互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导
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同频率互相垂直简谐振动的合成
Байду номын сангаас
kr
2
,
质点运动过程中机械
能守恒, 有
E= Ek+ Ep=
1 2
mv
2
+
1 2
k
r2
=
常数
( 3)
(下转第 31 页)
31
物理与工程 V ol. 15 No. 6 2005
U( z ) = m gz ,
弹性势能 U( x ) =
1 2
kx 2,
万有引力
势能 U(r)=
-
G
Mm r
,
真空中两静电荷之间的静
物理与工程 Vo l. 15 No. 6 2005
教学研究
同频率互相垂直简谐振动的合成
康文秀 ( 华北电力大学应用物理系, 河北 保定 071003)
( 收稿日期: 2005-01- 04; 修回日期: 2005-03-16)
摘 要 讨论了质点参与两个同频率互相垂直简谐振动时的角动量、速率、能量以及同频率互 相垂直简谐振动的合成推广到三维的情况.
U( ra) | =
XB 2
|
r
2 b
-
r
2 a
|
,
从而只需考虑导
线两端点的位置, 而不必考虑导线的具体形状, 使 计算该情况下的动生电动势大为简化.
参考文献
[ 1] 马根源, 王松立, 金庆华. 物理学( 下册) . 天津: 南开大学出版 社, 1993. 255~ 262
[ 2] 陈仲. 大学数学 ( 下册) . 南京: 南京大学出版社, 1999. 44~ 47
然在原点处速率 v 2 =
A
2 1
X2
+
kr
2
,
质点运动过程中机械
能守恒, 有
E= Ek+ Ep=
1 2
mv
2
+
1 2
k
r2
=
常数
( 3)
(下转第 31 页)
31
物理与工程 V ol. 15 No. 6 2005
U( z ) = m gz ,
弹性势能 U( x ) =
1 2
kx 2,
万有引力
势能 U(r)=
-
G
Mm r
,
真空中两静电荷之间的静
物理与工程 Vo l. 15 No. 6 2005
教学研究
同频率互相垂直简谐振动的合成
康文秀 ( 华北电力大学应用物理系, 河北 保定 071003)
( 收稿日期: 2005-01- 04; 修回日期: 2005-03-16)
摘 要 讨论了质点参与两个同频率互相垂直简谐振动时的角动量、速率、能量以及同频率互 相垂直简谐振动的合成推广到三维的情况.
U( ra) | =
XB 2
|
r
2 b
-
r
2 a
|
,
从而只需考虑导
线两端点的位置, 而不必考虑导线的具体形状, 使 计算该情况下的动生电动势大为简化.
参考文献
[ 1] 马根源, 王松立, 金庆华. 物理学( 下册) . 天津: 南开大学出版 社, 1993. 255~ 262
[ 2] 陈仲. 大学数学 ( 下册) . 南京: 南京大学出版社, 1999. 44~ 47
然在原点处速率 v 2 =
A
2 1
X2
+
互相垂直简谐振动的合成
sin2 (2
1
)
(3) 2
1
y
π 2
A2
x2
2
y
1
正椭圆方程
A12
A22
y 超前 /2
0 A1 x 轨迹顺时针——右旋
(4)
2
1
y
π 2
A2
0
A1 x
x2 A2
1
2
y
A
2 2
1
正椭圆方程
y 落后 /2 轨迹顺时针——左旋
(5) 2 1 为其它值时
质点的运动轨迹是斜椭圆，其具体形状(长、短轴的方向和大 小)和运动方向由分振动的振幅的大小和相差决定。质点运动 轨迹随的变化情况如下图：
y
A2
0
x2
2
y
2 xy
0
A2 1
A2 2
A1 A2
A1 x
x y 0 直线方程 A1 A2
( 2) 2 1 π y A2
x2
2
y
2 xy
A2 1
A2 2
A1 A2
0
0
A1 x
x y 0 直线方程 A1 A2
3. 讨论
x 2 y 2 A12 A22
2
xy A1 A2
cos( 2
1 )
d
A1 cos2
代入d d(tg ) cos2 式中，可得：
d d
d A2 cos2 sin
d
A1 cos2
d d
的正负由
sin 决定
当 在第一、 d 0 此时顺时针方向运动；
二象限时：
d
当 在第三、
四象限时：
d 0 d
大学物理互相垂直简谐振动的合成
sin
d 的正负由 s in 决定
d
当 在第一、 d 0 此时顺时针方向运动；
二象限时：
d
当 在第三、
四象限时：
d 0 d
此时逆时针方向运动。
4.作图法-------同频率两垂直方向振动合成
y
y
A2
x
x A1 cos t
y
A2
co s( t
ny——曲线与 y 轴的交点。
x
本例：n x = 2 ; n y= 4
Tx ：Ty = 1：2
x = 2y
李萨茹图形
1
1
y( t) 0
y(t) 0
1
1
0
1
x( t)
nx=8 ny=5
Tx / Ty= 8 / 5
1
1
0
1
x(t)
nx=3 ny=2
Tx / Ty= 3 / 2
最后应指出：和合成相 反，一个圆运动或椭圆运动 可以分解为相互垂直的两个 简谐振动，这种运动的分解 法在研究光的偏振以及其它 现象时都常用到。
)
质点在任意时刻与 x 轴的夹角：
tg y A2 cos( )
x
A1 cos
d d
(tg )
d d
(tg ) d d
1 cos 2
d d
d 0 逆时针 d d 0 顺时针 d
d d( tg ) cos2 d d
=
= 5/4 = 3/2 = 7/4
(4) 质点椭圆运动方向的普遍判据
由：xy==AA21ccooss((
t+ t+
简谐振动的合成
x1 (t ) = a cosωt x2 (t ) = a cos(ωt + δ ) x3 (t ) = a cos(ωt + 2δ )
C
Nδ
R
A
