高二数学积分试题答案及解析

高二数学积分试题答案及解析
1.曲线y=x2﹣1与直线x+y=1围成的图形的面积为．
【答案】.
【解析】作出图像（如图所示），联立，得或，
则..
【考点】定积分的几何意义.
2.等于（）
A．1B．C．D．+ 1
【答案】B
【解析】．
【考点】微积分基本定理的应用．
3.等于（）
A．B．2C．-2D．+2
【答案】D
【解析】因为= =，故选D.
【考点】定积分
4.如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元.
（1）求等待开垦土地的面积；
（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.
【答案】（1）;（2）点C的坐标为.
【解析】（1）由于等待开垦土地是由曲线与x轴围成的，求出曲线与x轴的交点坐标，再用定积分就可求出此块土地的面积；（2）既然要确定点C的位置，使得整块土地总价值最大,
那我们只需先设出点C的坐标为(x，0)，然后含x的代数式表示出矩形地块ABCD，进而结合（1）的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为x的函数，
再利用导数求此函数的最大值即可．
试题解析：（1）由于曲线与x轴的交点坐标为（－１，0）和(１,0),所以所求面积S=
，
故等待开垦土地的面积为 3分
（2）设点C的坐标为，则点B其中，
∴ 5分
∴土地总价值 7分
由得 9分
并且当时，
故当时，y取得最大值. 12分
答：当点C的坐标为时，整个地块的总价值最大. 13分
【考点】1.定积分;2.函数的最值.
5.定积分= .
【答案】.
【解析】.
【考点】定积分的计算.
6.若的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据定积分的可加性，可得
，故选C．
【考点】定积分的计算．
7.曲线与坐标轴所围成图形面积是()
A．4B．2C．D．3
【答案】D
【解析】===3
【考点】定积分的计算.
8.则常数T的值为．
【答案】3
【解析】,所以.
【考点】定积分的计算.
9.设则 ()
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【解析】
，故选C.
【考点】定积分的计算.
10.定积分等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，故选A.
【考点】定积分的运算.
11.函数f(x)＝x2在区间上()．
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
【答案】D
【解析】当n很大时，区间的长度越小，f(x)的值变化很小
12.计算下列定积分．
（1）（2）
【答案】（1）；（2）1．
【解析】（1）含绝对值的式子的积分，一般要分类分段计算，实质就是去绝对值符号，按绝对值的正负分段；（2）一次分式函数积分公式：．
试题解析：（1）；
（2）.
【考点】（1）分段函数的积分；（2）一次分式的积分.
13.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2，即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴
所围成的三角形的面积为：，故答案为D.
【考点】线的方程、三角形的面积、导数的几何意义
点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14.由曲线与的边界所围成区域的面积为
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】由题意所求区域为如图阴影
，∴，故选A
【考点】本题考查了定积分的运用
点评：确定积分区间及掌握定积分的几何意义是解决此类问题的关键，属基础题
15.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】阴影部分的面积为，所以，点M取自阴影部分的概率为
=，故选B。

【考点】本题主要考查定积分计算，几何概型概率的计算。

点评：解答题，几何概型概率的计算，关键是明确“平面区域”的“几何度量”，利用定积分解决面积计算问题。

16.定积分
【答案】
【解析】，由定积分的几何意义可知的
值等于圆面积的，即
所以原式等于
【考点】定积分
点评：求定积分关键是找到被积函数的原函数，本题中被积函数的原函数不易求出，
因此结合定积分的几何意义（函数图象在x轴上方时，定积分值等于直线
与曲线围成的图形面积）可求其值
17.已知，则二项式展开式中含项的系数是_________.
【答案】－192
【解析】因为=2，
所以展开式中通项为，令3－r=2，
得r=1,
含项的系数是－192.
【考点】本题主要考查定积分计算，二项式定理的通项公式。

点评：小综合题，将定积分计算与二项式定理的通项公式综合考查，思路明确，拼凑痕迹明显。

18.由直线，曲线及轴所围图形的面积为
A．3B．7C．D．
【答案】C
【解析】由题意画出图形，再利用定积分即可求得。

根据题意，由于由直线，曲线
及轴所围图形的面积为，故可知结论得到的答案为C
【考点】微积分基本定理
点评: 本题主要考查定积分求面积
19.一物体沿直线以速度（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该
物体从时刻秒至时刻秒间运动的路程
【答案】4
【解析】先求出v（t）=2t在t∈（0，2）的符号，然后分别求出每一段的定积分，最后相加即可
求出所求.根据题意，由于该物体从时刻秒至时刻秒间运动的路程为
，故答案为4.
【考点】定积分
点评: 本题主要考查了定积分，定积分是理科考查的附加题，属于基础题之列。

