2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题23 圆(解析版)

专题23 圆
考点总结【思维导图】
【知识要点】
知识点一与圆有关的概念
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴圆心；
⑵半径，
⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB
圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

弓形与扇形
弓形的概念：由弦及其所对的弧组成的图形。

扇形的概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

【典型例题】
1．（2018·陆丰市民声学校中考模拟）如图，AB 是⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上，OD ∥AC ，下列结论错误的是（ ）
图3
图2图1
B C C
A．∠BOD=∠BAC B．∠BAD=∠CAD
C．∠C=∠D D．∠BOD=∠COD
【答案】C
【详解】∵OD//AC，
∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD，故A选项正确，
∵OA=OD，
∴∠D=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD，故B选项正确，
∵OA=OC，∴∠BAD=∠C，∴∠BOD=∠COD，故D选项正确，
由已知条件无法得出∠C=∠D，故C选项错误，
故选C.
2．（2018·北京中考模拟）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】B
【详解】
圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选：B．
3．（2018·上海中考模拟）下列说法中，正确的个数共有（）
（1）一个三角形只有一个外接圆；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】
（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；
故选：C．
4．（2018·湖北中考模拟）有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】试题解析：
同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故正确；
连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以直径是最长的弦，故正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
圆中90°圆周角所对的弦是直径，故错误；
弦所对的圆周角可在圆心一侧，也可在另一侧，这两个圆周角互补，但不一定相等，所以同圆中等弦所对的圆周角也不一定相等，故错误.
综上所述，正确的结论有2个，故应选B.
5．（2017·广东中考模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（）
A．40o B．45o C．60o D．50o
【答案】D
【解析】
解：∵在⊙O中，AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=40°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=50°．
故选D．
【考查题型汇总】
考查题型一利用圆的半径相等进行相关计算
1．（2019·浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（）．
A．10° B．20° C．40° D．80°
【答案】B
【解析】
根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,故选B
2．（2018·黑龙江中考模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）
A ．70°
B ．80°
C ．110°
D ．140°
【答案】C
【解析】
详解：作AC ⏜对的圆周角∠APC ，如图，
∵∠P=12∠AOC=12×140°=70°
∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C ．
3．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是(
)
A ．AC=A
B B ．∠C=12∠BOD
C ．∠C=∠B
D ．∠A=∠BOD
【答案】B
【详解】
解：∵直径CD ⊥弦AB ，
∴弧AD =弧BD ，
∴∠C =12∠BOD ．
故选B ．
4．（2018·贵州中考模拟）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）
A．4√3B．6√3C．2√3D．8
【答案】A
【解析】
试题解析：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=1
∠AOC，
2
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
OC=2√3，
∴CD=√3
2
∴AC=2CD=4√3．
故选A．
5．（2019·云南中考模拟）如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）
A．70°B．45°C．35°D．30°
【答案】C
【详解】
解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴¶AB=AĈ，
∴∠ADC=1
∠AOB=35°．
2
故选C．
6．（2019·广西中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝136°，则∠C 的度数是（）
A．44°B．22°C．46°D．36°
【答案】B
【详解】
∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故选：B．
考查题型二圆心角与圆周角的关系解题
1．（2019·武汉市第四十六中学中考模拟）如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC．
（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）56∘．（2）3.
