人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (57)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形
练习题（含答案)
如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，如果BD＝CE，试证明BE＝CD．
【答案】见详解.
【解析】
【分析】
由BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高得出∠BDC=∠CEB=90°，再根据“HL”证△BDC≌△CEB得BE＝CD.
【详解】
证明：∵BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
∵
BD CE BC CB
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴△BDC≌△CEB（HL），∴BE＝CD.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．62．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和CBE全等吗？请说明理由．
【答案】全等，理由见详解.
【解析】
【分析】
由AD∥BC可得∠A=∠C，由AE=CF可得AF=CE，已知AD=CB，从而由“SAS”可证得△ADF≌△CBE．
【详解】
解：全等
∵AD∥BC
∴∠A=∠C
∵AE=CF
∴AF=CE
在△ADF和△CBE中，
∵
AD CB
A C
AF CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，考查三角形全等的判定，注意条件不同判
定也不同，由已知条件得出判定全等所需要的条件是比较关键的．63．（1）（问题情境）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在①ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
①.由已知和作图能得到①ADC①①EDB，依据是________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
①.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）（学会运用）
如图①，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,
∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD．
【答案】（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答；
Ⅱ.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC
可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；
（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可证明结论．
【详解】
解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，
BD CD
BDE CDA DE AD
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选：B；
Ⅱ.∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
∵AB−BE＜AE＜AB＋BE，
∴AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，∴1＜AD＜9，
故答案为：1＜AD＜9；
（2）延长AD至M，使DM＝AD，∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△MCD中，
BD CD
ADB MDC AD DM
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，
∵AB＝CE，
∴CM＝CE，
∵∠BAC＝∠BCA，
∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，
在△ACE和△ACM中，
AC AC
ACE ACM CM CE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ACM≌△ACE（SAS），∴AE＝AM，
∵AM＝2AD，
∴AE＝2AD．
【点睛】
本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．64．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E、F是垂足，AE=DF，AB=DC．求证：AC=DB．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝∠DFC＝90°，推出
Rt△ABE≌Rt△DCF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，推出BF＝CE，证得△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质即可得结论．
【详解】
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠DFB＝∠DFC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB DC AE DF
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝CF，
∴BF＝CE，
在△AEC 和△DFB 中，AEC DFB CE BF ⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝， ∴△AEC ≌△DFB （SAS ），
∴AC ＝DB ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
65．如图，B 、D 、E 在一条直线上，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，
（1）求证：BD=CE
（2）猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）∠3=∠1+∠2，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先求出∠BAD =∠CAE ，然后利用SAS 证明△BAD ≌△CAE 可得BD=CE ；
（2）根据全等三角形对应角相等求出∠ABD=∠2，由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠2.
【详解】
（1）∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC －∠DAC=∠DAE －∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
BAD CAE AD AE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD=CE ；
（2）∠3=∠1+∠2，
理由：∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠ABD=∠2，
∵∠3=∠1+∠ABD ，
∴∠3=∠1+∠2.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，能证明△BAD ≌△CAE 是解此题的关键.
66．已知：如图，AB=DE ，BE=CF ，∠B=∠DEF ．求证：∠A=∠D
证明：∵BE=CF （ ）
∴BE+EC=CF+EC
即(________)
在△ABC 和△DEF 中，
()(?
)(? )AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
已知 ∴∆ABC DFE ≅（ ）
∴∠A=∠D （ ）
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
首先求出BC=EF ，然后根据SAS 证明ABC DFE ≅即可得到∠A=∠D.
【详解】
证明：∵BE=CF （已知），
∴BE+EC=CF+EC ，
即(BC=EF) ，
在△ABC 和△DEF 中，
()()()AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
已知已知已证， ∴∆ABC DFE ≅（SAS ），
∴∠A=∠D （全等三角形，对应角相等）.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
67．如图，,..C D CE DE AE BE ∠=∠==求证：
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据ASA 直接证明△AEC ≌△BED 即可得到AE=BE.
【详解】
证明：在△AEC 和△BED 中，
∵C D CE DE CEA DEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEC ≌△BED （ASA ），
∴AE=BE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
68．如图①，Rt ABC ∆中，90C =∠，D 是AB 的中点，过点D 作DE AC ⊥于点E ；过点B 作BF ED ⊥，交ED 的延长线于点F .
（1）求证：DFB DEA ∆≅∆；
（2）某数学兴趣小组解答（1）后发现，在图中只需将AED ∆剪下来拼到BFD ∆处，就可得到一个与ABC ∆等面积的矩形EFBC 继续讨论后又发现，任意三角形也可以剪拼成一个等面积的矩形，请你在图②中画出一种剪拼示意图，并简要说明作法（不需要证明）
【答案】（1）见解析；（2）如图见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用AAS 即可证明DFB DEA ∆≅∆；
（2）找AC 、BC 的中点，构造以AB 为边的矩形即可.