20.计算由曲线，直线以及两坐标轴所围成的图形的面积S.
【答案】10/3
【解析】解：如图，由与直线x+y=3在点(1，2)相交, 2分
直线x+y=3与x轴交于点(3，0) 3分
所以,所求围成的图形的面积，其中被积函数f(x) 6分
11分
所以,所求围成的图形的面积为10/3 12分
【考点】定积分的计算
点评：考查了了微积分基本定理，来求解曲边梯形的面积，属于基础题。

所走过的路程为（）
21.已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】物体从t=0到t
所走过的路程为，故选A。

【考点】本题主要考查定积分的计算。

所走过的路程为自由下落物体的速度为点评：简单题，由路程一速度的关系，物体从t=0到t
V=gt的定积分。

22.求由曲线与，，所围成的平面图形的面积。

【答案】1
【解析】
【考点】本题主要考查定积分的几何意义。

点评：简单题，分析函数图象，明确所求面积图形特征，利用定积分计算面积。

23.若，则k=
A．1B．0C．0或1D．以上都不对
【答案】C
【解析】因为，所以，解得k=0或1，故选Ｃ。

【考点】微积分基本定理
点评：给出定积分的值，来求出区间是一类题目，解决此类题目要对微积分基本定理由一定了解。

24.（本小题满分12分）
已知曲线f (x ) =" a" x 2＋2在x=1处的切线与2x-y+1=0平行
（1）求f (x )的解析式
（2）求由曲线y="f" (x ) 与，，所围成的平面图形的面积。

【答案】（1）f(x)=x2+2（2）1
【解析】解：（1）由已知得：f'(1)=2,求得a=1
f(x)=x2+2
（2）由题意知阴影部分的面积是：
【考点】导数的几何意义；定积分。

点评：导数的几何意义，就是函数在某处切线的斜率，而求定积分常要求出被积函数的原函数，
这是一个难点。

25.已知钝角△ABC的最长边为2，其余两边的长为、，则集合所表示的
平面图形面积等于（）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】由钝角三角形ABC的最长边的长为2，其余两边长为a、b，由余弦定理可得＜4，再由两边之和大于第三边，得a+b＞2，且a＞0，b＞0，点P表示的范围如下图所示，
由图可得可行域的面积为π-2，故选B
【考点】本题考查了线性规划的运用
点评：对于此类问题根据已知结合余弦定理及钝角三角形的性质特征求出约束条件是解答的关键26.曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，由于曲线,可知在点x=1处的切线的斜率为3，点的坐标为（1，1），则由点斜式方程得到为y-1=3(x-1)，3x-y-2=0,故可知其与x轴的交点为
（），那么得到的三角形的面积为S=,故选D.
【考点】本试题考查了导数的几何意义的运用。

点评：解决该试题的关键是求解曲线在某一点的导数值，结合导数的几何意义，来表示切线方程，进而得到与x轴交点的坐标，得到三角形的面积，属于基础题。

27.已知，则（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【考点】定积分.
点评：求解本题的关键是确定的原函数为，再利用定积分公式计算即可.
28.由曲线，以及所围成的图形的面积等于 .
【答案】
【解析】画出简图可知
【考点】本小题主要考查利用定积分求曲边图形的面积，考查学生的画图能力和分析问题解决问
题的能力.
点评：求解此类问题画出图形，确定积分的上下限是求解的关键，还要注意把定积分与利用定积
分计算曲线围成图形的面积区别开：定积分可正可负也可为零，但平面图形的面积在一般意义上
总为正.
29.dx等于
【答案】ln2
【解析】因为
30.等于（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为，选C
31.（本小题满分12分）如图，抛物线上有一点，，过点引抛物线的切
线分别交轴与直线于两点，直线交轴于点．
（1）求切线的方程；
（2）求图中阴影部分的面积，并求为何值时，有最小值？
【答案】解：（1）；（2）时，有最小
【解析】本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系的和运用以及定积分几何意义的运用。