aN
⋮ x N ( t ) = a cos[ ω t + ( N − 1)δ ]
O
δ
a3
a1 P
在∆COM中：A = 2 R sin( N δ / 2 ) 中 上两式相除得： 上两式相除得： 在∆OCP中： a = 2R sin(δ / 2) 中
2
A2 y= x 为直线方程 A1
利用旋转矢量合成
∆ϕ = 0
2 1
y
8 7 6
4 4
y
1 2
3
3 7 6
4Байду номын сангаас
8
x
5
5 3
2 1
播 放 动 画
16
5 6 7
x
8
2. |ϕ 2
− ϕ1 | π =
2 2
反相位
y
x y 2xy =0 + + A1 A2 A1 A2
3
利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 •利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。 取质点振动的平衡位置O为 取质点振动的平衡位置 为 坐标原点，振动方向沿OX轴。A 坐标原点，振动方向沿 轴 2 点作两个长度分别为A 从O点作两个长度分别为 1、 点作两个长度分别为 ϕ2 ϕ A2的矢量 A1 , A2 ，它们在 它们在t=0时 时 与X轴的夹角分别为ϕ1、ϕ2。 轴的夹角分别为ϕ 轴的夹角分别为
x1 = 4 cos 3t ,
= A cos(3t + ϕ )
相互垂直的谐振动合成轨迹研究
文章编号 ：６３ １９ ２０ ）２ ０ ６７ １７ —５ Ｘ（０ ８ ０ ￣ ７ －８
相互 垂 直 的谐 振 动合 成 轨 迹研 究
杨继先
（ 华 大 学 物 理 实 验 中 心 ， 川 成都 ６０ ３ ） 西 四 １０ ９
摘
要： 通过对 哺个相互垂直 、 频率 比为有理数 的简谐 振动 的合成研究 ， 出了描述 合振动轨 迹的特 征参 量 ： 提
初 棚 位为 ２ 。和 ３ 。 ０ ０ 初 相位 为 ８ 。和 １０ ０ ２。
图２ 不 的初 丰位对应着相同的李 萨如图形 ｝ ｊ
本 文从 简谐 振 动 的运 动 学 方程 出发 ， 出两个 推 相互垂 直 的简谐 振 动合 运 动 的轨迹 方 程 通 式 ， 出 提 描述李 萨 如图形 的特征 参 量 ： 幅 比 、 率 比、 振 频 图形 余 弦 、 向正弦 ， 方 然后 利用计 算机 模拟 两个相 互垂直 的简谐 振 动的合 成轨迹 ， 制 出李 萨 如图形 表 。 绘
建筑力 学 、 原子分 子物 理学 等所必需 的基 础理 论 ， 也
是交流 电工学 、 无线 电技术 、 机械原理 、 自动控制等
科 学技 术所 不可 缺 少 的 基础 知 识 。在 日常 生活 中 ， 利用简 谐振 动 的合 成 原 理 可进 行 乐 器 校 准 、 率测 频
定、 相位 确定 、 车速度 监视 、 汽 能源勘 探 、 地面 卫星跟
振幅 比、 频率 比 、 图形余 弦 、 方向正弦。对两个相互垂 直的简谐振 动合成 的轨迹 进行计算机 模拟 ， 编制 了反 映合振
动 轨 迹 变 化 规 律 的 李 萨 如 图形 表 。
关键词 ： 简谐振动 ； 特征参量 ； 李萨如图形 ； 计算机模拟
§11-4相互垂直的简谐振动的合成
x
20 10 π 2
20 10 π 2
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹 随时间变化，不是稳定曲线。
1.频率相差很小，合运动轨迹缓慢变化。
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹
为闭合曲线，称为李萨如图形。
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
2、 20 10 π
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
y
A2
A1 x
y
x A2
o A1
3、20 10 π 2
x2 A12
y2 A22
1
合振动运动轨迹为正椭圆
4、 两个简谐振动振幅相同时 y
A2 y
o A1 x
y
x
10 )
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 20 决1定0
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
或
讨论几种特殊情形 1、20 10 0 或 2 π
如图所示，图中所描绘的是
yA
x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的
李萨如图形。
图形与y轴切点数 图形与x轴切点数
-A2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x 3 nx y 2
1
x
o
A2
- A1
不同频率比不同初相位差的李萨如图
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
完
第二篇
相互垂直简谐运动合成
A1A 2
2
1
2 2 1
2 1 4
斜椭圆方程
x2 A2
1
y2 m A22
xy 2
AA 12
1 2
2 1 4
2
1
74
4
顺时针 逆时针
相互垂直的简谐运动的合成
2
1
3
4
x2 y2 A12 A22
2 xy 1 斜椭圆方程 A1A 2 2
2 1 3 4
顺时针
2
1
5434
逆时针
一般情况21====任意值任意值任意值任
意值,,都为椭圆方程都为椭圆方程都为椭 圆方程都为椭圆 方程..
相互垂直的简谐运动的合成
二、两个不同频率相互垂直简谐运动的合成 李萨如图形（Lissajou figure）
一般情况下, 合振动的轨迹是不稳定的. 当两个分振动 的频率成简单整数比时, 将形成稳定闭合曲线.