【详解】
解：(1)连接OC．
∵半径OA⊥弦BC，
∴AĈ=AB̂，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOC=2∠AEC=56∘，
∴∠AOB=56∘．
(2)∵BE是⊙O的直径，
∴∠ECB=90∘，
∵AĈ=AB̂
∴∠AEC=∠BEA，
∵∠BEA=∠B，
∴∠B=∠AEB=∠AEC
∵∠B+∠AEB+∠AEC=180∘，
∴∠B=∠AEB=∠AEC=30∘，
∵EC=3，
∴EB=2EC=6，
∴⊙O的半径为3．
2．（2018·吉林中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．
（1）求证；∠BDC＝∠A．
（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）1+√2
【详解】
(1)证明：连结OD．如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠BDC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠BDC，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠A，
∴∠BDC＝∠A；
（2）解：在Rt△ODC中，∵∠C＝45°，
∴OC=√2OD=√2
∴AC=OA+OC=1+√2
3．（2019·苏州高新区实验初级中学中考模拟）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．
【答案】4√3
【详解】
解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，
∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；
∴OE＝4﹣2＝2，
∴DE＝√OD2−OE2＝√42−22＝2√3，
∴CD＝2DE＝4√3．
知识点二圆的基本性质
⏹对称性
1.圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线
2.圆是中心对称图形。

⏹垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
⏹圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
⏹圆周角定理（考点）
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
圆内接四边形
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
【考查题型汇总】
考查题型三运用垂径定理进行相关计算
1．（2019·苏州高新区第四中学校中考模拟）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC
＝1
3
．求BC的长．
【答案】BC＝6．
【详解】
连接AO，交BC于点E，连接BO，
∵AB＝AC，
∴AB⏜=AC⏜，
又∵OA是半径，
∴OA⊥BC，BC＝2BE，
在Rt△ABE中，∵tan∠ABC＝1
3
，
∴AE
BE =1
3
，
设AE＝x，则BE＝3x，OE＝5﹣x，在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2，∴(3x)2+(5﹣x)2＝52，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝1，
∴BE＝3x＝3，
∴BC＝2BE＝6．
2．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．
（1）求OD的长．
（2）求EC的长．
【答案】（1）5 （2）2√13
【详解】
解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
AB＝4，
AC＝BC＝1
2
在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，
r＝5，
∴OD＝r＝5；
(2)连接BE，如图：
由(1)得：AE ＝2r ＝10，
∵AE 为⊙O 的直径，
∴∠ABE ＝90°，
由勾股定理得：BE ＝6，
在Rt △ECB 中，EC ＝√BE 2+BC 2＝√62+42＝2√13．
故答案为：(1)5；(2)2√13.
13．（2019·广东中考模拟）如图，OD 是⊙O 的半径，AB 是弦，且OD ⊥AB 于点C 连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB ＝8，CD ＝2，求⊙O 半径OA 的长．
【答案】r ＝5
【详解】
解：∵OD ⊥弦AB ，AB ＝8，
∴AC ＝12AB=12×8＝4，
设⊙O 的半径OA ＝r ，
∴OC ＝OD ﹣CD ＝r ﹣2，
在Rt △OAC 中，
r 2＝（r ﹣2）2+42，
解得：r ＝5
考查题型四 利用垂径定理解决实际问题
1．（2018·山东中考模拟）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．
【答案】10cm
【解析】
解：过点O 作OC ⊥AB 于D ，交⊙O 于C ，连接OB ，
∵OC ⊥AB
∴BD=12AB=12×16=8cm
由题意可知，CD=4cm
∴设半径为xcm ，则OD=（x ﹣4）cm
在Rt △BOD 中，
由勾股定理得：OD 2+BD 2=OB 2
（x ﹣4）2+82=x 2
解得：x=10．
答：这个圆形截面的半径为10cm ．
2．（2017·江西南昌二中中考模拟）用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm ）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
【答案】20㎝．
【解析】
连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形ACDB是矩形
∵CD=16cm，PE=4cm
∴PA=8cm，BP=8cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2
即OA2=82+（OA﹣4）2
解得：OA=10．
答：这种铁球的直径为20cm．
3．（2018·山东中考模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹)；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】（1）详见解析；（2）这个圆形截面的半径是5 cm.
【详解】
(1)如图，作线段AB的垂直平分线l，与弧AB交于点C，作线段AC的垂直平分线l′与直线l交于点O，点O即为所求作的圆心．
(2)如图，过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，
AB＝4，OD＝r－2，
设半径为r，则AD＝1
2
在Rt△AOD中，r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，
答：这个圆形截面的半径是5 cm.
考查题型五圆心角、弧、弦的关系的应用
1．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.