（1），，切线的方程是，即；
可得结论。

（2），，．
，进而求解得到。

解：（1），，切线的方程是，即；
（2），，．
．
．
令，，．
当时，；当时，．时，有最小
32.某同学由于求不出积分的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分.他用计算机分别产生个在上的均匀随机数和个在
上的均匀随机数，其数据记录为如下表的前两行.
x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22
则依此表格中的数据，可得积分的一个近似值为 .
【答案】
【解析】解：根据随机模拟实验可知，在区间[1,e]上的积分值，即有6个数据满足题意，共有10个，那么近似值为
33.如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由图可知阴影部分的面积为，选B
34. ._______.
【解析】解：因为
35.求曲线，所围成图形的面积
A．1B．C．9D．
【答案】B
【解析】由y=x与联立解方程组可得x=0,x=3.所以
.
36.定积分的值为（）
A．0B．C．D．-2
【答案】D
【解析】
37.如图所示，函数相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是
【答案】
【解析】令,所以
38.已知为偶函数，且，则_____________.
【答案】8
【解析】解：因为为偶函数，且，那么利用对称性可知，，表示的面积为其2倍，填写8
39.定积分的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出直线y=x,和上半圆,可知.（圆面积的四分之一减去一个小三角形的面积）
40.本题满分10分）已知由曲线，直线以及x轴所围成的图形的面积为S. (1)画出图像 (2)求面积S
【答案】（1）．略（2）S=14/3
【解析】本试题主要是考查了定积分的概念和定积分的几何运用，求解曲边梯形的面积的问题。

（1）利用已知的函数表达式，分别作出图像，表明它们之间的交点即可
（2）注意定积分的几何意义表示的为曲边梯形的面积，要利用概念确定上限和下限，然后表示被积函数，从而得到结论。

解：（1）．略（2）S=14/3
41.设S表示与围成的封闭图形面积，则S=_________
【答案】
【解析】
42.若，则等于
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】,
43.已知等于
A．－2B．－4C．0D．2
【答案】B
【解析】
.
44.已知在区间上，，，对轴上任意两点,都有
. 若, ,,则的大小关系为 .
【答案】
【解析】由图可知
45.给出以下命题：
（1）若，则；（2）；
(3）的原函数为，且是以为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为
（1）若，则；错误。

（2）；成立
(3）的原函数为，且是以为周期的函数，则成立。

选C
46.由曲线所围成图形的面积是________ 。

【答案】
【解析】解：利用定积分的几何意义可知，由曲线所围成图形的面积是
47.求曲边梯形面积的四个步骤是、、、。

【答案】分割，近似代替，求和，取极限
【解析】解：因为根据定积分的概念可知，求曲边梯形面积的四个步骤是分割，近似代替，求和，取极限
48.若，则=( )
A．1B．0C．0或1D．以上都不对
【答案】C
【解析】解：因为，当k=0时也成立。

所以选C
49.如图，阴影部分的面积是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
,应选A.
50.已知为一次函数，且，则=______.
【答案】
【解析】解：设f(x)=kx+b,则
则
51.由直线，，曲线及轴所围图形的面积是（）．
A．B．C．D．
【解析】由直线，，曲线及轴所围图形的面积是。

选A
52.由轴和所围成的图形的面积为（）。

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：利用定积分的几何意义可知，由轴和所围成的图形的面积表示为
，选C
53.函数与直线所围成的图形的面积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作图易知所求面积为，故选C
54.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率
解：由定积分可求得阴影部分的面积为，因此p=
55.设，若，则．
【答案】 1;
【解析】解：因为f(1)=0,f（f(1)0=f（0）==1,则a=1.
56.设，则（）
A．B．C．D．
【解析】解：
57.的值是 .
【答案】e-2-2
【解析】解：因为由微积分基本定理可知
58.设，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，故选D
59.由曲线与，，所围成的平面图形的面积为
【答案】
【解析】曲线与直线所围成的平面图形如下所示：
由图象可知，当时，曲线在直线上方，当时，曲线在直线下方
所以曲线与直线所围成的平面图形的面积
60.计算定积分：＝ ___
【答案】
【解析】此题考查定积分的计算公式，即牛顿莱布尼茨公式；原式=
61.已知曲线y = x3 + x－2 在点P
0处的切线与直线l4x－y－1=0平行，且点P
在第三象限,
⑴求P
0的坐标; ⑵若直线 , 且l也过切点P
,求直线l的方程
【答案】⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
又∵点P
0在第三象限,
∴切点P
的坐标为 (－1,－4).
⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,
∵l过切点P
0,点P
的坐标为 (－1,－4)
∴直线l的方程为即
【解析】略
62.下列值等于1的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故选C
63.已知函数在处导数值为3，则的解析式可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】略
64.定积分的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题考查定积分的几何意义。

