人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》测试(含答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC中，AB边上的高为（）
A．CG B．BF C．BE D．AD 2．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．1
3
，
1
4
，
1
5
D．1，2，3
3．若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（）
A．6 B．3 C．2 D．11
4．已知长度分别为3cm，4cm，xcm的三根小棒可以摆成一个三角形，则x的值不可能是（）
A．2.4 B．3 C．5 D．8.5
5．内角和为720°的多边形是（）．
A．三角形B．四边形
C．五边形D．六边形
6．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（）
A．18 B．19 C．20 D．21
7．下列长度的线段能组成三角形的是（）
A．2，3，5 B．4，6，11 C．5，8，10 D．4，8，4
8．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）
A．8 B．5 C．6 D．7
9．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）
A．20米B．15米C．10米D．5米
10．下列说法正确的有（）个
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C、D两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n
n-条对角线，这些对角线把这个边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3
n边形分成了()2
n-个三角形．
A．3 B．2 C．1 D．0
11．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E的大小为（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
12．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（）
A．50°B．65°C．35°D．15°
二、填空题
13．在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．
14．如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__．
∠+∠+∠+∠+∠的度数为________．
15．如图，则A B C D E
16．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ︒︒︒，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．
17．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．
18．将一副直角三角尺所示放置，已知//AE BC ，则AFD ∠的度数是__________．
19．过n 边形的一个顶点有9条对角线，则n 边形的内角和为______．
20．如图，已知ABC 的角平分线BD ，CE 相交于点O ，∠A=60°，则
∠BOC=__________．
三、解答题
21．如图①，在ABC 中，,CD CE 分别是ABC 的高和角平分线，
(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>
（1）若70,40BAC B ︒︒∠=∠=，求DCE ∠的度数
（2）若(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，则DCE ∠= (用含,αβ的代数式表示)； （3）若将ABC 换成钝角三角形，如图②，其他条件不变，试用含,αβ的代数式表示DCE ∠的度数，并说明理由；
（4）如图③，若CE 是ABC 外角ACF ∠的平分线，交BA 延长线与点E ，且30αβ︒-=，则DCE ∠= (直接写出结果)
22．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．
（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______；
（2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______；
（3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；
（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．
23．如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE ⊥BC 于点E ．
（1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE 的度数；
（2）若∠C ＞∠B ，试说明∠DAE=12
(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A 在AD 上移动到A′处，A′E ⊥BC 于点E ．此时∠DAE 变成∠DA′E ，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？
24．如图所示，已知AD ，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB =3cm ，AC =4 cm ，BC=5 cm ，∠CAB =90°．
(1)求AD 的长．
(2)求△ABE 的面积．
25．如图，有一块直角三角板XYZ 置在ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．ABC 中，30A ∠=︒．
（1）ABC ACB ∠+∠=________．
（2）ABX ACX ∠+∠=________．（说明理由）
26．平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小．
（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC ．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
在ABC中，过C点向AB所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB上的高，由此可得答案．
【详解】
解：ABC中，AB边上的高为：.
CG
故选：.A
【点睛】
本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.
【详解】
∵4+5＞6，
∴能构成三角形；
∵1.5+2＞2.5，
∴能构成三角形；
∵1
4+
1
5
＞
1
3
，
∴能构成三角形；
∵2＜1+2=3，
∴不能构成三角形；
故选D.
【点睛】
本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键.
3．A
解析：A
【分析】
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．
【详解】
解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，
∴7-3＜x＜7+3，
即4＜x＜10，
四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．D
解析：D
【分析】
先根据三角形的三边之间的关系求解1＜x＜7，从而可得答案．
【详解】
解：长度分别为3cm，4cm，xcm的三根小棒可以摆成一个三角形，
+，
∴-＜x＜43
43
∴＜x＜7，
1
x的值不可能是8.5.
