高中数学必修三(人教版)7.3.2正弦型函数

解答本题可由最高点、最低点确定 A，再由周期确定 ω，然后 由图像所过的点确定 φ.
【解析】 由图像，知 A＝3，T＝π， 又图像过点 A(－π6，0)， ∴所求图像由 y＝3sin 2x 的图像向左平移π6个单位得到， ∴y＝3sin2x＋π6，即 y＝3sin2x＋3π.
方法归纳
确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是 φ 的确定，常用方 法有：
题型四 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称性 例 4 已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)． (1)若函数 f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求 φ 的值；
(2)若函数 f(x)＝sin(2x＋φ)关于 x＝π8对称，求出 φ 的值及 f(x) 的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
7.3.2 正弦型函数y＝Asin(ωx ＋φ)的性质与图像
最新课程标准：(1)了解正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义 及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．(重 点)
(2)会用“图像变换法”作正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图 像．(难点)
知识点一 正弦型函数 (1)形如 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 都是常数)的函数，通常 叫做正弦型函数． 2π (2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)ω(其中 A≠0，ω＞0，x∈R)的周期 T＝ ___ω_______，频率 f＝____2_π_____，初相为____φ______，值域为 [－__|A_|_，__|A_|_]，___|_A_| ___也称为振幅，|A|的大小反映了 y＝Asin(ωx＋φ) 的波动幅度的大小．
④向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
解析：y＝sin x―向―π6个左―单―平位―移→y＝sinx＋π6原―来――的横―3坐倍―标―纵伸―坐长―标到―不―变→ y＝sin3x＋6π.
答案：③
题型三 求 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例 3 如图所示的是函数 y＝Asin(ωx＋φ)|φ|<π2的图像，确定其 一个函数解析式．
知识点二 A，ω，φ 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响(1)φ 对 函数 y＝sin(x＋φ)图像的影响：
左
右
(2)ω 对函数 y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：
缩短 伸长
(3)A 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响： 伸长 缩短
(4)用“变换法”作图： y＝sin x 的图像向 ―左―平―移φ＞―|φ―0|个―或单―向位―长右―度―φ→＜0y＝sin(x＋φ)的图
跟踪训练 3 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2在 一个周期内的部分函数图像如图所示，求此函数的解析式．
解析：由图像可知 A＝2，T2＝43－13＝1，∴T＝2， ∴T＝2ωπ＝2，∴ω＝π， ∴y＝2sin(πx＋φ)． 代入(13，2)得 2sinπ3＋φ＝2， ∴sinπ3＋φ＝1，∵|φ|＜π2， ∴φ＝π6，∴y＝2sinπx＋π6.
教材反思
(1)φ 对函数 y＝sin(x＋φ)的图像的影响 函数 y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中 φ≠0)的图像，可以看作是把正 弦曲线上所有的点向左(当 φ>0 时)或向右(当 φ<0 时)平行移动|φ|个 单位长度而得到． (2)ω(ω>0)对函数 y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响 函数 y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中 ω>0，且 ω≠1)的图像，可以 看作是把 y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当 ω>1 时)或 伸长(当 0<ω<1 时)到原来的ω1 倍(纵坐标不变)而得到的．
ω－φ，0(k∈Z)成中心对称．
方法归纳
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调 性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．
(2)有关函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体 代换思想的运用．
跟踪训练 4 函数 f(x)＝3sin2x－3π的图像为 C，则以下结论中 正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
161π
73π
x－π3 0
π 2
π
3 2π
2π
y 35 3 1 3
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得 y＝2sinx－π3＋3 的图像．
由图像可知函数的定义域为 R，值域为[1,5]， 周期为 T＝2ωπ＝2π，频率为 f＝T1＝21π，初相为 φ＝－π3，最大值 为 5，最小值为 1.
由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向 左、向下移动．
【解析】 法：
y＝sin x
y＝sin 2x y＝sin2x＋3π―纵―坐――标―变―为―原―来―的―2―倍―，―横―坐―标――不―变→ y＝2sin2x＋3π―向―下―平―移―2―个―单―位→ y＝2sin2x＋3π－2.
法二：y＝sin x
跟踪训练 1 作出函数 y＝ 2sin2x－4π在 x∈[π8，34π]上的图像．
解析：令 X＝2x－π4，列表如下：
X0
π 2
π
3π 2
2π
x
π 8
3π 8
5π 8
7π 8
9π 8
y 0 2 0 －2 0
描点连线得图像如图所示．
题型二 三角函数的图像变换
例 2 函数 y＝2sin2x＋3π－2 的图像是由函数 y＝sin x 的图像 通过怎样的变换得到的？
跟踪训练 2 为了得到函数 y＝sin3x＋6π，x∈R 的图像，只需 把函数 y＝sin x，x∈R 的图像上所有的点：
①向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍 (纵坐标不变)；
②向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍 (纵坐标不变)；
③向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)；
像
y ＝ sin(ωx ＋ φ) 的 图 像
纵―坐―标―变横―为坐―原―标―来不―的变――A→倍y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
状元随笔 由 y ＝sin x 的图像，通过怎样的变换可以得到 y
＝Asin(ωx ＋φ)的图像？ [提示] 变化途径有两条： (1)y ＝sin x 相位变换，y ＝sin(x ＋φ)周期变换，y ＝sin(ωx ＋
函数 y＝Asin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令 sin(ωx ＋φ) ＝
±1，得 ωx
＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则 x＝2k
＋1π 2ω
－2φ(k∈Z)，所以
函数
y
＝Asin(ωx
＋φ)的图像的对称轴方程为
x
＝2k
＋1π－2φ 2ω
(k∈Z)．
2．如何求函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的对称中心？
①图像 C 关于直线 x＝1π2对称； ②图像 C 关于点23π，0对称； ③函数 f(x)在区间－1π2，51π2内是增函数； ④由 y＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像 C.