相互垂直的简谐运动的合成
不同频率相互垂直的简谐运动的合成
x A1 cost1 1 y A2 cost2 2
任意时刻 t::由坐标由坐标(x，y)确定质点的
位 置.确定质点的位置确定质点的位置确
定质点Ax22的 1
Ay位222 置 )y，A2，1xA，yx(由2 c坐os标由2 坐1标消si去n 2
t得2 (1
推导从略)
——轨迹方程（椭圆方程）
相互垂直的简谐运动的合成
大学物理
振动学基础
第8讲 相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
激光李萨如图形演示 两个相互垂直简谐运动的合运动仍是简谐运动吗?
相互垂直的简谐运动的合成
两个相互垂直的同频率的谐振动的合成李萨如图形公式推导.pdf
展开的问题，可以借助欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 解决，einθ=cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)n,
把右边用二项式定理展开后令左右的实部和虚部分别相等，即可把 sin(nθ)与 cos(nθ)都
只用 cosθ 和 sinθ 表示，例如 cos3θ=cos3θ−3cosθsin2θ , sin3θ=3cos 2θsinθ−sin3θ , cos4θ=
上面只是验证已有结论而已，下面采用反三角函数直接消去参数 t 的方法，
arccos −a=wt=arccos −b 即 arccos −arccos =a−b
A
B
A
B
在两边同时取正弦 sin(arccos −arccos )=sin(a−b)
√A2 −2
把左边展开得
2
+
2
AB
=cos(wt+a)cos(wt+b)+sin(wt+a)sin(wt+b)=cos(a−b)
B
所以……
在 arccos −arccos =a−b 两边同时取余弦也能殊途同归
A
B
cos(arccos −arccos )=cos(a−b)
A
把左边展开得
B
+
√A2 −2 √B2 −2
=cos(a−b)
AB
A
B
2 2 +(A2 −2 )( B2 −2 )+2√A2 −2 √B2 −2
两边平方
−
2
2
A2 B2
把右边用二项式定理展开后令左右的实部和虚部分别相等，即可把 sin(nθ)与 cos(nθ)都
只用 cosθ 和 sinθ 表示，例如 cos3θ=cos3θ−3cosθsin2θ , sin3θ=3cos 2θsinθ−sin3θ , cos4θ=
上面只是验证已有结论而已，下面采用反三角函数直接消去参数 t 的方法，
arccos −a=wt=arccos −b 即 arccos −arccos =a−b
A
B
A
B
在两边同时取正弦 sin(arccos −arccos )=sin(a−b)
√A2 −2
把左边展开得
2
+
2
AB
=cos(wt+a)cos(wt+b)+sin(wt+a)sin(wt+b)=cos(a−b)
B
所以……
在 arccos −arccos =a−b 两边同时取余弦也能殊途同归
A
B
cos(arccos −arccos )=cos(a−b)
A
把左边展开得
B
+
√A2 −2 √B2 −2
=cos(a−b)
AB
A
B
2 2 +(A2 −2 )( B2 −2 )+2√A2 −2 √B2 −2
两边平方
−
2
2
A2 B2
5-3 、 5-4 简谐振动的合成
ϕ
A2
x
O C A1
N −1 ∆ϕ ϕ = 合振动表达式 2 x ( t ) = A cos( ω t + ϕ ) sin(N∆ϕ / 2) N −1 = A0 cos(ω t + ∆ϕ ) sin(∆ϕ / 2) 2
讨论1： 讨论 ： 当 δ
= ±2kπ k = 0,1,2,L sin(N∆ϕ / 2) A = lim A0 = NA0 sin(∆ϕ / 2)
四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) y = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
合振动的轨迹方程为
x y 2 xy 2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) = sin (ϕ 2 − ϕ 1 ) + 2− 2 A1 A2 A1 A2
'
各分振动矢量依次相接， 各分振动矢量依次相接，构 成闭合的正多边形， 成闭合的正多边形，合振动 的振幅为零。 的振幅为零。
三、同方向不同频率的简谐振动的合成
某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
x1 = A1 cos(ω 1 t + ϕ 1 )
x 2 = A2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
A2 y=− x A1
y
x2 y2 2 xy + 2+ =0 2 A1 A2 A1 A2
x
合振动的轨迹是一条通过原点的直线
讨论3 讨论
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = π / 2 x2 y2 合振动的轨迹是的椭圆 合振动的轨迹是的椭圆 + 2 =1 2 A1 A2 方程， 方程，且顺时针旋转
相互垂直的简谐振动的合成
x : y = 2 :1
f = p 2
相互垂直的简谐振动的合成
x : y = 3 : 2
f = p 4
f = ( 2 - 1 )t 可看作两频率相等而f 随t 缓慢变化，合运动轨
y A1
x : y = 3 : 2 f20 = p 4 , f10 = 0
-A2
O
x A2
- A1
相互垂直的简谐振动的合成
几幅典型的利萨如图形
1:2 1:3 2:3
f = 0
2 f = p
相互垂直的简谐振动的合成
相互垂直的简谐振动的合成
几种特殊情况：
A2 x (1) f20-f10=0, 两个分振动同相位，得 y = A1
在任一时刻离开坐标原点位移为：
s=
A A cos(t f )
2 1 2 2
(2) f20-f10=p, 两个分运动反相位，得
A2 y=- x A1
相互垂直的简谐振动的合成
x y 2 =1 (3) f20-f10=p/2，得 2 A1 A2
f = p
f = 5p 4
f = 3p 2
f = 7p 4
f = f20 - f10
相互垂直的简谐振动的合成
f = p 4
相互垂直的简谐振动的合成
f = 7p 4
相互垂直的简谐振动的合成
方向垂直的不同频率的简谐振动的合成
• 两分振动频率相差很小
迹将按上页图依次缓慢变化 • 两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形
几种特殊情况：