故选：.D
【点睛】
本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键．5．D
解析：D
【分析】
根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数．
【详解】
解：依题意有（n-2）•180°=720°，
解得n=6．
该多边形为六边形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键．6．A
解析：A
【分析】
设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列方程求解即可．
【详解】
设多边形的边数为n，
由题意得，（n−2）•180＝160•n，
解得：n＝18，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+6＜11，不能组成三角形，不符合题意；
C、5+8>10，能组成三角形，符合题意；
D、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
8．C
解析：C
【分析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【详解】
解：①长度分别为5、4、5，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、7、5，不能构成三角形；
③长度分别为2、3、9，不能构成三角形；
④长度分别为7、3、4，不能构成三角形；
⑤长度分别为3、5、6，能构成三角形，且最长边为6；
⑥长度分别为2、4、8，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
9．D
解析：D
【分析】
连接AB ，根据三角形三边的数量关系得到AB 长的范围，即可得出结果．
【详解】
解：如图，连接AB ，
∵15AO m =，10OB m =，
∴15101510AB -<<+，即525AB <<．
故选：D ．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质．
10．C
解析：C
【分析】
分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可．
【详解】
解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误； ②连接C 、D 两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；
③两点之间线段最短，故原说法错误；
④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；
⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形，此说法正确．
所以，正确的说法只有1个，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．
11．D
解析：D
【分析】
先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB ∥CD 得到∠B+∠C=180°，即可
求出∠E 的大小．
【详解】
解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，
∵AB ∥CD ，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°．
故选：D
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
12．C
解析：C
【分析】
先根据平行线的性质，得出A DOE ∠=∠，再根据DOE ∠是OCE ∆的外角，即可得到C ∠的度数．
【详解】
解：∵AB//CD ，45A ∠=︒，
∴45DOE ∠=︒，
∵DOE E C ∠=∠+∠，
∴501535C DOE E ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，正确得出DOE ∠的度数是解题的关键．
二、填空题
13．30°90°或40°80°【分析】根据倍角三角形的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论【详解】在△ABC 中不妨设∠A=60①若∠A=2∠C 则∠C=30∴∠B=；②若∠C=2∠A 则∠C=1
解析：30°，90°或40°，80°
【分析】
根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．
【详解】
在△ABC 中，不妨设∠A=60︒，
①若∠A=2∠C ，则∠C=30︒，
∴∠B=180603090︒-︒-︒=︒；
②若∠C=2∠A ，则∠C=120︒，
∴∠B=180601200︒-︒-︒=︒(不合题意，舍去)；
③若∠B=2∠C ，则3∠C 18060=︒-︒=120︒，
∴∠C 4=0︒，∠B=180604080︒-︒-︒=︒；
综上所述，其它两个内角的度数分别是：30︒，90︒或40︒，80︒．
【点睛】
本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
14．3<a<13【分析】根据三角形的三边关系解答【详解】由题意得：8-5<a<8+5∴3<a<13故答案为：3<a<13【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边
解析：3<a<13
【分析】
根据三角形的三边关系解答．
【详解】
由题意得：8-5<a<8+5，
∴3<a<13，
故答案为：3<a<13．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．
15．180°【分析】两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2再通过三角形的内角和定理即可求解【详解】解：如图∵∠1是△CDF 外角
∴∠C+∠D=∠1∵∠2是三角形BFG 外角∴∠B+∠1=∠2∴∠
解析：180°
【分析】
两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2，再通过三角形的内角和定理即可求解
【详解】
解：如图，∵∠1是△CDF 外角，
∴∠C+∠D=∠1，
∵∠2是三角形BFG 外角，
∴∠B+∠1=∠2，
∴∠B+∠C+∠D=∠2，
∴=2180A B C D E A E ∠+∠+∠+∠+∠∠+∠+∠=︒．
故答案为：180°
【点睛】
本题考查了三角形的外角定理、内角和定理，通过三角形的外角定理将∠B+∠C+∠D 转化为∠2是解题关键．
16．（3876）（3381）【分析】根据和谐数对的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨论从而得出结论【详解】解：当时180-66=114则114÷3=3838×2=76此时和谐数对
解析：（38，76），（33，81） 060x ︒<<︒
【分析】
根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当060x ︒<<︒时，当60120x ︒<︒时，当120180x ︒<︒时，三种情况讨论，从而得出结论．
【详解】
解：当66x =时，
180-66=114，
则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），
或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），
若对应的和谐数对(,)y z 有三个，
当060x ︒<<︒时，它的和谐数对有(1803,2)x x ︒-，3(,180)22x x ︒-，180(3
x ︒-，2(180))3
x ︒-； 当60120x ︒<︒时，它的和谐数对有3(,180)22x x ︒-，180(3
x ︒-，2(180))3x ︒-， 当120180x ︒<︒时，它的和谐数对有180(3
