高中数学复习方略配套课件+课时训练 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4

上的点Z到原点O的距离；|z1-z2|的几何意义是复平面上的点 Z1,Z2之间的距离.
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【变式备选】(1)若复数 a 3 i (a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，
5
5
5
复 数 a 3i 是 纯 虚 数 , 1 2i
a 3
6 0,
5
2a 0,
5
a
6.
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(2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1-2i，若 则复数 z 1 的虚部为____.
3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则
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运算名称
符号表示
加减法
z1±z2=(a+bi)±(c+di) =_(_a_±__c_)_+_(_b_±__d_)_i__
乘法
z1·z2=(a+bi)(c+di) =_(_a_c_-_b_d_)_+_(_a_d_+_b_c_)_i_
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3 abi1 1 1 2 7 ii1 1 1 2 7 ii(1 1 2 2 ii) 117i12i53i，
5
∴a=5,b=3,∴a+b=8. 答案:8
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a c,
(3)复数相等：a+bi=c+di⇔__ _b _ _d__(a,b,c,d∈R).
a c,
(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔__b____d _(a,b,c,d∈R). (5)模： 向量 O Z 的长度叫做复数z=a+bi的模，记作_|_z_|或_|_a_+_b_i_|_， 即|z|=|a+bi|=__a_2___b_2 (a,b∈R).
【解析】选 A . i ＝ 2＋ i， 实 部 为 2.
1＋ 2i 5
5
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3.若 a， b R ， i为 虚 数 单 位 ， 且 a＋ ii＝ b＋ i， 则 () A a＝ 1 ， b＝ 1B a＝ － 1 ， b＝ 1 C a＝ 1 ， b＝ － 1D a＝ － 1 ， b＝ － 1
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5.设z1是复数，z2＝z1-i z 1 (其中 z 1 表示z1的共轭复数)，已知 z2的实部是-1，则z2的虚部为_____. 【解析】设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x＋yi-i(x-yi) ＝(x-y)＋(y-x)i，故有x-y＝-1，则y-x＝1. 答案:1
【解析】选C.由(a＋i)i＝b＋i，得：-1＋ai＝b＋i，根据复数 相等得：a＝1，b＝-1.
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4.已知i为虚数单位，则复数
z＝
2－ 3 i 1＋ i
对应的点位于(
)
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
【解析】选C. z ＝ 2 1 － ＋ 3 ii＝ 2 1 － － 3 ii1 1 ＋ － ii＝ － 1 － 25 i＝ － 1 2 － 2 5 i,
故复数对应的点为 ( 1 , 位5 )于，第三象限.
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【互动探究】本例题(3)的条件不变，结论改为“则复数 z=a+bi的共轭复数 z =_____”.结果如何？ 【解析】由本例题(3)的解题过程可得z=5+3i， 所以 z =5-3i. 答案:5-3i
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故32＋ －23aa＝ 00， ,得a＝－32.
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2.复数 i (i是虚数单位)的实部是( )
1＋ 2 i
A 2
5
B 2
5
C 1 D 1
5
5
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(4)正确.原点在实轴上，也在虚轴上.故正确. (5)正确.根据复数的几何意义可知此结论正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.复数的几何意义 (1)复平面：建立_直__角__坐__标__系__来表示复数的平面叫做复平面. (2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_实__轴__,y轴叫做_虚__轴__， 实轴上的点都表示_实__数__；除了原点外，虚轴上的点都表示 __纯__虚__数___. (3)复数的几何表示： 复数z=a+bi 一一 对应 复平面内的点_Z_(_a_,_b_)_ 一一 对应 平面向 量_O_Z__.
【规范解答】(1)选A. 因为z=1+i，所以 z =1-i， ∴z2+ z =2 (1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虚部为0. (2)由条件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i, ∴|z|= 82=1620. 答案:10
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1 2i
则实数a的值为( ) (A)-2 (B)4 (C)-6 (D)6
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【解析】选C.
a3i 12i
a3i12i 12i(12i)
a 6 3 2a i a 6 3 2a i.