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质点 的轨迹是顺时针旋转。
x2 y2 2 =1 (4) f20-f10=3p/2，仍然得 2 A1 A2
第5节 互相垂直的简谐振动的合成
第 5 节互相垂直的简谐振动的合成
一、互相垂直的同频率的简谐振动的合成
1、合振动的特点
振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动。
设一个振动沿 x 方向，一个沿 y 方向，即：
这组方程实际上就是合振动的坐标的参数方程。
2、合振动和分振动的关系
（1）若，则有：
合振动的轨迹为直线。
同理，若，有：
合振动轨迹仍为直线。
（2）若，则有：
合振动为椭圆，当时，轨迹为圆。
（3）一般情况
其中：
对于不同的，可得到不同形状、不同绕向的椭圆。
二、互相垂直不同频率的简谐振动的合成
如果两方向的振动频率不相等，它们的合振动为：
当和成整数比时，合振动的轨迹仍是一些闭合的曲线，称为李萨如图形。
当和不成整数比时，合振动的轨迹不再是闭合曲线，利用李萨如图形的性质，可以精确判断出两种频率是否成整数比，并根据已知频率确定未知频率。
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
04垂直简谐振动的合成
相位差决定。 相位差决定。 •合运动一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范围内的一 合运动一般是在 向 、 向 个椭圆。 个椭圆。
x y 2xy cos(ϕ2 − ϕ1 ) 2 = sin (ϕ2 − ϕ1 ) + − A1 A2 A1 A2 上式是个椭圆方程， 上式是个椭圆方程，具体形状由 ∆ ϕ = ( ϕ 2 − ϕ 1 )
③ ④
③ cos ϕ 2 ④ cos ϕ1 − A1 A2
x cos ϕ 2 y cos ϕ1 − = sin ωt sin(ϕ 2 − ϕ1 ) ⑤ 得 A1 A2
13
x = A1 (cosωt cosϕ1 − sin ωt sin ϕ1 ) y = A2 (cosωt cosϕ2 − sin ωt sin ϕ2 )
14
7
∆ϕ = π / 4
y
8
1 2
y
8 7 6 5 5
4 4
7 6
2
1
x
3
3 3
2 1
4
播 放 动 画
5 6 7
x
8
8
播放动画
9
二、相互垂直不同频率简谐振动的合成
一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线， 一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运 动不是周期性的运动。下面就两种简单情况讨论： 动不是周期性的运动。下面就两种简单情况讨论： 1. 两分振动频率相差很小
∆ϕ = (ω2 − ω1 )t + (ϕ2 − ϕ1 )
缓慢变化,合运动轨迹将 可看作两频率相等而 ∆ϕ 随 t 缓慢变化 合运动轨迹将 按下图依次缓慢变化 依次缓慢变化。 按下图依次缓慢变化。
∆ϕ = 0
相互垂直的简谐振动的合成.2021优秀PPT文档
95.经受了火的洗礼泥巴也会有坚强的体魄。 45.我TM竟然以为我竭尽全力了。 8.通往成功的道路上有一门必修课叫孤独。 50.拿梦想去拼，我怎么能输。 55.如果缺少破土面出并与风雪拚搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 57.勇气永远都靠不住，只有暂时的疯狂才有意义！ 17.火把倒下，火焰依然向上。 66.累吗？累就对了，舒服是留给死人的！ 二、人生就象弈棋，一步失误，全盘皆输，这是令人悲哀之事;而且人生还不如弈棋，不可能再来一局，也不能悔棋。 81.希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 60.前行的征途中，拄着双拐的人虽然步履艰难，但只要有一颗奋发不息的心则可以登上成功的峰巅。 36.大成功者，非疯，即颠。你的激情能达到那种程度，离你的成功就不会很远了。 44.人生苦难重重。这是个伟大的真理，是世界上最伟大的真理之一。 63.质变的积累，才有量变的爆发。你没有时间可以浪费！
几种特殊情况：
x2 y2
(3) f20-f10=p/2，得 A12 A22 = 1
这是坐标轴为主轴的椭圆，质点 的轨迹是顺时针旋转。
(4) f20-f10=3p/2，仍然得
x2 A12
y2 A22
=1
与(3)相同，只是质点的轨迹 沿逆时针旋转。
相互垂直的简谐振动的合成
几种特殊情况：
f = 0
f = p 4
x :y = 2 :1 f = p 2
相互垂直的简谐振动的合成
x :y = 3: 2 f = p 4
精品课件！
精品课件！
相互垂直的简谐振动的合成
x :y = 3:1 f = p 2
11.励志签名：天将降大任于斯人也，天不降大任，你不还是斯人吗？ 50.不比智力，比努力；不比起步，比进步。 65.我们都不是神的孩子，我们是追梦的孩子。 51.炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。 一、即使生活坎坷，也请你不要放弃，因为努力会让你遇见更好的自己。
同一直线上简谐振动的合成 相互垂直的简谐振动的合成 谐振分析 相空间中振动的轨道
A = A12 + A2 2 = 0.052 + 0.062 = 0.0781
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 π ϕ = arctg( ) = arctg11 = 840 48′ A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 6
3π x 1 = 0 .05 cos( 10 t + ) 4 1 x 2 = 0 .06 cos( 10 t + π ) 4
y A2
0
消去t得轨道方程
x 2 y 2 2 xy + 2− cos( 2 − ϕ1 ) = sin2 (ϕ 2 − ϕ1 ) ϕ 2 A1 A2 A1 A2
x A1
这是椭圆方程，质点的轨迹一 般是个斜椭圆。
x2 y2 2 xy + 2 − cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ 1 ) A12 A2 A1 A2
x 2 = 0 . 0 3 co s( 2 t − π / 6 )
求：合振动的表达式。
解：
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 )
A = 0.04 2 + 0.03 2 + 2 × 0.04 × 0.03 cos( −π / 6 − π / 6 ) ≈ 0.06
= A1 cos(ω t + ϕ1 ) + A2 cos(ω t + ϕ 2 ) = A cos( ω t + ϕ )
其中