找AC 、AB 的中点，构造以BC 为边的矩形即可.
找AB 、BC 的中点，构造以AC 为边的矩形即可.
【详解】
（1）证明：∵DE AC ⊥，BF ED ⊥，D 是AB 的中点，
∴90AED BFD ∠=∠=，AD BD =，
∵ADE BDF ∠=∠，即DFB DEA ∆≅∆.
（2）如图：方法比较多
作法① ：找AC 、BC 的中点，作垂线，构造以AB 为边的矩形即可. 作法②：找AC 、AB 的中点，作垂线，构造以BC 为边的矩形即可.
作法③：找AB、BC的中点，作垂线，构造以AC为边的矩形即可.
【点睛】
本题考点涉及三角形全等，（2）难度较大，根据题意分析，找出方法是解答本题的关键.
69．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面说明ΔABC≌ΔDEF的过程和理由补充完整。

解：∵BE=CF （）
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在ΔABC和ΔDEF中
AB= （）
=DF（）
BC=
∴ΔABC≌ΔDEF （）
【答案】已知；DE；已知；AC；已知；EF；SSS.
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法，出现题中已知条件的需写已知．对应线段写在对应位置．三边对应相等的两个三角形全等，利用的是定理：SSS．
【详解】
∵BE=CF(已知)
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中
AB=DE(已知)
AC=DF(已知)
BC=EF
∴△ABC≌△DEF(SSS)
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
70．如图，A（6, 0），B（0, 4），点B关于x轴的对称点为C点，点D在x轴的负半轴上，△ABD的面积是30.
（1）求点D坐标.
（2）若动点P从点B出发，沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P 的运动时间为t秒，△APC的面积为S，求S与t的关系式.
（3）在（2）的条件下，同时点Q从D点出发沿x轴正方向以每秒2个单位速度匀速运动，若点R在过A点且平行于y轴的直线上，当△PQR为以PQ 为直角边的等腰直角三角形时，求满足条件的t值，并直接写出点R的坐标.
【答案】（1）（-9，0）；（2）当0＜t≤8时，S=1
2
×（8-t）×6=-3t+24；
当t＞8时，S=1
2
×（t-8）×6=3t-24；（3）t=10秒或11秒或17秒时，△PQR 是等腰直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形面积公式求出AD即可．
（2）分两种情形①当0＜t≤8时，②当t＞8时，求出△PAC面积即可．（3）分三种情形①如图1中，当∠QPR=90°，PQ=PR时，作RH⊥OP于H，②如图2中，当∠PQR=90°，QR=PQ时，③如图3中，当∠QRP=90°，QR=PR，利用全等三角形的性质列出方程即可解决．
【详解】
解：（1）∵A（6，0），B（0，4），△ABD的面积是30，
∴1
2
•AD•BO=30，
∴1
2
•AD•4=30，
∴AD=15，
∴OD=9，
∴点D坐标为（-9，0）．
（2）∵点B（0，4）关于x轴的对称点为C点，∴点C坐标（0，-4），
∴当0＜t≤8时，S=1
2
×（8-t）×6=-3t+24，
当t＞8时，S=1
2
×（t-8）×6=3t-24．
（3）①如图1中，
图1
当∠QPR=90°，PQ=PR时，作RH⊥OP于H，∵∠QPO+∠RPH=90°，∠QPO+∠PQO=90°，∴∠PQO=∠RPH，
在△PQO和△RPH中，
90POQ PHR PQO RPH
PQ PR ∠∠︒∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝＝ ∴△PQO ≌RPH ，
∴RH=PO ，
∵四边形AOHR 是矩形，
∴RH=AO=6，
∴OP=6，
∴t-4=6，
∴t=10．
②如图2中，
图2
当∠PQR=90°，QR=PQ 时，
∵∠RQA+∠OQP=90°，∠OQP+∠OPQ=90°，
∴∠RQA=∠OPQ ，
在△ARQ 和△OQP 中，
RAQ POQ RQA OPQ QR PQ ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ARQ ≌△OQP ，
∴OP=AQ ，
∴t-4=2t-15，
∴t=11．
③如图3中，
图3
当∠QRP=90°，QR=PR ，
∵∠RQA+∠PRH=90°，∠PRH+∠RPH=90°，
∴∠QRA=∠RPH ，
在△AQR 和△HRP 中，
∠QRA＝∠RPH
∠QAR＝∠RHP
QR＝PR
∴△AQR≌△HRP，
∴AQ=RH，AR=PH=AO=6，
∴OP=AH=RH-AR=AQ-AR=AQ-6
∴t-4=2t-15-6，
∴t=17．
综上所述t=10秒或11秒或17秒时，△PQR是等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出图形，利用全等三角形性质解决问题，学会分类讨论，用方程的思想去思考问题，属于中考压轴题．。