高中数学 必修四 课件：第三章 三角恒等变换

或asinα＋bcosα＝
a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝ab.
第三章 章末归纳总结
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[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角 各个名称．
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
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[分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝ cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
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[解析] ∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π. 又cos(α＋β)＝－1114 ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143. 又tanα＝4 3 ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489. ∴sinα＝473，从而cosα＝ 1－sin2α＝17，
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专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
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若cos(
π 4
＋x)＝
3 5
，
17 12
π<x<
7 4
π，求
sin2x＋2sin2x 1－tanx
的
值．
[分析]
注意x＝(
π 4
＋x)－
π 4
，及2x＝2(
π 4
＋x)－
π 2
的两变
换，就有以下的解法．
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[解析] ∵1172π<x<74π，∴53π<x＋4π<2π. 又∵cos(π4＋x)＝35，∴sin(π4＋x)＝－45， ∴cosx＝cos[(π4＋x)－π4] ＝cos(π4＋x)cos4π＋sin(π4＋x)sin4π ＝－ 102， ∴sinx＝－7102，tanx＝7，
＝cos2θ－1sinθcosθ＋cos2θ＋s1inθ·cosθ
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＝cosθcocsoθs＋2θ－sinsθin2θ＋cosθcocsoθs－2θ－sinsθin2θ ＝cos2θc·ocsoθs2θ＝co2s2θ.
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第三章
三角恒等变换
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三 角 恒 等 变 换
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专题突破
清楚角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也
要学会逆向运用；对于倍、半角公式，可从α与
α 2
之间的关系
出发思考，通过这种关系的思考而建立函数式之间的联
系．对于和积互化公式，应抓住公式特点进行变形，辅助角
公式则是应用较为广泛的公式，讨论三角函数的最值、周
期、单调性等性质时，常使用此公式变换．
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2．三角函数式化简的基本技巧．
(1)sinα，cosα→凑倍角公式．
(2)1±cosα→升幂公式．
(3)1±sinα化为1±cos(2π±α)，再升幂或化为(sinα2±cosα2)2.
(4)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝
a2＋b2
·sin(α＋φ)，其中tanφ＝
b a
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论；(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是 变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调性求得角．
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已知tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐 角，求cosβ的值．
[解析] (1)f(x)＝6·1＋c2os2x－ 3sin2x ＝3cos2x－ 3sin2x＋3 ＝2 3( 23cos2x－12sin2x)＋3 ＝2 3cos(2x＋6π)＋3， 故f(x)的最大值为2 3＋3； 最小正周期T＝22π＝π.
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(2)由f(α)＝3－2 3，得2 3cos(2α＋π6)＋3＝3－2 3， 故cos(2α＋6π)＝－1. 又由0<α<2π，得π6<2α＋6π<π＋π6， 故2α＋6π＝π，解得α＝152π. 从而tan45α＝tanπ3＝ 3.
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求证：tan2x＋tan12x＝213－＋ccooss44xx. [分析] 本题目中角有x、4x，函数名称有切、有弦．证 明可从左到右，或从右到左，统一角，统一函数名称．
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[证明] 左边＝csoins22xx＋csoins22xx＝sisnin4x2＋xcocos2sx4x ＝sin2x＋cos142sxin22－2x2sin2xcos2x ＝1－14s12insi2n22x2x＝181－1－12scions242xx ＝81－－4csoins422xx＝41＋－4ccooss422xx
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设f(x)＝6cos2x－ 3sin2x. (1)求f(x)的最大值及最小正周期； (2)若锐角α满足f(α)＝3－2 3，求tan45α的值． [分析] 将f(x)化成一角一函数的形式，再用y＝Asin(ωx ＋φ)的性质作出解答．
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故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
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专题三 三角恒等式的证明 1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这 是三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简， 如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过 渡．
专题二 三角函数的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给 角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化 为求特殊角的三角函数问题；(2)给值求值：给出某些角的三 角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在 于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把 所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨
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＝4＋12－1＋cosc4oxs4x ＝213－＋ccooss44xx＝右边． 原式得证．
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专题四 三角恒等变换
三角恒等变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关
系是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄
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(2)条件恒等式的证明． 这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细 探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是 代入法和消元法．
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2．证明三角恒等式常用的方法． (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等； 在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着 目标“奔”． (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.
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[解析] 原式＝cos2θ－31s＋in23θt＋an2θsinθcosθ＋
3＋5tanθ 3cos2θ＋5sin2θ＋8sinθcosθ
cosθ＋3sinθ
3cosθ＋5sinθ
＝cosθ＋3sincθosθcosθ－sinθ＋3cosθ＋5sicnoθsθcosθ＋sinθ
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专题五 数学思想(转化与化归思想) 本章的主要内容是三角恒等变换，因此等价转化思想在 本章得以充分体现．在进行三角函数的化简、求值、证明 时，常常需要进行转化、包括式子的结构形式的转化、式子 中角的转化以及不同三角函数之间的转化．
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∴原式＝2sinx1co－sxta＋nx2sin2x ＝2－7102·－11－027＋2－71022 ＝－2785.
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