x = x1 + x2
x1 = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) x 2 = A2 cos( ω t + ϕ 2 )
A = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 )
论文：同频率互相垂直简谐振动的合成
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1简谐振动 (1)1.1定义 (2)1.2描述简谐振动的物理量 (2)2 互相垂直相同频率简谐振动的合成 (3)3 同频率互相垂直简谐振动的合成在光的叠加中的体现 (5)3.1线偏振光 (5)3.2圆偏振光 (6)3.3椭圆偏振光 (7)4 应用 (8)结论 (8)参考文献 (8)两个同频率、互相垂直简谐振动的合成摘要：本文介绍了同频率互相垂直简谐振动的合成的定义，描述了简谐振动的物理量以及简谐振动的方程，并阐述了同频率互相垂直简谐振动的合成在光的叠加中的体现及其应用,使我们对简谐振动物体的运动规律的认识提升到一个更高的层次。
关键词：同频率互相垂直的简谐振动；相关物理量；合成Analysis of the simple harmonic motionAbstract：This paper introduces the vertical simple harmonic oscillator frequency with each other the synthesis of definition, describes the simple harmonic oscillator physical quantities and simple harmonic oscillator, and expounds the equation with frequency perpendicular to the synthesis of simple harmonic oscillator in light of the superposition of reflect and its application, enabled us to simple harmonic oscillator object the motion law of the understanding of elevated to a higher level.Key words：with frequency perpendicular simple harmonic oscillator, related parameters; synthesis引言振动中最简单的就是简谐振动，而简谐振动中需要研究的东西有很多，有简谐振动的动力学特征，简谐振动的运动学，简谐振动的能量转化及简谐振动的合成，我们本文主要研究的是互相垂直简谐振动的合成，它是振动合成中较简单的一种。
5垂直方向简谐运动的合成 -
A2 斜率 A1y Nhomakorabeax
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2
A1 A2 cos( t )
2 2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
x y 2 (2) 20 10 ( ) 0 A1 A2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
讨论
x y 2 ) 0 (1) 20 10 0 ( A1 A2
A2 y x A1
合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线
= 5/4
= 3/2
= 7/4
0 时，逆时针方向（左旋）转动。 0 时，顺时针方向（右旋）转动。
*五、垂直方向不同频率
两分振动频率相差很小
( y x )t ( y x )
可看作两频率相等而2-1随t 缓慢变化合运动 轨迹将按上页图依次缓慢变化。 y A
(4) 20 10
2
合振动的轨迹为以x轴和y轴 为轴线的椭圆
x A1 cos( t 10 )
y A1 cos( t 10
y
x
2
)
质点沿椭圆的运动方向是逆时针（左旋）的。
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
*第五节 相互垂直方向简谐振动的合成
一、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos( t 10 )
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2
A1 A2 cos( t )
2 2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
x y 2 (2) 20 10 ( ) 0 A1 A2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
讨论
x y 2 ) 0 (1) 20 10 0 ( A1 A2
A2 y x A1
合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线
= 5/4
= 3/2
= 7/4
0 时，逆时针方向（左旋）转动。 0 时，顺时针方向（右旋）转动。
*五、垂直方向不同频率
两分振动频率相差很小
( y x )t ( y x )
可看作两频率相等而2-1随t 缓慢变化合运动 轨迹将按上页图依次缓慢变化。 y A
(4) 20 10
2
合振动的轨迹为以x轴和y轴 为轴线的椭圆
x A1 cos( t 10 )
y A1 cos( t 10
y
x
2
)
质点沿椭圆的运动方向是逆时针（左旋）的。
= 0
= /4
P
·Q
.
= /2
= 3/4
=
*第五节 相互垂直方向简谐振动的合成
一、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos( t 10 )
2020-2021学年高二物理竞赛两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 课件
x x x1 x2 x1
x
x2
t
x1
x x1 x2
x2
t
x x x1 x2 x1
x2
t
傅里叶定理：任何一个周期振动都可以看成是由 各种频率不同的谐振动的合成。即周期T=2/的 周期振动，是由一系列简谐振动的叠加，即：
f (t) a0 a1 cost a2 cos 2t
b1 sin t b2 sin 2t
四 会计算同方向、同频率简谐运动的合成规 律，掌握它们的合成加强和减弱的条件，了解拍和 相互垂直简谐运动合成的特点.
五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条 件及规律.