定积分的值即圆心在原点，半径为3 的圆落在第一象限的圆的面积，故，选C。

【点评】了解定积分的几何意义即可。

65.下列计算错误的是（）A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
66.__ __
【答案】
【解析】略
67.求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】略
68.计算（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
69.曲线围成的封闭图形的面积是_____________,【答案】
【解析】略
70.（12分）
求下列函数的定积分．
（1）；
（2）．
【答案】
【解析】略
71.。

【答案】1
【解析】略
72.已知为偶函数且，则等于 ( )
A．0B．4C．8D．16
【答案】D
【解析】略
73.设函数
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】略
74.由曲线，，所围成图形的面积是（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】略
75.利用定积分的几何意义，求值=
【答案】
【解析】略
76.已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为（）
A．(x - 1)3+3(x - 1)B．2(x - 1)2C．2(x - 1)D．x - 1
【答案】A
【解析】略
77.由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
78.（）
A．B．C．D．
【答案】
【解析】略
79.求由曲线y =" x2" 与 y =" 2-" x2 围成的平面图形的面积
【答案】
【解析】
80.( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
81.如图所示，由、、所围成
的阴影区域的面积等于 .
【答案】1
【解析】略
82.曲线和曲线围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是（）
(A ) 1 (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】略
83.＝
A．0B．C．2D．4；
【答案】A
【解析】略
84.由直线，曲线及轴所围图形的面积为）
A．3B．7C．D．
【答案】C
【解析】略
85.的值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
86.如图，由曲线,直线,和轴围成的封闭图形的面积是（）A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
87.（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】此题考查定积分的计算
解：原式=
答案：B
88.若函数，则____
【答案】
【解析】此题考查定积分的运算
解：
答案：
89.定积分等于（）
ＡＢＣＤ
【答案】A
【解析】
令，则，当，时，方程所表示曲线为以为圆心，1为半径的圆弧，则由定积分几何意义可得，又，所以.
90.若，则实数的值是__________________.
【答案】2
【解析】略
91.若则的大小关系为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】;;
,所以
【考点】定积分
92.若dx＝6，则b＝________．
【答案】
【解析】=2|=2,解得
【考点】定积分
93.计算：（）
A．－1B．1C．8D．－8
【答案】C
【解析】因为的原函数为，所以
.
【考点】定积分运算.
94.=（）
A．B．2e C．D．
【答案】D
【解析】
【考点】定积分的计算
95.下列值等于1的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】=，，，
【考点】定积分
96.由曲线，围成的封闭图形面积为为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】交点坐标是，故求出被积区间，然后按照定积分的定义
，故选.
【考点】定积分的面积计算
97.（本小题满分12分）已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图
象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.
（1）求的解析式；
（2）若常数，求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）;（2）详见解析.
【解析】（1）第一步：根据图形分析出两个重要的信息，过原点，并且在原点处的导数等于0，
第二步，计算出图形与轴的令一个交点，求出被积区间，利用定积分求面积的公式写出定积分，最后计算出；（2）根据（1）求出，第一步：求函数的导数，第二步：求函数的
极值点，和判断单调区间，第三步，根据区间，并极大值，并求出，因为，，所以分或两种情况进行讨论，得出最大值.
试题解析：（1）由得， 2分
.由得， 4分
∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为从而得
，∴. 8分
（2）由（1）知.的取值变化情况如下：
2
极大值极小值
又,①当时,；
②当时, 11分
综上可知：当时,；
当时, 12分
【考点】1.待定系数法求解析式；2.导数与图像；3.导数与极值；4.导数求最值.
98.曲线与直线以及轴所围图形的面积为（）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程=
===2
【考点】区间函数的运用
99.由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】所求图形面积为,故选D．
【考点】定积分．
100.二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为．
【答案】或
【解析】展开后第二项系数为，时，时【考点】1．定积分；2．二项式定理。