求证：⑴AD⏜=BC⏜；
⑵AE=CE.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴AB⏜=CD⏜，即AD⏜+AC⏜=BC⏜+AC⏜，
∴AD⏜=BC⏜；
（2）∵AD⏜=BC⏜，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
2．（2018·上海中考模拟）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．
求证：BD=CD．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵AB=AC，
̂=AĈ
∴AB
∴∠ADB=∠ADC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
̂=CD̂
∴BD
∴BD=CD．
3．（2019·江西中考模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧CD的中点，连接AM，BM，求证：AM ＝BM．
【答案】见解析.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴弧AD=弧BC，
∵M为弧CD中点，
∴弧MD=弧MC，
∴弧AM=弧BM ，
∴AM ＝BM ．
考查题型六 圆周角定理求角的度数
1．（2019·辽宁中考模拟）如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC ＝140°，则∠D 的度数是（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．70°
【答案】A
【详解】
∵∠AOC ＝140°， ∴∠BOC ＝180°-∠AOC=40°，
∵∠BOC 与∠BDC 都对AM FM
=AE FO =153=35， ∴∠D ＝12∠BOC ＝20°，
故选A ．
2．（2018·江苏中考真题）如图，AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
【答案】40
【详解】
连接BD ，如图，
∵AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，
3．（2019·江苏中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC=120°，则∠CDB=_____°．
【答案】30
【详解】
∵∠BOC=180°−∠AOC=180°−120°=60°，
∠BOC=30°．
∴∠CDB＝1
2
故答案为：30．
4．（2019·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC=30∘，则∠AOB的度数为_____．
【答案】60∘
【详解】
∵OA⊥BC，
∴AB⏜=AC⏜，
∴∠AOB=2∠ADC，
∵∠ADC=30∘，
∴∠AOB=60∘，
考查题型七 圆周角定理推论的应用
1．（2018·北京中考真题）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ⏜=CD ⏜，∠CAD =30°，∠ACD =50°，则∠ADB =________．
【答案】70° 【解析】
详解：∵CB
̂=CD ̂， ∴∠CAB =∠CAD =30°， ∴60BAD ∠=︒，
∵∠ABD =∠ACD =50°，∴∠ADB =180°−∠BAD −∠ABD =70°． 故答案为：70°.
2．（2018·贵州中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，∠ACE 的度数为_____．
【答案】30° 【详解】
如图，连接OC ．
∵AB是直径，AC⏜=CD⏜=BD⏜，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
3.（2019·湖南中考真题）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，则AD=_______．
【答案】1
【详解】
解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，
∴AD=1
2AB=1
2
×2=1．
故答案为1．
考查题型八利用圆内接四边形的性质定理求角的度数
1．（2019·吉林中考模拟）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC⏜=CB⏜．若∠C=110°，则∠ABC的度数等于（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】A
【详解】
连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵DC⏜=CB⏜，
∠DAB=35°，
∴∠CAB=1
2
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，
故选A．
2．（2019·四川中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE⏜上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD 的度数为（）
A．30°B．36°C．60°D．72°
【答案】B
【详解】
连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
=36°,
故∠CPD=72°×1
2
故选B.
3．（2019·广东中考模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧BC⏜上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是( )
A．50°B．45°C．140°D．130°
【答案】D
【详解】
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=90°-40°=50°，
∵∠D+∠A=180°，
∴∠D=180°-50°=130°．
故选D．
4．（2018·辽宁中考模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（）
A．60°B．80°C．90°D．100°
【答案】D
【详解】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.
故选D.
知识点三与圆有关的位置关系
点与圆的位置有三种：
三点定圆的方法：
1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

【考查题型汇总】
考查题型九点与圆的位置关系
1．（2018·北京中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（）
A．0＜r＜4B．3＜r＜4C．4＜r＜5D．r＞5
【答案】D
【详解】∵O（0，0），P（3，4），
∴
∵点P(3,4)在⊙O内，⊙O的半径r，
∴r>5，
故选D.
2．（2017·辽宁中考模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC=P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P 是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．
A．点B、C均在圆P外；B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外；D．点B、C均在圆P内．
【答案】C
【详解】
∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，，
=，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
3．（2019·上海中考模拟）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O
外，那么r的值可以取（）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【详解】
∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），
∴OA＝√32+22=√13，
OB＝√32+42＝5，
∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，
∴√13＜r＜5，
∴r＝4符合要求．
故选B．
4．（2016·四川中考模拟）已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）.
A．r＞15B．15＜r＜20C．15＜r＜25D．20＜r＜25
【答案】C
【解析】
当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，
则．由图可知15＜r＜25，故选C．
直线和圆的位置关系
位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
切线的性质及判定（重点）
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
【考查题型汇总】
考查题型十直线与圆的位置关系的应用
1．（2019·吉林中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm 长为半径作圆，试判断⊙C与AB的位置关系．
【答案】相切
【详解】
作CD⊥AB于点D，
∵∠B ＝30°，BC ＝4cm ， ∴CD ＝
1
2
BC ＝2cm ， 即CD 等于圆的半径． ∵CD ⊥AB ， ∴AB 与⊙C 相切．
2．（2014·福建中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，⊙A 的半径为7，判断⊙A 与直线BC 的位置关系，并说明理由．
【答案】⊙A 与直线BC 相交．理由见解析. 【解析】
⊙A 与直线BC 相交． 过A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ．
∵AB=AC ，BC=16， ∴BD=1
2BC=1
2×16=8，
在Rt △ABC 中，AB=10，BD=8， ∴AD=√AB 2−BD 2=√102−82=6， ∵⊙O 的半径为7，
∴AD ＜r ，⊙A 与直线BC 相交．
考查题型十一 利用切线的判定定理判定直线为切线的方法
1．（2018·山东中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC
【解析】
（1）如图，连接BD，
∵∠BAD=90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE∥AC．
∵∠BDE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CB=AB=8，AF=CF=12
AC ， ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠CBD ．
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴△BCD ∽△DCE ， ∴
BD CD CD CE
=， ∴82CD CD =， ∴CD=4．
在Rt △BCD 中，
同理：△CFD ∽△BCD ， ∴CF CD BC BD
=， ∴
8CF =，
∴CF=5
，
∴ 2．（2019·四川中考模拟）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B ＝30°，延长BA 到D ，使∠BDC ＝30°．
(1)求证：DC 是⊙O 的切线；
(2)若AB ＝2，求DC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】
（1）连接OC ．
∵OB=OC ，∠B=30°，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°，
∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC ⊥OC ，
∵BC 是弦，
∴点C 在⊙O 上，
∴DC 是⊙O 的切线，点C 是⊙O 的切点；
（2）解：∵AB=2，
∴OC=OB=2
AB =1， ∵在Rt △COD 中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴.