若振幅变化的周期为T拍
[1
2
2
(t
T拍)
1
2
2
t]
T拍
2 1 2
,
1/ T拍
1 2 2
1
2
振动频率 (1 2 ) 2
拍现象的应用：
1）较正乐器 2）测量超声波频率 3）接收等幅电报
注意
拍现象是两个频率较高但相差不多的两个谐振动 的叠加。若相差甚远，叠加后已完全不是一个谐 振动。
2
2
随时间变化很慢可 随时间变化很快可看 看作合振动的振幅 作谐振动的部分。
振动的圆频率
1
2
2
21
2
1
2
合振动的振幅 A(t) 2Acos(1 2 t)
2
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动
的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象
叫拍。 A(t) 2Acos(1 2 t)
2
x Ae t cos(t )
振幅
角频率
2 0
2
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ｓ０ ． ｉｎｓ ’
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｉ ｐｅｈ ｒ ｏ ｉ ｍ ｔ ｎ Ｔ ａ ｃｏｙｅ ｕｔ ｎ ３一ｄｍ ｎｉ ｘ ｎｉ ｙｗ ｒ ｓ Ｓｍ ｌ ａｍ ｎｃ ｏｉ ；ｒｊ ｔ ｑ ａ ｏ ； ｏ ｅ ｒ ｉ ｉ ｅ ｓ ｎｅｔ ｓ ｎ ｏ ｅ ｏ
在大学 普通 物理 教学 中 ， 多教材 都讨 论 了质点参 与 两个 同频率 互相 垂直 的简谐 振 动 ¨ ４， 两个 互 很 Ｉ 设 相 垂 直 的同频率 的简 谐振 动 ， 们振 动 的方 向分 别沿 着 轴 和 Ｙ轴 ， 简谐振 动方 程为 ： 它 其
１ 用 两 角 的和 与 差 公 式 推 导
先将 （ ） 利用 两角 的 和差公 式改 写成 下面 的形式 １式
一 ｔ ｃ ｓ 一 ｉ ｔ 羔 ：ｃ ｓ ｔｏ ａ 一ｓ ｔ ｔ ｏ ｓｎｏ Ａ ｏｏ ｎ ｔｉ ｏ ｔ ｌ （） ３ Ｌ
收 稿 日期 ：０ ９一ｌ ２０ １一ｌ ３
安徽科 技学院学报 ，０ ０ ２ （ ）４ ４ ２ １ ，４ ２ ：０～ ３
Ｊ ｕ ａ ｆ ｈ ｉＳ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｕ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏｙ Ｕｎｖ ｒｉ ｎ Ａｎ ｙ
互 相垂 直 Ａ
文章编 号 ：６ ３—８ ７ （０ ０）２— ０ ０— ４ １７ ７２ ２ １ ０ ０４ ０
Ｄｉｃ ｓ ｉ ｎ ｏ ｕ ｔｏ ｆ Ｓ ｍ ｐ ｅ Ｈａ ｍ ｏ ｉ ｏ ｉ ｎ ｓ ｕ ｓｏ ｎ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｏ ｉ ｌ ｒ ｎ ｃ Ｍ ｔｏ Ｐｅ ｐ ｎ ｉ ｕ ａ ｏ Ｅａ ｈ Ｏｔ ｅ ｔ ａ ｅ Ｆｒ ｑ ｅ ｃ ｒ ｅ ｄ ｃ ｌ ｒ ｔ ｃ ｈ ｒ ｗｉｈ Ｓ ｍ ｅ ｕ ｎ ｙ
＝ ｃｓ ｔ ＋ ｔ Ａ ｏ（ ｔ Ｏ ｏ ） Ｙ＝Ｂ ｏ （ ｔ ） ｃｓｔ ＋ ｏ （） １
由以上 两式 消去 ｔ就得 到合 振动 的轨 迹方程 。其 在 Ｏ ｙ平面运 动 的轨迹 为 ， ｘ
ｘ
ｚ 一 ｃ ｓ／一 ＋ 。 （ ａ）＝ｓ ２ 一 ３ ｉ （ ） ｎ
（） ２
式 （ ） 椭 圆方程 ， 以在一 般情 况下 ， ２是 所 两个 互相 垂直 的 、 率 相 同 的简谐 振 动合 成 ， 频 其合 振 动 的轨 迹 为一 个 椭 圆 ， 而椭 圆 的形状 决 定 于分 振 动 的相 位 差 （ ） 然后 讨 论 了几 种 特 殊情 况 下合 振 动 的轨迹 。 卢一 ， 但是除了直接写出轨迹方程外都未对其进行详细的推导 ， 由于该推导过程牵涉到复杂的三角函数运算 ， 很 多 同学感 到非 常 困难 ， 老师在 推导 过程 中也要 花较 长 的时 间 。为此 本 文讨 论 了用 不 同方法 推 导 该轨 迹 方 程 的详 细推导 过程 以及 推广 到三 维 的情 况 的轨迹 方程及 合 成轨道 。