x ︒-，2(180))3x ︒-， ∴对应的和谐数对(,)y z 有三个时，此时x 的范围是060x ︒<<︒，
故答案为：（38，76），（33，81）；060x ︒<<︒．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
17．④【分析】四边形的内角和是根据四边形内角的性质选出正确选项【详解】解：①错误如果四个角都是锐角那么内角和就会小于；②错误可以是四个直角；③错误可以是四个直角；④正确故选：④【点睛】本题考查四边形内角
解析：④
【分析】
四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．
【详解】
解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；
②错误，可以是四个直角；
③错误，可以是四个直角；
④正确．
故选：④．
【点睛】
本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．
18．【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答【点睛】解：由三角板的性质可知
∠EAD=45°∠C=30°∠BAC=∠ADE=90°∵AE∥BC∴∠EAC=∠C=30°∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=
解析：75
【详解】
根据平行线的性质及三角形内角和定理解答．
【点睛】
解：由三角板的性质可知∠EAD=45°，∠C=30°，∠BAC=∠ADE=90°．
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C=30°，
∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°．
∴∠AFD=180°-∠ADE-∠DAF=180°-90°-15°=75°．
故答案为：75°．
本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．
19．1800°【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得n-3=9求出n的值最后根据多边形内角和公式可得结论【详解】解：由题意得：n-3=9解得n=12则该n边形的内角和是：（12-2
解析：1800°
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=9，求出n的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
【详解】
解：由题意得：n-3=9，解得n=12，
则该n边形的内角和是：（12-2）×180°=1800°，
故答案为：1800°．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．
20．【分析】根据三角形的内角和定理角平分线的定义即可得【详解】BDCE是的角平分线故答案为：【点睛】本题考查了三角形的内角和定理角平分线的定
义熟练掌握角平分线的定义是解题关键
解析：120︒
【分析】
根据三角形的内角和定理、角平分线的定义即可得．
【详解】
60A ∠=︒，
180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，
BD 、CE 是ABC 的角平分线，
11,22
OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ()1602
OBC OCB ABC ACB +=∠+∠∴=∠∠︒， ()180********OBC OCB BOC ∠=︒-︒∴∠+∠=︒=-︒，
故答案为：120︒．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
三、解答题
21．（1）15°；（2）
1122a β-；（3）1122a β-，理由见解析；（4）75°． 【分析】
（1）根据三角形的内角和180°解得=70BCA ∠︒、20DCA ∠=︒，再根据角平分线的性质，得到35ACE ∠=︒，最后由DCE ACE DCA ∠=∠-∠解题即可；
（2）根据三角形的内角和180°解得BCA ∠、DCA ∠的度数，再根据角平分线的性质，得到ACE ∠的度数，最后由DCE ACE DCA ∠=∠-∠解题即可；
（3）根据三角形的内角和180°解得BCA ∠、DCA ∠的度数，再根据角平分线的性质，得到BCE ∠的度数，最后由DCE BCD BCE ∠=∠-∠解题即可；
（4）根据角平分线的性质，12FCE ECA FCA ∠=∠=
∠，结合三角形一个外角等于不相邻的两个内角和，解得1()2
ECA αβ∠=+，根据三角形的内角和180°解得DCA ∠的度数，最后由DCE DCA ACE ∠=∠+∠解题即可．
【详解】
（1）180BAC B BCA ∠+∠+∠=︒，70,40BAC B ∠=︒∠=︒
=180704070BCA ∴∠︒-︒-︒=︒ CE 平分BCA ∠
11703522
ACE BCA ∴∠=∠=⨯︒=︒， CD AB ⊥
180907020DCA ∴∠=︒-︒-︒=︒
352015DCE ACE DCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；
（2）若(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，
=180BCA αβ∴∠︒-- CE 平分BCA ∠
1111(180)902222
ACE BCA αβαβ∴∠=∠=︒--=︒--， CD AB ⊥
1809090DCA αα∴∠=︒-︒-=︒-
11119022(90)22
DCE ACE DCA αβαβα∴∠=∠-∠=-︒-=︒---， 故答案为：1122
a β-； （3）若将ABC 换成钝角三角形，(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，
=180BCA αβ∴∠︒-- CE 平分BCA ∠
1111(180)902222
BCE ACE BCA αβαβ∴∠=∠=∠=︒--=︒--， CD AB ⊥
1809090BCD ββ∴∠=︒-︒-=︒-
DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠
1190(90)22
βαβ=︒--︒-- 0119022
9βαβ︒+=︒--+ 1122
αβ=- 故答案为：1122αβ-
； （4）CE 是ABC 外角ACF ∠的平分线，
12
FCE ECA FCA ∴∠=∠=∠ 由三角形的外角性质得，
11=()22FCE ECA FCA αβ∴∠=∠=∠+ CD AB ⊥
1809090ACD αα∴∠=︒-︒-=︒-
DCE ACD ACE ∴∠=∠+∠
190()2
ααβ=︒-++ 119022
αβ=︒-+ 190()2
αβ=︒-- 30αβ-=︒
19030752
DCE ∴∠=︒-⨯︒=︒ 故答案为：75︒．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形内角和180°、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+
∠． 【分析】
（1）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；
（2）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；
（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；
（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+
12
∠A ． 【详解】
解：如下图所示，
（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，
∴∠2+∠4=20°+30°=50°，