考查题型十二 三角形内心的应用
1．（2018·河北中考真题）如图，点I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A ．4.5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B 【详解】连接AI 、BI ，
∵点I 为△ABC 的内心，
∴AI 平分∠CAB ，
∴∠CAI=∠BAI ，
由平移得：AC ∥DI ，
∴∠CAI=∠AID ，
∴∠BAI=∠AID ，
∴AD=DI ，
同理可得：BE=EI ，
∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B ．
2．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形ABC 的内切圆分别与AB 、BC 相切于D 点、E 点，根据图中标示的长度与角度，求AD 的长度为何？（ ）
A ．32
B ．52
C ．43
D ．53
【答案】D
【详解】
解：设AD x =，
∵直角三角形ABC 的内切圆分别与AB 、BC 相切于D 点、E 点，
1BD BE ∴==，
1AB x ∴=+，4AC AD CE x =+=+，
在Rt ABC ∆中，()()222154x x ++=+，解得53x =
， 即AD 的长度为
53
． 故选：D ．
3．（2019·安徽中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）
A．56°B．62°C．68°D．78°
【答案】C
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
考察题型十三利用切线长定理进行计算
1．（2019·河南中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，DB=______；
②当∠B=______度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）①3；②45.【详解】
（1）证明：连接DO．
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴
∴，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE=1
2
BC=3，
故答案为3；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为45．
2．（2019·陕西高新一中中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE
(1)求证：EH＝EC；
(2)若AB＝4，sinA＝2
3
，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析（2）6 5
【详解】
(1)如图，连接OE，
∵AC与⊙O相切，
∴OE⊥AC，且BC⊥AC，
∴OE∥BC
∴∠CBE＝∠OEB，
∵EO＝OB，
∴∠EBO＝∠OEB
∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB，∴CE＝EH
(2)∵sinA＝2
3
=
OE
OA
，
∴设OE＝2a，AO＝3a，(a≠0)∴OB＝2a，
∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4
∴a＝4
5
，
∵AD＝AB﹣BD＝4﹣4a
∴AD＝4 5 .
3．（2019·山东中考模拟）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若BD=2
3
AD，AC=3，求CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2．
【解析】
（1）证明：连接OD ，如图所示．
∵OB=OD ，
∴∠OBD=∠ODB ．
∵CD 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC ．
（2）∵∠C=∠C ，∠CAD=∠CDB ，
∴△CDB ∽△CAD ， ∴
BD CD AD AC
=． ∵BD=23
AD ， ∴23
BD AD =， ∴2=3CD AC ， 又∵AC=3，
∴CD=2．
考查题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用
1．（2019·四川中考真题）已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k -++=.
（1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足121134
x x +=，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求Rt ∆ABC 的内切圆半径.