ｓ ｍｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｉ ｒｖ ｄ ｉ ａ ｏ ｓ ｍｅｈｏ ｓ，ａ ｄ ｔ ｉ ｑ ｔｏ ｓ ｅ ｔｎ ｅ ｅ ｅ ａｌ ｎ ｏ ｔ ａ ｅ ｏ ｉ ｎ— ａ ｒ ｑ ｅ ｃ ｓｄｅ ｅ ｎ ｖ ｒ ｕ ｔ ｄ ｉ ｉ ｎ ｈｓ ｅ ｕａｉ ｎ ｉ ｘ ｅ ｄ ｄ ｇ ｎ ｒ ｌ ｉｔ ｈｅ ｃ ｓ ｆ３ ｄｍｅ ｙ
作者简介 ： 熊德永 （９ ６一 ， ， １７ ） 男 贵州省石阡县人 ， 硕士 ， 讲师 ， 主要从事物理教学与研究。
第２ ４卷第 ２期
熊德永 ， 等
互相垂直 同频率简谐振动 的合 成轨迹方程 的推导
４ １
舌－Ｓ ｓ － 。一ｎ Ｃ Ｏ ｉ ∞ｉ
（ ） 乘 以式 ｃ ，４ 式 乘 以式 ＣＳ￣ ３式 ｏ （） ＯＯ得
ＸＩ ＯＮＧ Ｄｅ—ｙ ｎ ， ｏ ｇ ＭＡ ｉ Ｈｕ
（ ． ｃ ｏｌ ｆ ｈ ｓ ｓ ｎ ｌ ｔ ｎｃＳ ｉ ｃｓ Ｇ ｉ ｏ ｏ ｌ ｏ ｅｅ Ｇ ｉａ ｇ ５ ０ ， ｈｎ ； １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｙｉ ｄＥｅ ｒ ｉ ｃｅ ｅ ， ｕｚ ｕＮ ｒ ｌ ｇ ， ｕｙｎ ０ １ Ｃ ｉａ Ｐ ｃａ ｃｏ ｎ ｈ ｍａ Ｃ ｌ ５ ８ ２ Ｐ ｙｉａ Ｓａ ｏｍ， ｕｙ ｎ ｄ ａ Ｃ ｌ ｇ ， ｕｙｎ ５ ０ ２ Ｃ ｉａ） ． ｈ ｓ ｌ ｔ ｆ ｏ Ｇ ｉ ｇＭｅ ｉ ｏｌ ｅ Ｇ ｉ ｇ ０ ０ ， ｈｎ ｃ ｆＲ ａ ｃ ｌ ｅ ａ ５ Ａ ｓ ａ ｔＩ ｉ ｐ ｐ ｒ ｔｅｔ ｊｃ ｒ ｑ ａ ｏ ｆｈ ｏｈ ｒ ｎｃｍｏ ｏ ｅ ｅｄｃ ｌ ａｈｏ ｅ ｉ ｅ ｂ ｔ ｃ ： ｔ ｓ ａ ｅ ， ｈ ａ ｔ ｙｅ ｕｔ ｎｏ ｔ ｔ ａｍｏｉ ｒ ｎ ｈ ｒｅ ｏ ｉ ｅ ｗ ｔ ｎｐ ｒ ｎ ｉ ａ ｔ ｅ ｃ ｔ ｒ ｔ ｔ ｉ ｐ ｕ ｒｏ ｈ ｗｈｈ
（ ４ ）
（） ５
÷ｃ ｃｔ ｏｔｓ—ｉ ｔ ａｏ ｏ ｏｏ ｓ ｏ ｓｔ ｉ ｃｆ ＝ ｓｃ ｏ ｆ ｎ ｓ ｓ ｔ ｃｌ ｏ ｎ ｌ
熊德 永 马 慧 ，
（． １贵州 师范 学 院 物理 与 电子科学 学 院 ， 州 贵
２ 贵 阳医学 院 物 理教研 室 ， ． 贵州 贵阳
贵 阳 ５０ １ ； ５０ ８
５００ ） ５０２
摘 要 ： 用 两角 的和与 差公 式 、 三 角函数等 不 同的方 法详 细推 导 了两个互相 垂 直且 同频率 的二 维简谐 利 反
振 动合 成 的轨迹 方程 ， 以此为基 础推 导 出三 个互相 垂直 且 同频 率 的简谐振 动合 成轨 迹 方程 ， 并 其合 成振 动
的轨迹 亦为椭 圆 ， 该椭 圆的形状 和取 向 由分振动 的振 幅和初 相位 决 定。
关 键词 ： 简谐 振动 ； 迹方程 ； 维推 广 轨 三
中图分 类号 ： ４ ０２
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｉ ｐｅｈ ｒ ｏ ｉ ｍ ｔ ｎ Ｔ ａ ｃｏｙｅ ｕｔ ｎ ３一ｄｍ ｎｉ ｘ ｎｉ ｙｗ ｒ ｓ Ｓｍ ｌ ａｍ ｎｃ ｏｉ ；ｒｊ ｔ ｑ ａ ｏ ； ｏ ｅ ｒ ｉ ｉ ｅ ｓ ｎｅｔ ｓ ｎ ｏ ｅ ｏ
在大学 普通 物理 教学 中 ， 多教材 都讨 论 了质点参 与 两个 同频率 互相 垂直 的简谐 振 动 ¨ ４， 两个 互 很 Ｉ 设 相 垂 直 的同频率 的简 谐振 动 ， 们振 动 的方 向分 别沿 着 轴 和 Ｙ轴 ， 简谐振 动方 程为 ： 它 其
１ 用 两 角 的和 与 差 公 式 推 导
先将 （ ） 利用 两角 的 和差公 式改 写成 下面 的形式 １式
一 ｔ ｃ ｓ 一 ｉ ｔ 羔 ：ｃ ｓ ｔｏ ａ 一ｓ ｔ ｔ ｏ ｓｎｏ Ａ ｏｏ ｎ ｔｉ ｏ ｔ ｌ （） ３ Ｌ
收 稿 日期 ：０ ９一ｌ ２０ １一ｌ ３
安徽科 技学院学报 ，０ ０ ２ （ ）４ ４ ２ １ ，４ ２ ：０～ ３
Ｊ ｕ ａ ｆ ｈ ｉＳ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｕ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏｙ Ｕｎｖ ｒｉ ｎ Ａｎ ｙ
互 相垂 直 Ａ
文章编 号 ：６ ３—８ ７ （０ ０）２— ０ ０— ４ １７ ７２ ２ １ ０ ０４ ０