(2)复数加法的运算律: 设z1,z2,z3∈C，则复数加法满足以下运算律: ①交换律：z1+z2=_z_2_+_z_1_； ②结合律：(z1+z2)+z3=_z_1+_(_z_2_+_z_3_)_.
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【思路点拨】
题号
分析
(1) 先求得 z ，然后化简 z 2 最z 2，终得到虚部
(2) 先把复数化简成a+bi的形式，再求模
(3) 利用复数的除法和乘法的法则，特别注意 分母实数化的应用
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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)方程x2+x+1=0没有解. ( ) (2)复数z=a+bi(a,b∈R)中，虚部为bi. ( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点. ( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离， 也就是复数对应的向量的模. ( )
内复数 f 1 i 对应的点在( )
z1 z2
为纯虚数，
z2
【解析】 z 1＝ 2 ＋ a i＝ 2 ＋ a i1 ＋ 2 i＝ 2 － 2 a＋ a ＋ 4 i.
z2 1 － 2 i 1 － 2 i(1 ＋ 2 i) 5 5
z1 z2
为纯虚数，a2－ ＋524a＝00，，a＝1,a
5
4
1,
5
故z1 的虚部为1. z2
答案:1
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【拓展提升】解答复数概念题的关注点 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部 与虚部应该满足的条件问题，解题时只需把复数化为代数形 式，确定出实部、虚部即可.
(2)复数 z ＝ a ＋ b ia ， b R 的 实模 际z ＝ 上就a 2 ＋ 是b 指2 ， 复平面
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(2)复数 z 2 i (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象
2i
限为( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
(3)(2013·大同模拟)已知f(x)=x2,i是虚数单位，则在复平面
(2)(2012·湖南高考)已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位)，则
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|z|=_____.
(3)(2012·江苏高考)设a,b∈R，a bi 117i(i为虚数单位)，
12i
则a+b的值为_____.
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第五节 数系的扩充与复数的引入
1.复数的有关概念 (1)定义： 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a叫做_实__部___， b叫做_虚__部__.
(2)分类：
复 数 的 分 类
满足条件(a,b为实数) a+bi为实数⇔_b_=_0__
a+bi为虚数⇔_b_≠__0__
a 0,
a+bi为纯虚数⇔___b___0 ___
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1.已知a∈R，若(1-ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为( )
(A) 3 (B) 3
2
2
(C) 2 3
(D) 2 3
【解析】选 A . 1 － a i 3 ＋ 2 i ＝ 3 ＋ 2 a ＋ 2 － 3 a i 为 纯 虚 数 ，
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考向 2 复数的几何意义
【典例2】(1)在复平面内，向量 A B 对应的复数是 2＋i，向
量 C B 对应的复数是-1-3i，则向量 C A 对应的复数是( )
(A)1-2i
(B)-1＋2i
(C)3＋4i
(D)-3-4i
语言叙述
把实部、虚部分别相 加减
按照多项式乘法进行， 并把i2换成-1
除法
z1 z2
ac d bii(ac d bii)(cc d dii)
=__ac_c2__bd_d2___bc_c2__da_d2_i_ (c+di≠0)
把分子、分母分别乘 以分母的共轭复数， 然后分子、分母分别 进行乘法运算
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【解析】(1)错误.在实数范围内，方程x2+x+1=0没有实数解； 但在复数范围内，此方程有解，且解为 x 1 故不3i .正确.
2
(2)错误.根据复数的概念，在复数z=a+bi(a,b∈R)中，虚部应 为b.故不正确. (3)错误.只有当两个复数都为实数时，它们才能比较大小，其 他情况不能比较大小.故不正确.
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考向 1 复数的概念
【典例1】(1)(2012·江西高考)若复数z=1+i(i为虚数单位),
z 是z的共轭复数，则z2+ z 2 的虚部为( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2