【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）1
【详解】
（1）证明：∵222
(4)16816(4)0k k k k k ∆=+-=-+=-≥， ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得：124x x k +=+，124x x k ⋅=，
121134
x x Q += 121234
x x x x +∴=⋅ 即
4344k k +=， 解得：2k =；
（3）解：
解方程得：14x =，2x k =
根据题意得：22245k +=，即3k =
设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图，
由切线长定理可得：(3)(4)5r r -+-=，
∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =34512
+-=； 2．（2017·江苏中考模拟）实践操作如图，∠△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠BAC 的平分线，交BC 于点0
②以点0为圆心，OC 为半径作圆.综合运用在你所作的图中，
(1)直线AB与⊙0的位置关系是
(2)证明:BA·BD=BC·BO;
(3)若AC=5,BC=12，求⊙0的半径
【答案】实践操作，作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）证明见解析；（3）10 3
【解析】
实践操作，如图所示：
综合运用：
综合运用：
（1）AB与⊙O的位置关系是相切．∵AO是∠BAC的平分线，
∴DO=CO，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AB与⊙O的位置关系是相切；（2）∵AB、AC是切线
∴∠BDO=∠BCA=90°
又∠DBC=∠CBA
∴ΔBDO∽ΔCBA
∴BD BO BC BA
=
即：BD BA BO BC
⋅=⋅
（3）因为AC=5，BC=12，
所以AD=5，AB=13，
所以DB=13﹣5=7，
设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12﹣x），x2+82=（12﹣x）2，
解得：x=10
3
．
答：⊙O的半径为10
3
．
考查题型十五圆内接四边形综合
1.（2016·浙江中考真题）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）π
【解析】
（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD=180°，∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，∵∠DBC=75°，∴∠DCB=∠DBC=75°，∴BD=CD；
（2）∵∠DCB=∠DBC=75°，∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，故===π，
答：的长为π．
2．（2017·江苏中考模拟）如图所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B两点，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO＝120°，求⊙C的半径．
【答案】3. 【详解】
∵四边形ABMO 是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°， ∵AB 是⊙C 的直径， ∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°， ∵点A 的坐标为（0，3）， ∴OA=3， ∴AB=2OA=6， ∴⊙C 的半径长=AB
2=3 圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r （其中R >r ），两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如下表：
【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 【考查题型汇总】
考查题型十六 圆与圆的位置关系
1．（2019·上海中考真题）已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A 、⊙B 都内切，且AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，那么⊙C 的半径长是（ ） A ．11 B ．10
C ．9
D ．8
【答案】C 【详解】
设⊙A 的半径为X,⊙B 的半径为Y,⊙C 的半径为Z.
5
67X Y Z X Z Y +=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
解得932Z X Y =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
故选C
2．（2019·福建中考模拟）如图，已知∠POQ=30°，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的⊙A 与直线OP 相切，半径长为3的⊙B 与⊙A 相交，那么OB 的取值范围是（ ）
A ．5＜O
B ＜9 B ．4＜OB ＜9
C ．3＜OB ＜7
D ．2＜OB ＜7
【答案】A
【详解】设⊙A 与直线OP 相切时切点为D ，连接AD ，
∴AD ⊥OP ， ∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4，
当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为C ，如图1， ∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为E ，如图2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B 与⊙A 相交，那么OB 的取值范围是：5＜OB ＜9， 故选A ．
3．（2019·上海市南塘中学中考模拟） 已知⊙A 的半径AB 长是5，点C 在AB 上，且3AC =，如果⊙C 与⊙A 有公共点，那么⊙C 的半径长r 的取值范围是（ ） A ．2r ≥ B ．8r ≤
C ．28r <<
D ．28r ≤≤
【答案】D 【详解】
解：∵⊙A 的半径AB 长是5，点C 在AB 上，且3AC =，
∴点C 到⊙A 的最大距离为8，最小距离为2， ∵⊙C 与⊙A 有公共点， ∴28r ≤≤． 故选D ．
4．（2011·江苏中考真题）在△ABC 中，∠C=90°．AC=3cm ．BC=4cm ，若⊙A ．⊙B 的半径分别为1cm ，4cm ．则⊙A 与⊙B 的位置关系是 ( ) A ．外切 B ．内切
C ．相交
D ．外离
【答案】A 【详解】 解：
∵∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，
∴，
∵⊙A ，⊙B 的半径分别为1cm ，4cm ， 又∵1+4=5，
∴⊙A 与⊙B 的位置关系是外切． 故选A ．
5．（2019·上海中考模拟）已知⊙1O 和⊙2O ，其中⊙1O 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（ ） A ．1 B ．4
C ．5
D ．8
【答案】B 【详解】
解：已知⊙1O 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2， 故⊙2O 半径为1，
故两圆外切时圆心距等于3＋1＝4.
故选B.
考查题型十七利用圆的相关知识解决动态问题
1．（2019·河南中考模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①当∠DAE＝时，四边形ADFP是菱形；
②当∠DAE＝时，四边形BFDP是正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．
【分析】
（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；
②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．
【详解】
（1）证明：连接OD，如图所示，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF＝90°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AOD＝2∠AED＝90°，。