∴△BCP 中，∠P=180°-50°=130°，
故答案为：130°；
（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，
∴∠2+∠4=12
×110°=55°， ∴△BCP 中，∠P=180°-55°=125°，
故答案为：125°；
（3）∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，
∴∠2+∠4=12
×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，
故答案为：135°；
（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ， ∴124(180)2
A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-
⨯︒-∠=︒+∠∠． 故答案为：1902
A ︒+
∠． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
23．（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD 的度数，在△ABE 中，利用直角三角形的性质求出∠BAE 的度数，从而可得∠DAE 的度数． （2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．
（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B 和∠C 表示出∠A′DE ，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=
12(∠C-∠B)． 【详解】
（1）∵∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，
∵AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=
12
∠BAC=30°， ∵AE ⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；
（2）理由：∵AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=
12∠BAC=12(180°-∠B-∠C)= 90°-12∠B-12∠C ， ∵AE ⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=90°-∠B ，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD
=(90°-∠B) -(90°-12∠B-12
∠C ) =
12∠C-12
∠B =12(∠C-∠B)； （3）（2）中的结论仍正确．
∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+
12∠BAC=∠B+12(180°-∠B-∠C) = 90°+12∠B-12∠C ； 在△DA′E 中，
∠DA′E=180°-∠A′ED -∠A′DE
=180°-90°-(90°+
12∠B-12∠C) =12
(∠C-∠B)． 【点睛】
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
24．（1）
125cm ；（2）3cm 2 【分析】
（1）利用“面积法”来求线段AD 的长度；
（2）△AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角形，它们的面积相等
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AD 是边BC 上的高， ∴12AB•AC=12
BC•AD ， ∴341255
AB AC AD BC ⋅⨯===（cm ），即AD 的长度为125cm ； （2）如图，∵△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，
∴S △ABC =12AB•AC=12
×3×4=6（cm 2）． 又∵AE 是边BC 的中线，
∴BE=EC ， ∴12BE•AD=12
EC•AD ，即S △ABE =S △AEC ， ∴S △ABE=
12S △ABC =3（cm 2）． ∴△ABE 的面积是3cm 2．
【点睛】
本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD ． 25．（1）150︒ （2）60︒；理由见解析
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可求得答案；
（2）先求得XBC XCB ∠+∠=90°，再根据
ABX ACX ∠+∠()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，30A ∠=︒，
∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠
18030=︒-︒
150=︒，
故答案为：150°；
（2）60ABX ACX ∠+∠=︒，
理由如下：∵180XBC XCB X ∠+∠+∠=︒，90X ∠=︒，
∴180XBC XCB X ∠+∠=︒-∠
18090=︒-︒
90=︒，
∴ABX ACX ∠+∠
ABC XBC ACB XCB =∠-∠+∠-∠
()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠
15090=︒-︒
60=︒，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键． 26．（1）33°；（2）123°
【分析】
（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，
BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．
（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．
【详解】
解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：
∵MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，
∴设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，
∵∠BEM 是△ABE 和△MCE 的外角，
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，
即：∠M+b=24°+a①，
又∵∠MFD 是△MAF 和△CDF 的外角，
可得∠M+a=42°+b②，
①式＋②式得2∠M=24°+42°，
解得：∠M=33°，
∴=33AMC ∠︒．
（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:
∵NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，
∴设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ，
∵∠BFD 是△ABF 和△FCD 的外角，
∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，
即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，
可得m+n=81°①，
又∵∠AGC 是△NGC 和△ABG 的外角，
可得∠N+n=24°+(180°-m ），
得∠N=204°-（m+n ）②，
①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，
∴123ANC ∠=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．。