k =+E e e e e 。

由§1.4节例4.2知(1,
,)j j j n ==Ae a ，于是
1(,())(,,,,)t s n s t k k =+AE A e e e e 。

1(,
,,
,)a a a a B =+=t s n k 。

其余情形请读者证明。

由定理2.2可知，初等矩阵可逆，其逆矩阵也为初等矩阵，具体如下：
1[(,)](,)i j i j -=E E ，
11
[(())](())i k i k
-=E E ，
1[(,())](,())j i k j i k -=-E E 。

定理 2.3 n 阶方阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是A 可以表成若干
初等矩阵的乘积。

证明 若A 可表成若干初等矩阵的乘积，由初等矩阵可逆，即知A 可逆。

若A 可逆，则A 的行最简形为单位矩阵I ，由定理2.2知，存在初等矩阵1,
,k P P ，使1k =P P A I ，于是111k --=A P P 。

定理 2.4 m n ⨯矩阵A 与B 等价的充分必要条件是存在m 阶可逆方阵P 及n 阶可逆方阵Q ，使=B PAQ 。

更具体地有
（1）m n ⨯矩阵A 与B 行等价的充分必要条件是存在m 阶可逆方阵P ，使=B PA 。

（2）m n ⨯矩阵A 与B 列等价的充分必要条件是存在n 阶可逆方阵Q ，使=B AQ 。

3．矩阵方程的初等变换解法
对一般形式的矩阵方程，可以通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后解之。

因此，这里主要介绍标准矩阵方程=AX B ，=XA B 的初等变换解法。

设A 为可逆矩阵，则矩阵方程=AX B 的解为1
-=X A B 。

注意
11(,)(,)--=A A B I A B ， 由定理2.4知，(,)A B 经若干次初等行变换可以化为1
(,)-I A B 。

对矩阵方程=XA B 可作类似的分析。

因此，我们有
（1）矩阵方程=AX B 的初等行变换解法：
1()()r
-−−→A B I A B ，1-=X A B 。

特别地，取=B I ，则有逆矩阵的初等变换求法：
1()()r
-−−→A I I A 。

（2）矩阵方程=XA B 的初等列变换解法：
1c -⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭I A B BA ，1
-=X BA 。

例2.1 已知123134212⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭
A ，求1
-A 。

解 1
23100()1
34010212001⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭A I 1
231000
11110034201r
⎛⎫
⎪−−→-
⎪
---⎝⎭
10132001
111000
1531r -⎛⎫ ⎪−−→-
⎪--⎝⎭1
002110
10641001531r
-⎛⎫ ⎪−−→-
⎪
--⎝⎭
，
因此
1211641531--⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭
A 。

例2.2 设
213122132-⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭A ，1122b ⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭，2105b -⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭
，
求线性方程组1=Ax b 和2=Ax b 的解。

解 设11=Ax b ，22=Ax b 。

记12(,)=X x x ，12(,)=B b b ，则两个线性方程组可合成一个矩阵方程=AX B 。

21311()1222013225--⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭A B 212131,
2↔-−−→+r r r r r r 122200313105005-⎛⎫
⎪--- ⎪
⎝⎭
1322
532,3↔−−−−→+r r r r r 122200100100132-⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭121322-−−→+r r r r 100420100100132-⎛⎫ ⎪ ⎪
-⎝⎭。

线性方程组1=Ax b 和2=Ax b 的解依次为
1403x -⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭ 和 2212x ⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭。

例2.3 设211210111A -⎛⎫
⎪= ⎪-⎝⎭
，113432B -⎛⎫
= ⎪⎝⎭，求解=XA B 。

解 A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭211301210210111001113223432252c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3010100
01623852c
-⎛⎫ ⎪ ⎪−−→ ⎪ ⎪- ⎪-⎝
⎭
1000100012218253
3c ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
−−
→ ⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭， 因此
1
2218253
3--⎛⎫
⎪==-
- ⎪⎝⎭X BA 。

4．矩阵的分块初等变换
定义2.3 分块矩阵的下列三种变换称为分块矩阵的初等行变换：
（1）对换分块矩阵的两行；
（2）以一个可逆矩阵C 左乘分块矩阵的某一行(C 的阶数与该行子矩阵的行数相等)； （3）把分块矩阵的第i 行左乘矩阵C 加到第j 行(C 的列数与第i 行子矩阵的行数相等，C 的行数与第j 行子矩阵的行数相等)。

把定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等列变换的定义。

分块矩阵的初等行变换与初等列变换统称为分块矩阵的初等变换，或称为矩阵的分块初等变换。

对矩阵施行一次分块初等变换，就是对矩阵施行若干次初等变换： （1）对矩阵施行一次第一种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次第一种初等变换。