解析：f1π2＝3sin2×1π2－π3＝3sin－π6＝－32. f23π＝3sin43π－π3＝0，故①错，②正确． 令－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z， 解得－1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ，k∈Z，故③正确． 函数 y＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位，得到函数 y＝3sin 2x－π3＝3sin(2x－23π)的图像，故④错． 答案：②③
由 2x＋π4＝kπ，得 x＝k2π－π8(k∈Z)， ∴f(x)的对称轴方程为 x＝k2π＋π8(k∈Z)， 对称中心k2π－π8，0(k∈Z)．
状元随笔 1.如何求函数 y＝Asin(ωx ＋φ)的对称轴方程？
[提示] 与正弦曲线一样，函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称
轴通过函数图像的最值点且垂直于 x 轴．
[提示] 与正弦曲线一样，函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)图像的对称
中心即函数图像与 x 轴的交点．
函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令 sin(ωx ＋φ) ＝0，
得 ωx ＋φ ＝kπ(k∈Z)，则 x ＝kπ ω－φ(k∈Z)，所以函数 y ＝Asin(ωx
＋φ)的图像关于点kπ
(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时 A，ω 已知)或代 入图像与 x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下 降区间上)．
(2)五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零
点(－ωφ，0)作为突破口．“五点”的 ωx＋φ 的值具体如下： “第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图像的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图像下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π； “第五点”为 ωx＋φ＝2π.
φ)振幅变换，y ＝Asin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x 周期变换，y ＝sin ωx 相位变换，y ＝sin(ωx ＋φ)
振幅变换，y ＝Asin(ωx ＋φ)．
[基础自测]
1．函数 y＝4sin2x＋3π＋1 的最小正周期为(
)
π A.2
B．π
C．2π D．4π
解析：T＝22π＝π. 答案：B
令 2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)得原函数的增区间为[2kπ－π6，
2kπ＋56π](k∈Z)．
令 2kπ＋π2≤x－π3≤2kπ＋32π(k∈Z)得原函数的减区间为[2kπ＋56
π，2kπ＋161π](k∈Z)．
令
x－
π 3
＝ kπ ＋ π2
(k∈Z) 得 原
函数的对称
轴方
程为
x＝
y＝sinx＋π3 y＝sin2x＋3π纵―坐――标―变―为―原―来―的―2―倍―，―横―坐―标――不→变 y＝2sin2x＋3π向―下――平―移―2个――单→位 y＝2sin2x＋3π－2.
方法归纳
三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略 (1)确定函数 y＝sin x 的图像经过平移变换后图像对应的解析 式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注 意平移只对“x”而言． (2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将 解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．
kπ ＋
5 6
π(k∈Z)．
方法归纳
(1)用五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令 ωx＋φ 分别为 0， π2，π，32π，2π，然后解出自变量 x 的对应值，作出一周期内的图像．
(2)求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把 x 的系数化为正值， 然后利用整体代换，把 ωx＋φ 代入相应不等式中，求出相应的变量 x 的范围．
3．已知函数 y＝3sin15x＋7π，则该函数的最小正周期、振幅、 初相分别是________，________，________.
解析：由函数 y＝3sin15x＋7π的解析式知，振幅为 3，最小正周
期为 T＝2ωπ＝10π，初相为π7.
答案：10π
3
π 7
4．函数 y＝sinx＋π4在 x∈[0，π]上最小值为__－___22___．
【解析】 (1)∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋π2， 又 φ∈(0，π)，∴φ＝π2.
(2)∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于 x＝π8对称， ∴f(0)＝fπ4，即 sin φ＝sinπ2＋φ＝cos φ， ∴tan φ＝1，φ＝kπ＋π4(k∈Z)． 又 φ∈(0，π)，∴φ＝π4，∴f(x)＝sin2x＋π4. 由 2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k2π＋π8(k∈Z)，
2．要得到函数 y＝2sinx＋π3的图像．只需将函数 y＝2sin x 的 图像( )
A．向左平移π3个单位 B．向右平移π3个单位 C．向左平移π6个单位 D．向右平移π6个单位
解析：根据相位变换的左加右减有：y＝2sin x 向左移动π3个单 位得到 y＝2sinx＋π3.
答案：A 点睛：本题考查三角函数的图像变换中的相位变换，难度较 易．相位变换时注意一个原则：左加右减．
题型一 正弦型函数的图像与性质 例 1 用五点法作函数 y＝2sinx－π3＋3 的图像，并写出函数 的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方 程．
先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、 右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
【解析】 ①列表：
x
π 3
56π
43π