Ｄｉｃ ｓ ｉ ｎ ｏ ｕ ｔｏ ｆ Ｓ ｍ ｐ ｅ Ｈａ ｍ ｏ ｉ ｏ ｉ ｎ ｓ ｕ ｓｏ ｎ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｏ ｉ ｌ ｒ ｎ ｃ Ｍ ｔｏ Ｐｅ ｐ ｎ ｉ ｕ ａ ｏ Ｅａ ｈ Ｏｔ ｅ ｔ ａ ｅ Ｆｒ ｑ ｅ ｃ ｒ ｅ ｄ ｃ ｌ ｒ ｔ ｃ ｈ ｒ ｗｉｈ Ｓ ｍ ｅ ｕ ｎ ｙ
＝ ｃｓ ｔ ＋ ｔ Ａ ｏ（ ｔ Ｏ ｏ ） Ｙ＝Ｂ ｏ （ ｔ ） ｃｓｔ ＋ ｏ （） １
由以上 两式 消去 ｔ就得 到合 振动 的轨 迹方程 。其 在 Ｏ ｙ平面运 动 的轨迹 为 ， ｘ
ｘ
ｚ 一 ｃ ｓ／一 ＋ 。 （ ａ）＝ｓ ２ 一 ３ ｉ （ ） ｎ
（） ２
式 （ ） 椭 圆方程 ， 以在一 般情 况下 ， ２是 所 两个 互相 垂直 的 、 率 相 同 的简谐 振 动合 成 ， 频 其合 振 动 的轨 迹 为一 个 椭 圆 ， 而椭 圆 的形状 决 定 于分 振 动 的相 位 差 （ ） 然后 讨 论 了几 种 特 殊情 况 下合 振 动 的轨迹 。 卢一 ， 但是除了直接写出轨迹方程外都未对其进行详细的推导 ， 由于该推导过程牵涉到复杂的三角函数运算 ， 很 多 同学感 到非 常 困难 ， 老师在 推导 过程 中也要 花较 长 的时 间 。为此 本 文讨 论 了用 不 同方法 推 导 该轨 迹 方 程 的详 细推导 过程 以及 推广 到三 维 的情 况 的轨迹 方程及 合 成轨道 。
ｓ ｍｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｉ ｒｖ ｄ ｉ ａ ｏ ｓ ｍｅｈｏ ｓ，ａ ｄ ｔ ｉ ｑ ｔｏ ｓ ｅ ｔｎ ｅ ｅ ｅ ａｌ ｎ ｏ ｔ ａ ｅ ｏ ｉ ｎ— ａ ｒ ｑ ｅ ｃ ｓｄｅ ｅ ｎ ｖ ｒ ｕ ｔ ｄ ｉ ｉ ｎ ｈｓ ｅ ｕａｉ ｎ ｉ ｘ ｅ ｄ ｄ ｇ ｎ ｒ ｌ ｉｔ ｈｅ ｃ ｓ ｆ３ ｄｍｅ ｙ
作者简介 ： 熊德永 （９ ６一 ， ， １７ ） 男 贵州省石阡县人 ， 硕士 ， 讲师 ， 主要从事物理教学与研究。
第２ ４卷第 ２期
熊德永 ， 等
互相垂直 同频率简谐振动 的合 成轨迹方程 的推导
４ １
舌－Ｓ ｓ － 。一ｎ Ｃ Ｏ ｉ ∞ｉ
（ ） 乘 以式 ｃ ，４ 式 乘 以式 ＣＳ￣ ３式 ｏ （） ＯＯ得
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（ ． ｃ ｏｌ ｆ ｈ ｓ ｓ ｎ ｌ ｔ ｎｃＳ ｉ ｃｓ Ｇ ｉ ｏ ｏ ｌ ｏ ｅｅ Ｇ ｉａ ｇ ５ ０ ， ｈｎ ； １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｙｉ ｄＥｅ ｒ ｉ ｃｅ ｅ ， ｕｚ ｕＮ ｒ ｌ ｇ ， ｕｙｎ ０ １ Ｃ ｉａ Ｐ ｃａ ｃｏ ｎ ｈ ｍａ Ｃ ｌ ５ ８ ２ Ｐ ｙｉａ Ｓａ ｏｍ， ｕｙ ｎ ｄ ａ Ｃ ｌ ｇ ， ｕｙｎ ５ ０ ２ Ｃ ｉａ） ． ｈ ｓ ｌ ｔ ｆ ｏ Ｇ ｉ ｇＭｅ ｉ ｏｌ ｅ Ｇ ｉ ｇ ０ ０ ， ｈｎ ｃ ｆＲ ａ ｃ ｌ ｅ ａ ５ Ａ ｓ ａ ｔＩ ｉ ｐ ｐ ｒ ｔｅｔ ｊｃ ｒ ｑ ａ ｏ ｆｈ ｏｈ ｒ ｎｃｍｏ ｏ ｅ ｅｄｃ ｌ ａｈｏ ｅ ｉ ｅ ｂ ｔ ｃ ： ｔ ｓ ａ ｅ ， ｈ ａ ｔ ｙｅ ｕｔ ｎｏ ｔ ｔ ａｍｏｉ ｒ ｎ ｈ ｒｅ ｏ ｉ ｅ ｗ ｔ ｎｐ ｒ ｎ ｉ ａ ｔ ｅ ｃ ｔ ｒ ｔ ｔ ｉ ｐ ｕ ｒｏ ｈ ｗｈｈ
（ ４ ）
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熊德 永 马 慧 ，
（． １贵州 师范 学 院 物理 与 电子科学 学 院 ， 州 贵
２ 贵 阳医学 院 物 理教研 室 ， ． 贵州 贵阳
贵 阳 ５０ １ ； ５０ ８
５００ ） ５０２
摘 要 ： 用 两角 的和与 差公 式 、 三 角函数等 不 同的方 法详 细推 导 了两个互相 垂 直且 同频率 的二 维简谐 利 反
振 动合 成 的轨迹 方程 ， 以此为基 础推 导 出三 个互相 垂直 且 同频 率 的简谐振 动合 成轨 迹 方程 ， 并 其合 成振 动
的轨迹 亦为椭 圆 ， 该椭 圆的形状 和取 向 由分振动 的振 幅和初 相位 决 定。
关 键词 ： 简谐 振动 ； 迹方程 ； 维推 广 轨 三
中图分 类号 ： ４ ０２