（2）对矩阵施行一次第二种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次初等变换。

对分块初等列变换加以说明。

设矩阵A 分块为
),,,,(1n i A A A A =， 其中子矩阵i A 的列数为i n 。

以i n 阶可逆矩阵C 右乘分块矩阵A 的第i 列得分块矩阵
),,,,(1n i A C A A B =，
由定理2.4知，分块矩阵B 是分块矩阵A 对子矩阵i A 施行若干次初等列变换而得的。

（3）对矩阵施行一次第三种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次第三种初等变换。

对分块初等列变换加以说明。

设矩阵A 分块为
),,,,,,(1n q p A A A A A =，
其中子矩阵k A 为k n m ⨯矩阵。

设q p n n ⨯矩阵C )(ij c =，以j c 1乘子矩阵p A 的第1列，j c 2乘子矩阵p A 的第2列，…，j n P c 乘子矩阵p A 的第p n 列，都加到子矩阵q A 的第j 列上(q n j ,,2,1 =)，结果分块矩阵A 变换为分块矩阵
),,,,,,(1n p q p A C A A A A B +=。

例2.4 设A 为m 阶可逆矩阵，D 为n 阶可逆矩阵，求矩阵
⎛⎫
⎪⎝⎭
A B T =O D 的逆矩阵。

解 对分块矩阵
()=T I m n ⎛⎫
⎪⎝⎭
I O A B
O
I O D
施行初等行变换。

将该分块矩阵的第一行左乘矩阵1
A -，第二行左乘矩阵
1-D ，得矩阵
111m
n ---⎛⎫
⎪⎝⎭
A O I A
B O I O
D ， 再将该分块矩阵的第二行左乘矩阵(1--A B )加到第一行，得矩阵
1111m n
----⎛⎫- ⎪⎝
⎭
I O A A BD O I O D ，
因此
1111
1
-----⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
A A BD T O D 。

例2.5 设A 为n 阶可逆矩阵，D 为m 阶方阵，化矩阵
⎛⎫= ⎪⎝⎭
A B G C D 为分块对角矩阵。

解 将分块矩阵G 的第一行左乘矩阵(1
--CA )加到第二行，第一列右乘矩阵(1
--A B )加到第二列，得分块对角矩阵
1-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
A O H O D CA
B 。

由定理2.4可知，以上分块初等变换相当于以下一个矩阵等式
1n m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭I O CA I ⎛⎫ ⎪⎝⎭A B C D 1n
m -⎛⎫- ⎪⎝⎭I A B O I 1-⎛⎫= ⎪-⎝
⎭A
O O D CA B 。

(2.1)
事实上，由定理2.4知，存在可逆矩阵,P Q ，使
=PGQ H 。

由(,)(,)=P G I PG P ，知
(,)(,)r
−−→G I PG P 。

在例2.5所用的分块初等行变换下，单位矩阵I 变换为
1n
m -⎛⎫ ⎪-⎝
⎭I O CA I 。

因此
1
n m -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
I
O P CA
I 。

类似地考虑列的情形，可知
1n
m -⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
I
A B Q O I 。

在=PGQ H 中，将各矩阵的分块形式代入，即得(2.1)式。

(2.1)式可直接计算验证(见习题1.4题3)。

(2.1)式两边取行列式，即得
定理2.5 设A 为可逆矩阵，D 为方阵，则有舒尔(Schur)公式
1||||-=⋅-A B
A D CA
B
C D。

注 若D 为可逆矩阵，A 为方阵，则Schur 公式为
1|||-=⋅-A B
D A BD C |C D。

习 题 2.2
1．用矩阵的初等行变换，求下列矩阵的逆阵：
（1）1234231211111026⎛⎫ ⎪
⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭；
（2）1000110011101111⎛⎫ ⎪
-
⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭
；
（3）3201022112320121--⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭。

2．用矩阵的初等行变换，求下列方程的解：
（1）1211411
11132101325⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭X ；
（2）221141
11131
0132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
X 。

3．设
021213334⎛⎫
⎪=- ⎪--⎝⎭
A ，123231⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
B ， 求解=XA B 。

4．设
010100001⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭A ，100210001⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭B ，143201120-⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭
C ，
求解=AXB C 。

5．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，求
⎛⎫= ⎪⎝⎭
O A T B O 的逆矩阵。

6．设A 为m 阶可逆矩阵，D 为n 阶可逆矩阵，求
⎛⎫= ⎪⎝⎭
A O T C D 的逆矩阵。

7．设,,,A B C D 为n 阶矩阵，且A 可逆，=AC CA ，证明
||=-A B
AD CB C D。

8．设,A B 分别为n m ⨯和m n ⨯矩阵，证明
||||n m -=-I AB I BA 。

9．设,A B 为n 阶矩阵，λ为数，证明
||||λλ-=-I AB I BA 。